知識聚焦
考點聚焦
知識點1 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1、用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖
(1)在正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在余弦函數(shù)y＝cs x，x∈[0,2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
知識2 三角函數(shù)的定義域與值域
1、三角函數(shù)的定義域求法
求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)圖象來求解．
【注意】解三角不等式時要注意周期，且k∈Z不可以忽略．
2、三角函數(shù)的值域求法
（1）正余弦型：形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acs(ωx＋φ)＋b)，可先由定義域求得ωx＋φ的范圍，然后，求得sin(ωx＋φ)(或cs(ωx＋φ))的范圍，最后求得最值
（2）二次型：形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)，可利用換元思想，設(shè)t＝sin x，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y＝at2＋bt＋c求最值，t的范圍需要根據(jù)定義域來確定．
（3）和差積換元型：形如sin xcs x±(sin x±cs x)，利用sin x±cs x和sin xcs x的關(guān)系，通過換元法轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域問題
（4）分式型： = 1 \* GB3 ①分離常數(shù)法：通過分離常數(shù)法進行變形，再結(jié)合三角函數(shù)有界性求值域； = 2 \* GB3 ②判別式法
知識點3 三角函數(shù)的單調(diào)性問題
1、求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（1）代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個角u(或t)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解；
（2）圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦和正切曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間
求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，若x的系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先化為正，同時切莫忽視函數(shù)自身的定義域．
2、已知單調(diào)性求參數(shù)的范圍
（1）子集法：求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解；
（2）反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解；
（3）周期性法：由所給區(qū)間的兩個端點到其相應(yīng)對稱中心的距離不超過eq \f(1,4)周期列不等式(組)求解
知識點4 求ω取值范圍的常用解題思路
1、依托于三角函數(shù)的周期性
因為f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是T=2πω，所以ω=2πT，也就是說只要確定了周期T，就可以確定ω的取值.
2、利用三角函數(shù)的對稱性
（1）三角函數(shù)兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為T2，相鄰的對稱軸和對稱中心之間的“水平間隔”為T4，也就是說，我們可以根據(jù)三角函數(shù)的對稱性來研究其周期性，進而可以研究ω的取值。
（2）三角函數(shù)的對稱軸比經(jīng)過圖象的最高點或最低點，函數(shù)的對稱中心就是其圖象與x軸的交點（零點），我們可以利用函數(shù)的最值、零點之間的“差距”來確定其周期，進而確定ω的取值.
3、結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性
函數(shù)fx=Asin(ωx+φ)的每一“完整”單調(diào)區(qū)間的長度（即兩相鄰對稱軸的間距）恰好等于T2，據(jù)此可用來求ω的值或范圍。
反之，從函數(shù)變換的角度來看ω的大小變化決定了函數(shù)圖象的橫向伸縮，要使函數(shù)fx=Asin(ωx+φ)在指定區(qū)間上具有單調(diào)性，我們忘完可以通過調(diào)整周期長度來實現(xiàn)，猶如通過彈簧的伸縮來抬舉三角函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性和最值等。
考點剖析
考點1 三角函數(shù)的定義域問題
【例1】（2023·河北邢臺·高一邢臺市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，可得．
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增．
所以當(dāng)時，單調(diào)遞增．
故在上單調(diào)遞增．故選：A.
【變式1-1】（2023·浙江寧波·高一寧波市鄞州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為函數(shù)的定義域是，
所以函數(shù)有意義需滿足，
解得，
故函數(shù)的定義域為，故選：B
【變式1-2】（2023·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意可得：，解得，
函數(shù)的定義域為.故選：A.
【變式1-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為 ．
【答案】
【解析】要使函數(shù)有意義，
則，即.
在上滿足上述不等式的的取值范圍是.
又因為的周期為，
所以函數(shù)的定義域為.
【變式1-4】（2023·遼寧本溪·高一?？计谥校┖瘮?shù)的定義域為 ．
【答案】
【解析】由，得，，
在數(shù)軸上表示如圖所示，
所以.
考點2 求三角函數(shù)的值域（最值）
【例2】（2023·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最大值與最小值之差為（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】D
【解析】因為，所以，所以，
由的圖像與性質(zhì)知，
當(dāng)時，有最小值為，
當(dāng)時，有最大值為，所以最大值與最小值之差為，故選：D．
【變式2-1】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）函數(shù)在的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函數(shù)，
令，，
因為，所以，
，對稱軸為，圖象開口向下，
當(dāng)時，取得最大值，，
當(dāng)時，取得最小值，，
所以在的值域為故選：B
【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是 ．
【答案】
【解析】由，可得，
當(dāng)時等式不成立，∴，則有，
∵，∴，，或，
∴函數(shù)的值域是.
【變式2-3】（2023·湖南長沙·高一雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為鈍角，則的最大值為 ．
【答案】
【解析】為鈍角，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
故的最大值為.
【變式2-4】（2023·江蘇揚州·高一揚州大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知.
（1）若，求在上的值域；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由題意可知，
令,當(dāng)時，
由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，
令，
由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，，所以.
（2）由（1）可知：，
令，則，
令，
由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則.
考點3 由三角函數(shù)的值域求參
【例3】（2023·安徽阜陽·高一阜南實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的值域是，則實數(shù)的值等于（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】C
【解析】當(dāng)時，由，得，
因為的值域為，所以，解得，
當(dāng)時，顯然不符合題意；
當(dāng)，由，得，
因為的值域為，所以，解得，故選：C
【變式3-1】（2023·四川成都·玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）當(dāng)時，函數(shù)的值域是，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解法一：由題意，畫出函數(shù)的圖象，由，可知，
因為且，
要使的值域是，只要，即；
解法二：由題，可知，
由的圖象性質(zhì)知，要使的值域是，
則，解之得．故選：D.
【變式3-2】（2023·四川成都·玉林中學(xué)校考模擬預(yù)測）函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于點對稱，且當(dāng)時，的值域是，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為函數(shù)的最小正周期為，
則，所以，，
又因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，
則，解得，
因為，故，故，
當(dāng)時，，
且函數(shù)在上的值域為，
所以，，解得，故選：D.
【變式3-3】（2023·天津河?xùn)|·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)，函數(shù)的值域為，則 ．
【答案】
【解析】當(dāng)時，，正弦函數(shù)在上遞增，在上遞減，
于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因此，即函數(shù)的值域為，所以.
【變式3-4】（2023·北京海淀·高一北大附中?？计谥校┮阎?dāng)，時，的取值范圍為，則的一個取值為 ．
【答案】2（答案不唯一）
【解析】由題設(shè)，，又的取值范圍為，
所以區(qū)間內(nèi)至少含最大、最小值各一個，
當(dāng)，則，取不到最小值；
當(dāng)，則，取不到最大值；
當(dāng)，則，可同時取到最大、最小值.
考點4 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【例4】（2023·北京·高一北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由的圖象與性質(zhì)，的單調(diào)減區(qū)間為，，
所以D符合題意，故選：D.
【變式4-1】（2023·浙江溫州·高一溫州市第五十一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】D
【解析】，可化為，
故單調(diào)增區(qū)間滿足：，，解得，.
令，，令，，
，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，.故選：D
【變式4-2】（2023·廣東江門·高一鶴山市第一中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,
令，，解得，，
所以原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，.故選：．
【變式4-3】（2023·重慶·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令,所以，
當(dāng)，由于，故D正確，ABC均錯誤，故選：D
【變式4-4】（2023·高一單元測試）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因為，
令，，解得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：D.
考點5 由三角函數(shù)的單調(diào)性求參
【例5】（2023·河北滄州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因為，故，
由函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
故，所以．故選：BC．
【變式5-1】（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，所以，
又，所以，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，解得，即的取值范圍為.故選：D
【變式5-2】（2023·河南南陽·高一南陽中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）若函數(shù)與函數(shù)在上的單調(diào)性相同，則的一個值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因為，所以，
所以根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上的單調(diào)遞減，
由于函數(shù)與函數(shù)在上的單調(diào)性相同，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以解得，
當(dāng)時，，B滿足，
當(dāng)時，，C滿足，故選:BC.
【變式5-3】（2023·河北衡水·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在上的最大值為，最小值為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，所以，所以，
因為函數(shù)在上的最大值為，最小值為，
所以，即，所以
令，，因為在上單調(diào)遞增，
在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由“復(fù)合函數(shù)”的單調(diào)性知，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，解得：，
，解得：，
因為，則，所以，解得：.
故.故選：D.
【變式5-4】（2023·北京豐臺·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則常數(shù)的一個取值為 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，
可得，
此時函數(shù)滿足在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，所以常數(shù)的一個取值可以為.
考點6 三角函數(shù)的奇偶性
【例6】（2023·山東煙臺·高一?？计谀┫铝泻瘮?shù)為奇函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，定義域關(guān)于原點對稱，
則,所以是偶函數(shù)，故A錯誤;
由，定義域關(guān)于原點對稱，
則,所以是偶函數(shù)，故B錯誤；
由，定義域關(guān)于原點對稱，
則，所以是奇函數(shù)，故C正確；
由，定義域關(guān)于原點對稱，
則，且，
所以非奇非偶，故D錯誤.故選：C
【變式6-1】（2023·湖南株洲·高一?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A選項，的定義域為R，且，
故為奇函數(shù)，A錯誤；
B選項，的定義域為R，且，
故為奇函數(shù)，B錯誤；
C選項，的定義域為R，且，
故為偶函數(shù)，C正確；
D選項，的定義域為R，且，
故不是偶函數(shù)，D錯誤.故選：C
【變式6-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）偶函數(shù)；（2）奇函數(shù)；（3）非奇非偶函數(shù)
【解析】（1）的定義域為R，，
因為，所以為偶函數(shù).
（2）由得，
解得定義域為，關(guān)于原點對稱，
又
，
所以為奇函數(shù).
（3）由，即，解得，
所以，定義域不關(guān)于原點對稱，
所以，該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
【變式6-3】（2022·新疆烏魯木齊·高一新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值為（ ）
A． B．1 C．1或 D．
【答案】A
【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，
所以，則，
所以.故選：A.
【變式6-4】（2023·福建寧德·高一校考期末）（多選）設(shè)函數(shù)，若，函數(shù)是偶函數(shù)，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】依題的，又其為偶函數(shù)，
則圖像關(guān)于軸對稱，則，得，
又，則或.故選：AC
考點7 三角函數(shù)的周期性
【例7】（2023·全國·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的周期.
（1）; （2）;
（3）; （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）因為，
由周期函數(shù)的定義得，的周期為，
所以函數(shù)的周期為.
（2）因為，
由周期函數(shù)的定義得，的周期為，
所以函數(shù)的周期為.
（3）因為，
由周期函數(shù)的定義得，的周期為，
所以函數(shù)的周期為.
（4）因為，
由周期函數(shù)的定義得，的周期為，
所以函數(shù)的周期為.
【變式7-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是的函數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對選項A：，函數(shù)定義域為，
，函數(shù)為偶函數(shù)，排除；
對選項B：，函數(shù)定義域為，
，函數(shù)為偶函數(shù)，排除；
對選項C：，函數(shù)定義域為，
，函數(shù)為偶函數(shù)，排除；
對選項D：，函數(shù)定義域為，
，函數(shù)為奇函數(shù)，，滿足條件；故選：D.
【變式7-2】（2023·河南開封·高一?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中，以為周期的奇函數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】對于A，，,函數(shù)的定義為,
，
所以以為周期的偶函數(shù)，故A錯誤；
對于B，，,函數(shù)的定義為,，所以以為周期的奇函數(shù)，故B正確；
對于C，，,函數(shù)的定義為，，
所以以為周期的奇函數(shù)，故C錯誤；
對于D，函數(shù)的定義為，，
所以為偶函數(shù)，故D錯誤.故選：B.
【變式7-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的周期為 ．
【答案】
【解析】由題意得的周期為，所以的周期為.
【變式7-4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，則 .
【答案】0
【解析】因為的周期，
且，，，則，
因為，所以.
考點8 三角函數(shù)的對稱性
【例8】（2023·河南省直轄縣級單位·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的（ ）
A．圖象關(guān)于x軸對稱 B．圖象關(guān)于y軸對稱 C．圖象關(guān)于原點對稱 D．以上都不對
【答案】C
【解析】由題意：，，
設(shè)，，
所以為奇函數(shù)，由奇函數(shù)性質(zhì)得其圖象關(guān)于原點對稱，故C項正確.故選：C.
【變式8-1】（2023·四川成都·高一期末）函數(shù)的圖象的一條對稱軸是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】時，不是對稱軸；
時，不是對稱軸；
時，是對稱軸；
時，不是對稱軸；故選：C
【變式8-2】（2023·河北唐山·高一期末）（多選）函數(shù)的圖象為M，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．圖象M關(guān)于直線對稱 B．圖象M關(guān)于點對稱
C．在區(qū)間單增 D．圖象M關(guān)于點對稱
【答案】AB
【解析】對于A，將代入中，得，
即此時取到最大值，故圖象M關(guān)于直線對稱，A正確；
對于B，將代入中，得，
則圖象M關(guān)于點對稱，B正確；
對于C，時，，由于在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，即在上不單調(diào)，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在區(qū)間上不單調(diào)，C錯誤；
對于D，將代入中，得，
則圖象M不關(guān)于點對稱，D錯誤；故選：AB
【變式8-3】（2023·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀┖瘮?shù)的對稱中心為 .
【答案】，.
【解析】令，解得
故函數(shù)的對稱中心為，.
【變式8-4】（2023·河北邢臺·高一邢臺市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】因為的圖象關(guān)于原點中心對稱，
所以，又，故的最小值為．
考點9 三角函數(shù)的識圖問題
【例9】（2023·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)性質(zhì)，也常用函數(shù)解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】的定義域為R，且，
故為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，CD錯誤；
當(dāng)時，，故，A正確，B錯誤；故選：A
【變式9-1】（2023·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）華羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”所以研究函數(shù)時往往要作圖，那么函數(shù)的部分圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以ACD錯誤.故選：B
【變式9-2】（2023·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為，
所以，所以為偶函數(shù)，故排除BD；
當(dāng)時，，，則，故排除C.故選：A．
【變式9-3】（2023·全國·高三校聯(lián)考期末）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的定義域為，關(guān)于原點對稱，
因為，所以為奇函數(shù)，故排除C,D,
又，所以排除B,故選：A
【變式9-4】（2023·重慶·高一重慶市第七中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)，則在上的大致圖像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知，，
即函數(shù)為上的奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱，排除AB；
不妨取，則，排除D，故選：C
考點10 比較三角函數(shù)值的大小
【例10】（2023·湖南株洲·高一株洲二中?？茧A段練習(xí)）若，，，則a，b，c為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于，故，而，故，
又，即，故選：B
【變式10-1】（2023·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）設(shè)，，，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，又，且在上遞增，
∴，而，所以，∴．故選：B．
【變式10-2】（2023·江西九江·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，，所以，
，所以，
，所以.故選：D
【變式10-3】（2023·遼寧遼陽·高一統(tǒng)考期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
因為，
又因在上單調(diào)遞增，所以，
又，在上單調(diào)遞增，所以，所以．故選：A
【變式10-4】（2023·四川綿陽·高一江油中學(xué)校考期中）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A選項：因為在上單調(diào)遞增，且，
所以有，故A錯誤；
B選項：因為在上單調(diào)遞增，且，
所以有，故B錯誤；
C選項：在上單調(diào)遞減，且，
所以有，故C錯誤.
D選項：因為在上單調(diào)遞增，且，
所以，
由在上單調(diào)遞增，且，
所以，所以，故選：D.
考點11 三角函數(shù)中ω的范圍
【例11】（2023·吉林白山·高一統(tǒng)考期末）（多選）若在上僅有一個最值，且為最大值，則的值可能為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】BD
【解析】因為，所以，
所以由題意得，Z，解得，Z,
為負(fù)整數(shù)時，的范圍時小于零的，與已知不符.
時，；時，.
因為，故A不正確；由題可知BD正確，C不正確.故選：BD．
【變式11-1】（2023·湖北黃岡·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，其中.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
∵函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，∴，∴，
∵，∴，
若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，解得，
當(dāng)時，，又因為，∴.故選：A
【變式11-2】（2023·重慶·高一重慶十八中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上只取得一次最大值，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由，，
所以且，解得且，所以；
又因為在區(qū)間上只取得一次最大值，
即時，；
所以，解得；
綜上，，即的取值范圍是．故選：D.
【變式11-3】（2023·江蘇徐州·高三?？茧A段練習(xí)）已知，若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且函數(shù)在上單調(diào)，則的值為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】由函數(shù)，
因為函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，可得，
解得，解得，
又因為在上單調(diào)，所以，
則滿足，即，解得，
當(dāng)時，可得，滿足條件；當(dāng)時，可得，不滿足條件，所以.故選：D.
【變式11-4】（2023·安徽安慶·高三懷寧縣新安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上有且僅有一個解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，解得，，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，解得，
當(dāng)時，，
因為在區(qū)間上有且僅有一個解，
所以，解得.
綜上所述，的取值范圍是.故選：D.
考點12 三角函數(shù)的零點問題
【例12】（2023·吉林·高一吉林一中?？计谀┮阎瘮?shù)的圖象過點，若在內(nèi)有4個零點，則a的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由題意知，函數(shù)的圖象過點，所以，解得，
因為，所以，所以，
當(dāng)時，可得，
因為在內(nèi)有4個零點，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，
所以，即實數(shù)a的取值范圍是．
【變式12-1】（2023·廣東惠州·高一惠州一中校考階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由在上有兩個零點，
則在上有兩個實數(shù)根，所以,,
又因為，所以在上有兩個不同的實數(shù)根，則.
【變式12-2】（2023·福建莆田·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若a，b，c互不相等，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出函數(shù)的圖象如圖，
不妨設(shè)，且，
則函數(shù)與直線的三個交點從左到右依次為：，，，
點與在上，，
則與關(guān)于直線對稱，則，
若，解得，所以，
所以，即.故選：C.
【變式12-3】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若方程在上恰有5個不同實根，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為函數(shù)，
當(dāng)時，方程可化為，
解得，則當(dāng)時，，
當(dāng)時，方程可化為，解得，
則當(dāng)時，
因為根據(jù)方程在上恰有5個不同實根，
所以這5個不同實根為，則，故選：D.
【變式12-4】（2023·廣東深圳·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在有6個不同零點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】當(dāng)時，，
當(dāng)時，，，
畫出函數(shù)圖像，如圖所示：
函數(shù)在有6個不同零點有以下四種可能：
①方程有兩個不同的實根和且方程有兩個根，
且方程有四個不同的實根，
由函數(shù)的圖像知，且，令，
則需，解得；
②方程有兩個不同的實根和且方程有零個根，
且方程有六個不同的實根，
函數(shù)的圖像知，且，
由于，則需，解得；
③方程有兩個不同的實根和且方程有1個根，
且方程有5個實根成立，則需，此時無解；
④方程有且只有1個根且方程有6個根，
計算得或，或，不合題意；
綜上所述：或.故選：A.
過關(guān)檢測
1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)中，偶函數(shù)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】對于A，，所以為奇函數(shù)，故A不正確；
對于B，，所以為奇函數(shù)，故B不正確；
對于C， ，所以為奇函數(shù)，故C不正確；
對于D， ，所以為偶函數(shù)，故D正確.故選：D.
2．（2023·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題知，即，解得，
故函數(shù)的定義域為.故選：B
3．（2023·河北邯鄲·高一磁縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對于A選項，定義域為R，將代入得，即為偶函數(shù)，
而在上單調(diào)遞增，不符合題意；
對于B選項，定義域為R，將代入得，即為奇函數(shù)，不符合題意；
對于C選項，定義域為，
將代入得，即為偶函數(shù)，
當(dāng)時，為對勾函數(shù)，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合題意；
對于D選項，定義域為R，將代入得，即為偶函數(shù)，
而在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，即D符合題意.故選：D.
4．（2022·安徽宣城·統(tǒng)考二模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為在上為減函數(shù)，且，
所以，所以，即，
因為在上為減函數(shù)，且，
所以，所以，即，
因為在上為增函數(shù)，且，
所以，所以，即，所以，故選：A
5．（2023·貴州黔西·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為是偶函數(shù)，
所以，即，
又，所以.故選：C.
6．（2023·福建福州·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)在的圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】， ，定義域關(guān)于原點對稱，
，
是奇函數(shù)，排除A；
當(dāng)時，，排除C；
當(dāng)時，中，
故，排除B.故選：D
7．（2023·江蘇·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則函數(shù)的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
設(shè)，則的開口向下，對稱軸，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，也即的最大值為.故選：A
8．（2023·廣東深圳·高一深圳大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，對于任意的，方程恰有一個實數(shù)根，則m的取值范圍為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對于任意的，恰有一個實數(shù)根，
等價于函數(shù)與有1個交點，
因為，所以，
當(dāng)時，，
畫出函數(shù)的圖象如下：
要想滿足要求，則，解得，故選：D
9．（2023·湖南長沙·高一雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．的圖象關(guān)于點對稱 D．在區(qū)間上有兩個零點
【答案】ABD
【解析】對于A：，A正確；
對于B：，B正確；
對于C：，C錯誤；
對于D：當(dāng)時，，函數(shù)在上有兩個零點，
故在區(qū)間上有兩個零點，D正確.故選：ABD.
10．（2023·福建廈門·高一廈門第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）關(guān)于函數(shù)的敘述正確的是（ ）
A．是偶函數(shù) B．在區(qū)間單調(diào)遞減
C．在有4個零點 D．是的一個周期
【答案】AB
【解析】A.因為的定義域為，
又，∴是偶函數(shù)，故A正確；
B.當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，故B正確；
C.當(dāng)時，令，得或，
又在上為偶函數(shù)，∴在上的根為，0，，有3個零點，故C錯誤；
D. ，
所以不是的一個周期，故D錯誤．故選：AB.
11．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域為 ．
【答案】
【解析】令，
因為，即，所以由正切函數(shù)的圖象可知，
所以原函數(shù)可化為，，
又因為二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸方程為，
所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以的值域為.
12．（2023·廣東佛山·高一九江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的圖像在上恰好有一個點的縱坐標(biāo)為1，則實數(shù)的值可以是 ．
【答案】（區(qū)間上的任何一個值都滿足）
【解析】由于，所以
故，所以．
故答案為：（區(qū)間上的任何一個值都滿足）
13．（2023·遼寧丹東·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)滿足條件：的最小正周期為，且，則函數(shù)的解析式是 .
【答案】或
【解析】由題意，則，
又，即的圖象關(guān)于直線對稱，
所以，則，
當(dāng)為偶數(shù)時，則，
當(dāng)為奇數(shù)時，則.
14．（2023·重慶·高一重慶十八中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若在區(qū)間上恰有兩個零點，，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）對于，
令，解得，
因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）因為在區(qū)間上恰有2個零點，
所以在有兩個根，
令，解得，
所以當(dāng)時，函數(shù)圖像的對稱軸為，
所以，則，
又，則，
所以.
15．（2023·江蘇揚州·高一江蘇省邗江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，對任意都有，
（1）求的值；
（2）若存在，使等式成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若對任意都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）因為對任意都有，所以是的對稱軸，
可得，即，，解得，，
又，.
（2）由（1）知，，
當(dāng)時，，則，
令，則，
存在，使成立，
即存在，使，則存在，使成立，
令，，
任取，則，
當(dāng)時，，，
則，即，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，，
則，即，所以在上單調(diào)遞增，
則時，，或2時，，
即，所以，
所以實數(shù)的取值范圍為.
（3）即，
化簡整理得，，對任意恒成立，
令，，則恒成立，
即，對任意恒成立，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
，所以實數(shù)的取值范圍為.圖象
定義域
值域
[-1,1]
[-1,1]
最值
時，
時，
時，
時，
周期性
奇偶性
奇
偶
奇
單調(diào)性
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減
在上單調(diào)遞增
對稱性
對稱軸方程：
對稱中心
對稱軸方程：
對稱中心
對稱中心

相關(guān)試卷

【寒假作業(yè)】蘇教版2019 高中數(shù)學(xué) 高一寒假提升訓(xùn)練 專題07+向量的應(yīng)用（8大考點，知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-講義：

這是一份【寒假作業(yè)】蘇教版2019 高中數(shù)學(xué) 高一寒假提升訓(xùn)練 專題07+向量的應(yīng)用（8大考點，知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-講義，文件包含寒假作業(yè)蘇教版2019高中數(shù)學(xué)高一寒假提升訓(xùn)練專題07向量的應(yīng)用8大考點知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練原卷版docx、寒假作業(yè)蘇教版2019高中數(shù)學(xué)高一寒假提升訓(xùn)練專題07向量的應(yīng)用8大考點知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共39頁， 歡迎下載使用。

【寒假作業(yè)】蘇教版2019 高中數(shù)學(xué) 高一寒假提升訓(xùn)練 專題03 向量的數(shù)乘（6大考點，知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-講義：

這是一份【寒假作業(yè)】蘇教版2019 高中數(shù)學(xué) 高一寒假提升訓(xùn)練 專題03 向量的數(shù)乘（6大考點，知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-講義，文件包含寒假作業(yè)蘇教版2019高中數(shù)學(xué)高一寒假提升訓(xùn)練專題03向量的數(shù)乘6大考點知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練原卷版docx、寒假作業(yè)蘇教版2019高中數(shù)學(xué)高一寒假提升訓(xùn)練專題03向量的數(shù)乘6大考點知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共33頁， 歡迎下載使用。

【寒假作業(yè)】蘇教版2019 高中數(shù)學(xué) 高一寒假提升訓(xùn)練 專題02 向量的加減法（6大考點，知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-講義：

這是一份【寒假作業(yè)】蘇教版2019 高中數(shù)學(xué) 高一寒假提升訓(xùn)練 專題02 向量的加減法（6大考點，知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-講義，文件包含寒假作業(yè)蘇教版2019高中數(shù)學(xué)高一寒假提升訓(xùn)練專題02向量的加減法6大考點知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練原卷版docx、寒假作業(yè)蘇教版2019高中數(shù)學(xué)高一寒假提升訓(xùn)練專題02向量的加減法6大考點知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共28頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

【寒假作業(yè)】蘇教版2019 高中數(shù)學(xué) 高一寒假提升訓(xùn)練 專題05 函數(shù)的基本性質(zhì)（12大考點，知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-

【寒假作業(yè)】蘇教版2019 高中數(shù)學(xué) 高一寒假提升訓(xùn)練 專題05 函數(shù)的基本性質(zhì)（12大考點，知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-
【寒假作業(yè)】蘇教版2019 高中數(shù)學(xué) 高一寒假提升訓(xùn)練 專題03 不等式（14大考點，知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-

【寒假作業(yè)】蘇教版2019 高中數(shù)學(xué) 高一寒假提升訓(xùn)練 專題03 不等式（14大考點，知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-
【寒假作業(yè)】蘇教版2019 高中數(shù)學(xué) 高一寒假提升訓(xùn)練 專題02 常用邏輯用語（10大考點，知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-

【寒假作業(yè)】蘇教版2019 高中數(shù)學(xué) 高一寒假提升訓(xùn)練 專題02 常用邏輯用語（10大考點，知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-
【寒假作業(yè)】蘇教版2019 高中數(shù)學(xué) 高一寒假提升訓(xùn)練 專題01 集合及其運算（12大考點，知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-

【寒假作業(yè)】蘇教版2019 高中數(shù)學(xué) 高一寒假提升訓(xùn)練 專題01 集合及其運算（12大考點，知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
寒假專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部