1．理解掌握隨機事件和樣本空間的含義。
2．掌握概率的性質(zhì)及古典概型公式。
3．掌握互斥事件和獨立事件。
【基礎(chǔ)知識】
一．樣本點和樣本空間
1.隨機試驗
把相同條件下，對隨機現(xiàn)象所進行的觀察或?qū)嶒灧Q為隨機試驗 (簡稱為試驗).
2.樣本點
隨機試驗中每一種可能出現(xiàn)的結(jié)果，都稱為樣本點.
3.樣本空間
（1）定義：由所有樣本點組成的集合稱為樣本空間.
（2）表示：基本事件空間常用大寫希臘字母表示.
二．隨機事件
1.事件發(fā)生
如果隨機試驗的樣本空間為Ω，則隨機事件A是Ω的一個. 而且：若試驗的結(jié)果是A中的元素，則稱A發(fā)生否則，稱A不發(fā)生.
2.不可能事件?必然事件?隨機事件
三．隨機事件發(fā)生的概率
事件發(fā)生可能性大小可以用事件發(fā)生的概率來衡量，概率越大，代表越有可能發(fā)生，通常用P(A)來表示.
（1）規(guī)定：P(?)=0；P(Ω)=1
（2）對于任意事件A來說，顯然有，因此
四．事件的包含與相等
1．一般地，如果事件A發(fā)生時，事件B一定發(fā)生，則稱“A包含于B”（或“B包含A），記作（或），
注：（1）也可用充分必要條件表示為：A發(fā)生是B發(fā)生的充分條件，B發(fā)生時A發(fā)生的必要條件.
（2）如果，根據(jù)定義可知，事件A發(fā)生的可能性不比事件B發(fā)生的可能性大，直觀上我們可以得到
2．如果事件A發(fā)生時，事件B一定發(fā)生；而且事件B發(fā)生時，事件A也一定發(fā)生，則稱“A與B相等”，記作
注：（1）不難看出：且，也可以用充分必要條件的語言表述為：A發(fā)生是B發(fā)生的充要條件
（2）當時，有
五．事件的和（并）
1.給定事件A，B，由所有A中的樣本點與B中的樣本點組成的事件稱為A與B的和（或并），記作（或）
注：（1）當事件發(fā)生時，當且僅當事件A與事件B至少有一個發(fā)生
（2）由于且，因此且
直觀上可知，
六．事件的積（交）
1.給定事件，由A與B中的公共樣本點組成的事件稱為A與B的積（或交），記作（或）
注：（1）按照定義可知，事件發(fā)生，當且僅當時間A與時間B都發(fā)生
（2）由于且，因此且
七．事件的互斥與對立
1.給定事件A，B，若事件A與B不能同時發(fā)生，則稱A與B互斥，記作（或）
注：（1）任何兩個基本事件都是互斥的，與任意事件互斥；
（2）當A與B互斥，即，有=，這稱為互斥事件的概率加法公式.
（3）一般地，如果是兩兩互斥事件，則
2.給定樣本空間與事件A，則由與所有不屬于A的樣本點組成是事件稱為A的對立事件，記作，用集合的觀點看，是A在中的補集，如圖所示.如果，則稱A與B相互對立.
注：（1）事件A與中，有一個發(fā)生，而且只有一個發(fā)生，注意到必然事件的概率為1，因此1
（2）如果A與B相互對立，則A與B互斥，但反之不成立，即“A與B相互對立”是“A與B互斥”的充分不必要條件.
八．事件的混合運算
前面我們給出了事件的三種運算：求兩個事件的和，求兩個事件的積，求一個事件的對立事件.因為事件運算的結(jié)果仍是事件，因此可以進行事件的混合運算.
例如 ，這表示與和，
實際意義是：A發(fā)生且B不發(fā)生，或者A不發(fā)生且B發(fā)生，換句話說就是A與B中恰有一個發(fā)生.
同數(shù)的加、減、乘、除一樣，事件的混合運算也有優(yōu)先級，我們規(guī)定：求積運算的優(yōu)先級高于求和運算，因此可簡寫為：
九．古典概型的定義
（1）一般地，如果隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點的個數(shù)是有限的（簡稱有限性），而且可以認為每個只包含一個樣本點的事件（基本事件）發(fā)生的可能性大小都相等（簡稱等可能性），則稱這樣的隨機試驗為古典概率模型，簡稱為古典概型.
（2）古典概型中，事件發(fā)生的概率可以通過下述方式得到：假設(shè)樣本空間包含n個樣本點，由古典概型的定義可知，每個基本事件發(fā)生的可能性大小都相等，又因為必然事件發(fā)生的概率為1，因此互斥事件的概率加法公式可知每個基本事件按發(fā)生的概率為，此時，如果事件C包含m個樣本點，則再又互斥事件的概率加法公式可知：
十.古典概型的計算公式
古典概型中的概率也具有前面我們所說的概率的性質(zhì)，假設(shè)古典概型對應(yīng)的樣本空間含n個樣本點，事件A包含m個樣本點，則：
（1）由與可知
0 1
（2）因為中包含的樣本點個數(shù)為，所以
即
（3）若事件B包含有k個樣本點，而且A與B互斥，則容易知道A+B包含m+k個樣本點，從而：
十一.隨機事件獨立性的定義
（1）一般地，當時，就稱A與B相互獨立（簡稱獨立），
事件A與B相互獨立的直觀理解是：事件A是否發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率，事件B是否發(fā)生也不會影響事件A發(fā)生的概率.
（2）如果事件A與B相互獨立，則 與B，A與，與也獨立.
（3）對于n個事件A1，A2，…，An，如果其中任一個事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨立．
十二.獨立事件的概率乘法公式
（1）若A與B相互獨立，則，同時，，;
（2）若兩兩獨立，則
【考點剖析】
考點一：樣本點與樣本空間
例1．先后拋出兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況，選擇合適的方法表示樣本點，并寫出樣本空間.

變1．從含有5件次品的100件產(chǎn)品中任取3件，觀察其中的次品數(shù).
（1）選擇合適的表示方法，寫出樣本空間；
（2）寫出事件A：“取到的3件產(chǎn)品中沒有次品”的集合表示；
（3）說明事件所表示的實際意義.

考點二：判斷是否是隨機事件
例2．下列事件中，隨機事件的個數(shù)為（ ）
①明天是陰天；②方程有兩個不相等的實數(shù)根；③明年鴨河水庫儲水量將達到；④一個三角形的大邊對大角，小邊對小角.
A．1B．2C．3D．4

變2．下列事件中，是隨機事件的有（ ）
①在一條公路上，交警記錄某一小時通過的汽車超過300輛.
②若a為整數(shù)，則a+1為整數(shù).
③發(fā)射一顆炮彈，命中目標.
④檢查流水線上一件產(chǎn)品是合格品還是次品.
A．1個B．2個C．3個D．4個

考點三：確定事件與隨機事件的概率
例3．下列說法正確的是（ ）
A．拋擲一枚硬幣，正面朝上的概率是，所以拋擲兩次一定會出現(xiàn)一次正面朝上的情況
B．某地氣象局預(yù)報說，明天本地降水概率為，這說明明天本地有的區(qū)域下雨
C．概率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關(guān)
D．若買彩票中獎的概率是萬分之一，則買彩票一萬次就有一次中獎

變3．如果連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子100次，那么第95次出現(xiàn)正面朝上的點數(shù)為4的概率為（ ）
A．B．C．D．

考點四：事件的包含關(guān)系與事件的運算及其含義
例4．拋擲相同硬幣3次，記“至少有一次正面向上”為事件A，“一次正面向上，兩次反面向上”為事件B，“兩次正面向上，一次反面向上”為事件C，“至少一次反面向上”為事件D，“3次都正面向上”為事件E.
（1）試判斷事件A與事件B，C，E的關(guān)系；
（2）試求AD，B+C所包含的樣本點，并判斷AD與B+C的關(guān)系.

變4．擲一枚骰子，下列事件：A=“出現(xiàn)奇數(shù)點”，B=“出現(xiàn)偶數(shù)點”，C=“點數(shù)小于3”，D=“點數(shù)大于2”，E=“點數(shù)是3倍數(shù)”.
求：（1）A∩B，BC；
（2）AB，B+C；
（3）記為事件H的對立事件，求.

考點五：互斥事件與對立事件的判斷
例5．有甲、乙兩種報紙供市民訂閱，記事件為“只訂甲報紙”，事件為“至少訂一種報紙”，事件為“至多訂一種報紙”，事件為“一種報紙也不訂”.下列命題正確的是（ ）
A．與是互斥事件B．與是互斥事件，且是對立事件
C．與不是互斥事件D．與是互斥事件

變5．（多選）．盒子中裝有紅色，黃色和黑色小球各2個，一次取出2個小球，下列事件中，與事件“2個小球都是紅色”互斥但不對立的事件是（ ）
A．2個小球都是黑色B．2個小球恰有1個是紅色
C．2個小球都不是紅色D．2個小球至多有1個是紅色

考點六：利用互斥事件與對立事件的概率公式求概率
例6．一只不透明的口袋中裝有若干個大小一樣的紅球、黃球與藍球，若從中隨機摸出一個球，則摸出紅球的概率為0.45，摸出黃球的概率為0.33．求：
（1）摸出紅球或黃球的概率；
（2）摸出藍球的概率．

變6．甲、乙兩人對局，甲獲勝的概率為0.30，成平局的概率為0.25，求：
（1）甲不輸?shù)母怕剩?br>（2）乙不輸?shù)母怕?

考點七：寫出基本事件
例7．將一顆骰子先后拋擲兩次，觀察它們落地時朝上的面的點數(shù).
（1）一共有多少個樣本點？
（2）記“出現(xiàn)的點數(shù)之和大于8”為事件A，寫出A包含的樣本點

變7．寫出下列隨機試驗的樣本空間：
（1）連續(xù)拋擲2枚硬幣，觀察落地后這2枚硬幣是正面朝上還是反面朝上；
（2）從集合A={a，b，c，d}中任取3個元素.

考點八：古典概型的概率計算公式
例8．某區(qū)要從參加扶貧攻堅任務(wù)的名干部甲?乙?丙?丁?戊中隨機選取人，赴區(qū)屬的某貧困村進行駐村扶貧工作，則甲或乙被選中的概率是（ ）
A．B．C．D．

變8．從編號為1~100的球中取出1球，所得的編號是4的倍數(shù)的概率是（ ）
A．B．C．D．

考點九：有放回與無放回問題的概率
例9．袋子中裝有大小、形狀完全相同的3個白球和4個紅球，現(xiàn)從中不放回地摸取兩個球，已知第一次摸到的是紅球，則第二次也摸到紅球的概率為（ ）
A．B．C．D．

變9．從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．

考點十：獨立事件的判斷
例10．在一次試驗中，隨機事件A，B滿足，則（ ）
A．事件A，B一定互斥B．事件A，B一定不互斥
C．事件A，B一定互相獨立D．事件A，B一定不互相獨立

變10．（多選）．若，，，則事件與的關(guān)系錯誤是（ ）
A．事件與互斥B．事件與對立
C．事件與相互獨立D．事件與既互斥又獨立

考點十一：獨立事件的乘法公式
例11．2020年1月，教育部出臺《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學科招生改革試點工作的意見》(簡稱“強基計劃”)，明確從2020年起強基計劃取代原有的高校自主招生方式.如果甲?乙兩人通過強基計劃的概率分別為，那么兩人中恰有一人通過的概率為（ ）
A．B．C．D．

變11．甲乙倆人投籃相互獨立，且各投籃一次命中的概率分別是0.4和0.3，則甲乙倆人各投籃一次，至少有一人命中的概率為（ ）
A．0.7B．0.58C．0.12D．0.46

【真題演練】
1.（2016·全國·高考真題（文））小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是
A．B．C．D．

2.（2019·全國·高考真題（文））我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為___________.

3.（2020·全國·高考真題（文））某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標準分為A，B，C，D四個等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：
甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表
乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表
（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；
（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)?

【過關(guān)檢測】
1.下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個頂點各畫一條高線，這三條高線交于一點；③實數(shù)a，b都不為0，但；④某地區(qū)明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中為隨機事件的是（ ）
A．①④B．①②③C．②③④D．②④

2.從集合中任取兩個不同元素，則這兩個元素相差的概率為（ ）．
A．B．C．D．

3.甲、乙兩個袋中各有3只白球，2只黑球，從甲袋中任取一球放入乙袋中，則再從乙袋中取出一球為白球的概率是（ ）
A．B．C．D．

4.已知一次試驗，事件A與事件B不能同時發(fā)生且A，B至少有一個發(fā)生，又事件A與事件C不能同時發(fā)生．若，，則（ ）
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3

5.（多選）已知集合是集合的真子集，下列關(guān)于非空集合，的四個命題：
①若任取，則是必然事件：
②若任取，則是不可能事件；
③若任取，則是隨機事件；
④若任取，則是必然事件．
其中正確的命題是（ ）
A．①B．②C．③D．④

6.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：“至少一枚點數(shù)為1”，“兩枚骰子點數(shù)一奇一偶”，“兩枚骰子點數(shù)之和為8”，“兩枚骰子點數(shù)之和為偶數(shù)”判斷下列結(jié)論，正確的有（ ）
A．B．B，D為對立事件C．A，C為互斥事件D．A，D相互獨立

7.將2個1和1個0隨機排成一排，則這個試驗的樣本空間__________.

8.一個質(zhì)地均勻的正四面體，其四個面涂有不同的顏色，拋擲這個正四面體一次，觀察它與地面接觸的顏色得到樣本空間{紅，黃，藍，綠}，設(shè)事件{紅，黃}，事件{紅，藍}，事件{黃，綠}，則下列判斷：①E與F是互斥事件；②E與F是獨立事件；③F與G是對立事件；④F與G是獨立事件．其中正確判斷的序號是______（請寫出所有正確判斷的序號）．

9.已知集合，，從兩個集合中各取一個元素構(gòu)成點的坐標．
（1）寫出這個試驗的樣本空間；
（2）求這個試驗樣本點的總數(shù)；
（3）寫出“得到的點是第一象限內(nèi)的點”這一事件所包含的樣本點；
（4）說出事件所表示的實際意義．

10.為落實“雙減”政策，增強學生體質(zhì)，某校在初一年級隨機抽取了20名學生進行50米往返跑和跳繩測試，測試結(jié)果如下表：
由于部分數(shù)據(jù)丟失，僅知道從這20名參加測試的學生中隨機抽取一位，抽到跳繩優(yōu)秀的學生的概率為.
（1）求a，b的值；
（2）從50米往返跑為優(yōu)秀的學生中任意抽取2人，求其中至少有一位跳繩為優(yōu)秀的學生的概率.

11.新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學生充分的自由選擇權(quán).新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級將來高考選考物理的情況，隨機選取了100名高一學生，將他們某次物理測試成績（滿分100分）按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求圖中的值并估計這100名學生本次物理測試成績的中位數(shù).
（2）根據(jù)調(diào)查，本次物理測試成績不低于60分的學生，高考將選考物理科目；成績低于60分的學生，高考將不選考物理科目.按分層抽樣的方法從測試成績在，的學生中選取5人，再從這5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.

事件
必然事件
每次試驗中一定會發(fā)生
不可能事件
每次試驗中一定不發(fā)生
隨機事件
①可能發(fā)生也可能不發(fā)生
②通常用大寫英文字母A，B，C，…來表示
等級
A
B
C
D
頻數(shù)
40
20
20
20
等級
A
B
C
D
頻數(shù)
28
17
34
21
第13講 概率
【學習目標】
1．理解掌握隨機事件和樣本空間的含義。
2．掌握概率的性質(zhì)及古典概型公式。
3．掌握互斥事件和獨立事件。
【基礎(chǔ)知識】
一．樣本點和樣本空間
1.隨機試驗
把相同條件下，對隨機現(xiàn)象所進行的觀察或?qū)嶒灧Q為隨機試驗 (簡稱為試驗).
2.樣本點
隨機試驗中每一種可能出現(xiàn)的結(jié)果，都稱為樣本點.
3.樣本空間
（1）定義：由所有樣本點組成的集合稱為樣本空間.
（2）表示：基本事件空間常用大寫希臘字母表示.
二．隨機事件
1.事件發(fā)生
如果隨機試驗的樣本空間為Ω，則隨機事件A是Ω的一個. 而且：若試驗的結(jié)果是A中的元素，則稱A發(fā)生否則，稱A不發(fā)生.
2.不可能事件?必然事件?隨機事件
三．隨機事件發(fā)生的概率
事件發(fā)生可能性大小可以用事件發(fā)生的概率來衡量，概率越大，代表越有可能發(fā)生，通常用P(A)來表示.
（1）規(guī)定：P(?)=0；P(Ω)=1
（2）對于任意事件A來說，顯然有，因此
四．事件的包含與相等
1．一般地，如果事件A發(fā)生時，事件B一定發(fā)生，則稱“A包含于B”（或“B包含A），記作（或），
注：（1）也可用充分必要條件表示為：A發(fā)生是B發(fā)生的充分條件，B發(fā)生時A發(fā)生的必要條件.
（2）如果，根據(jù)定義可知，事件A發(fā)生的可能性不比事件B發(fā)生的可能性大，直觀上我們可以得到
2．如果事件A發(fā)生時，事件B一定發(fā)生；而且事件B發(fā)生時，事件A也一定發(fā)生，則稱“A與B相等”，記作
注：（1）不難看出：且，也可以用充分必要條件的語言表述為：A發(fā)生是B發(fā)生的充要條件
（2）當時，有
五．事件的和（并）
1.給定事件A，B，由所有A中的樣本點與B中的樣本點組成的事件稱為A與B的和（或并），記作（或）
注：（1）當事件發(fā)生時，當且僅當事件A與事件B至少有一個發(fā)生
（2）由于且，因此且
直觀上可知，
六．事件的積（交）
1.給定事件，由A與B中的公共樣本點組成的事件稱為A與B的積（或交），記作（或）
注：（1）按照定義可知，事件發(fā)生，當且僅當時間A與時間B都發(fā)生
（2）由于且，因此且
七．事件的互斥與對立
1.給定事件A，B，若事件A與B不能同時發(fā)生，則稱A與B互斥，記作（或）
注：（1）任何兩個基本事件都是互斥的，與任意事件互斥；
（2）當A與B互斥，即，有=，這稱為互斥事件的概率加法公式.
（3）一般地，如果是兩兩互斥事件，則
2.給定樣本空間與事件A，則由與所有不屬于A的樣本點組成是事件稱為A的對立事件，記作，用集合的觀點看，是A在中的補集，如圖所示.如果，則稱A與B相互對立.
注：（1）事件A與中，有一個發(fā)生，而且只有一個發(fā)生，注意到必然事件的概率為1，因此1
（2）如果A與B相互對立，則A與B互斥，但反之不成立，即“A與B相互對立”是“A與B互斥”的充分不必要條件.
八．事件的混合運算
前面我們給出了事件的三種運算：求兩個事件的和，求兩個事件的積，求一個事件的對立事件.因為事件運算的結(jié)果仍是事件，因此可以進行事件的混合運算.
例如 ，這表示與和，
實際意義是：A發(fā)生且B不發(fā)生，或者A不發(fā)生且B發(fā)生，換句話說就是A與B中恰有一個發(fā)生.
同數(shù)的加、減、乘、除一樣，事件的混合運算也有優(yōu)先級，我們規(guī)定：求積運算的優(yōu)先級高于求和運算，因此可簡寫為：
九．古典概型的定義
（1）一般地，如果隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點的個數(shù)是有限的（簡稱有限性），而且可以認為每個只包含一個樣本點的事件（基本事件）發(fā)生的可能性大小都相等（簡稱等可能性），則稱這樣的隨機試驗為古典概率模型，簡稱為古典概型.
（2）古典概型中，事件發(fā)生的概率可以通過下述方式得到：假設(shè)樣本空間包含n個樣本點，由古典概型的定義可知，每個基本事件發(fā)生的可能性大小都相等，又因為必然事件發(fā)生的概率為1，因此互斥事件的概率加法公式可知每個基本事件按發(fā)生的概率為，此時，如果事件C包含m個樣本點，則再又互斥事件的概率加法公式可知：
十.古典概型的計算公式
古典概型中的概率也具有前面我們所說的概率的性質(zhì)，假設(shè)古典概型對應(yīng)的樣本空間含n個樣本點，事件A包含m個樣本點，則：
（1）由與可知
0 1
（2）因為中包含的樣本點個數(shù)為，所以
即
（3）若事件B包含有k個樣本點，而且A與B互斥，則容易知道A+B包含m+k個樣本點，從而：
十一.隨機事件獨立性的定義
（1）一般地，當時，就稱A與B相互獨立（簡稱獨立），
事件A與B相互獨立的直觀理解是：事件A是否發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率，事件B是否發(fā)生也不會影響事件A發(fā)生的概率.
（2）如果事件A與B相互獨立，則 與B，A與，與也獨立.
（3）對于n個事件A1，A2，…，An，如果其中任一個事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨立．
十二.獨立事件的概率乘法公式
（1）若A與B相互獨立，則，同時，，;
（2）若兩兩獨立，則
【考點剖析】
考點一：樣本點與樣本空間
例1．先后拋出兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況，選擇合適的方法表示樣本點，并寫出樣本空間.
【答案】樣本空間為
【分析】
因為是先后拋出兩枚硬幣，所以可以用有序?qū)崝?shù)對表示事件結(jié)果，即可寫出樣本空間.
【詳解】
考慮到有先后順序，可以用表示第1枚硬幣出現(xiàn)正面，第2枚硬幣出現(xiàn)反面，其他樣本點用類似的方法表示，則樣本空間為.
【點睛】
本題主要考查如何表示樣本空間，屬于基礎(chǔ)題．
變1．從含有5件次品的100件產(chǎn)品中任取3件，觀察其中的次品數(shù).
（1）選擇合適的表示方法，寫出樣本空間；
（2）寫出事件A：“取到的3件產(chǎn)品中沒有次品”的集合表示；
（3）說明事件所表示的實際意義.
【答案】（1）樣本空間.（2）事件.（3）抽取的3件產(chǎn)品中沒有次品或只有一件次品
【分析】
（1）用抽取的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)表示事件，即可寫出樣本空間；
（2）因為取到的3件產(chǎn)品中沒有次品，所以次數(shù)為0，即可寫出；
（3）根據(jù)事件中的數(shù)字，即可知其表示抽取的3件產(chǎn)品中沒有次品或只有一件次品．
【詳解】
用0，1，2，3表示抽取的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，則有：
（1）樣本空間.
（2）事件.
（3）表示的實際意義是：抽取的3件產(chǎn)品中沒有次品或只有一件次品
【點睛】
本題主要考查樣本空間的表示，事件的集合表示，以及解釋事件表示的意義，屬于基礎(chǔ)題．
考點二：判斷是否是隨機事件
例2．下列事件中，隨機事件的個數(shù)為（ ）
①明天是陰天；②方程有兩個不相等的實數(shù)根；③明年鴨河水庫儲水量將達到；④一個三角形的大邊對大角，小邊對小角.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
根據(jù)隨機事件的定義即可判斷.
【詳解】
①③是隨機事件；④是必然事件；
對②，，無實數(shù)根，②是不可能事件.
故選：B.
變2．下列事件中，是隨機事件的有（ ）
①在一條公路上，交警記錄某一小時通過的汽車超過300輛.
②若a為整數(shù)，則a+1為整數(shù).
③發(fā)射一顆炮彈，命中目標.
④檢查流水線上一件產(chǎn)品是合格品還是次品.
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】
根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機事件的概念可判斷它們分別屬于那一種類別．根據(jù)實際情況即可解答．
【詳解】
解：①在一條公路上，交警記錄某一小時通過的汽車超過300輛，為隨機事件；
②若a為整數(shù)，則a+1為整數(shù)，為必然事件；
③發(fā)射一顆炮彈，命中目標，為隨機事件；
④檢查流水線上一件產(chǎn)品是合格品還是次品，為隨機事件；
故是隨機事件的有3個
故選：C
考點三：確定事件與隨機事件的概率
例3．下列說法正確的是（ ）
A．拋擲一枚硬幣，正面朝上的概率是，所以拋擲兩次一定會出現(xiàn)一次正面朝上的情況
B．某地氣象局預(yù)報說，明天本地降水概率為，這說明明天本地有的區(qū)域下雨
C．概率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關(guān)
D．若買彩票中獎的概率是萬分之一，則買彩票一萬次就有一次中獎
【答案】C
【分析】
概率是反映事件發(fā)生機會的大小的概率，只是表示發(fā)生機會的大小，機會大也不一定發(fā)生.
【詳解】
解：對于A，這是一個隨機事件，拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上或者反面朝上都有可能，事先無法預(yù)料，錯誤；
對于B，這是一個隨機事件，明天本地降水概率為表示明天有的可能降雨，事先無法預(yù)料，錯誤；
對于C，正確；
對于D，這是一個隨機事件，買彩票中獎或不中獎都有可能，事先無法預(yù)料，錯誤.
故選：C.
變3．如果連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子100次，那么第95次出現(xiàn)正面朝上的點數(shù)為4的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由隨機事件的概念作答．
【詳解】
拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)正面朝上的點數(shù)為4，這個事件是隨機事件，每次拋擲出現(xiàn)的概率是相等的，都是，不會隨機拋擲次數(shù)的變化而變化．
故選：B．
考點四：事件的包含關(guān)系與事件的運算及其含義
例4．拋擲相同硬幣3次，記“至少有一次正面向上”為事件A，“一次正面向上，兩次反面向上”為事件B，“兩次正面向上，一次反面向上”為事件C，“至少一次反面向上”為事件D，“3次都正面向上”為事件E.
（1）試判斷事件A與事件B，C，E的關(guān)系；
（2）試求AD，B+C所包含的樣本點，并判斷AD與B+C的關(guān)系.
【答案】
（1）BA，CA，EA，A=B+C+E
（2）AD={有正面向上，也有反面向上}，B+C={一次正面向上或兩次正面向上}，AD=B+C
【分析】
（1）寫出事件A所包含的基本事件，可以看出是事件B，事件C和事件E的和，故可以得到答案；（2）寫出事件D所包含的基本事件，與事件A進行比較，得到AD所包含的樣本點，再寫出B+C所包含的樣本點，可得到AD與B+C的關(guān)系.
（1）
事件A為“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，兩次反面向上”， “兩次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三個基本事件，所以BA，CA，EA，A=B+C+E
（2）
“至少一次反面向上”為事件D，包含“一次正面向上，兩次反面向上”， “兩次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三個基本事件，可以看出事件A與事件D有相同的兩個基本事件，即“一次正面向上，兩次反面向上”， “兩次正面向上，一次反面向上”，故AD={一次正面向上或兩次正面向上}，B+C={一次正面向上或兩次正面向上}，所以AD=B+C
變4．擲一枚骰子，下列事件：A=“出現(xiàn)奇數(shù)點”，B=“出現(xiàn)偶數(shù)點”，C=“點數(shù)小于3”，D=“點數(shù)大于2”，E=“點數(shù)是3倍數(shù)”.
求：（1）A∩B，BC；
（2）AB，B+C；
（3）記為事件H的對立事件，求.
【答案】（1）A∩B=，BC={2}；（2）A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}；（3）={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.
【分析】
（1）A∩B表示同時發(fā)生，BC表示同時發(fā)生；
（2）A∪B表示至少有一個事件發(fā)生，表示至少有一個事件發(fā)生；
（3）表示的對立事件；等價于同時發(fā)生；等價于至少有一個事件發(fā)生；等價于的對立事件與的對立事件至少有一個事件發(fā)生.
【詳解】
∵，，，，
∴，，，
∴（1）A∩B=，BC={2}；
（2）AB={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}；
（3）={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.
考點五：互斥事件與對立事件的判斷
例5．有甲、乙兩種報紙供市民訂閱，記事件為“只訂甲報紙”，事件為“至少訂一種報紙”，事件為“至多訂一種報紙”，事件為“一種報紙也不訂”.下列命題正確的是（ ）
A．與是互斥事件B．與是互斥事件，且是對立事件
C．與不是互斥事件D．與是互斥事件
【答案】BC
【分析】
根據(jù)互斥事件、對立事件的概念判斷即可.
【詳解】
對于A選項，、事件有可能同時發(fā)生，不是互斥事件；
對于B選項，與不可能同時發(fā)生，且發(fā)生的概率之和為1，是互斥事件，且是對立事件；
對于C選項，與可以同時發(fā)生，不是互斥事件；
對于D選項，與也可以同時發(fā)生，不是互斥事件.
故選：BC.
變5．（多選）．盒子中裝有紅色，黃色和黑色小球各2個，一次取出2個小球，下列事件中，與事件“2個小球都是紅色”互斥但不對立的事件是（ ）
A．2個小球都是黑色B．2個小球恰有1個是紅色
C．2個小球都不是紅色D．2個小球至多有1個是紅色
【答案】ABC
【分析】
根據(jù)互斥事件和對立事件的概念結(jié)合選項逐項分析即可求出結(jié)果.
【詳解】
根據(jù)互斥事件和對立事件的概念可知“2個小球都是黑色”與“2個小球都是紅色”互斥但不對立的事件；“2個小球恰有1個是紅色” 與“2個小球都是紅色”互斥但不對立的事件；“2個小球都不是紅色”與“2個小球都是紅色”互斥但不對立的事件，“2個小球至多有1個是紅色” 與“2個小球都是紅色”是互斥事件但也是對立事件，
故選：ABC.
考點六：利用互斥事件與對立事件的概率公式求概率
例6．一只不透明的口袋中裝有若干個大小一樣的紅球、黃球與藍球，若從中隨機摸出一個球，則摸出紅球的概率為0.45，摸出黃球的概率為0.33．求：
（1）摸出紅球或黃球的概率；
（2）摸出藍球的概率．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可求解；
（2）由對立事件的概率計算公式即可求解.
（1）
解：記事件為摸出一個紅球，記事件為摸出一個藍球，事件為摸出一個黃球，
因為與是互斥事件，則摸出一個球是紅球或黃球的概率 ；
（2）
解：事件與事件是對立事件，
所以摸到藍球的概率.
變6．甲、乙兩人對局，甲獲勝的概率為0.30，成平局的概率為0.25，求：
（1）甲不輸?shù)母怕剩?br>（2）乙不輸?shù)母怕?
【答案】（1）0.55；（2）0.7.
【分析】
（1）利用互斥事件的概率加法公式即得；
（2）利用對立事件的概率計算公式即得.
【詳解】
（1）甲不輸即為甲勝或成平局，記甲勝為事件A，平局為事件B.
因為，所以A與B互斥，
則，
故甲不輸?shù)母怕蕿?.55.
（2）因為甲勝即乙輸，所以甲獲勝與乙不輸互為對立事件，
則乙不輸?shù)母怕?
考點七：寫出基本事件
例7．將一顆骰子先后拋擲兩次，觀察它們落地時朝上的面的點數(shù).
（1）一共有多少個樣本點？
（2）記“出現(xiàn)的點數(shù)之和大于8”為事件A，寫出A包含的樣本點
【答案】
（1）36個
（2）答案見解析
【分析】
（1）根據(jù)題意列出所有的可能性即可得到答案；
（2）根據(jù)（1），挑出滿足數(shù)字和大于8的點即可得到答案.
（1）
兩次擲出的點數(shù)列表如下：
易知共有36個樣本點.
（2）
根據(jù)上表，滿足“出現(xiàn)的點數(shù)之和大于8” 的樣本點組成的集合為：A={（6，3），（5，4），（6，4），（4，5），（5，5），（6，5），（3，6），（4，6），（5，6），（6，6）}.
變7．寫出下列隨機試驗的樣本空間：
（1）連續(xù)拋擲2枚硬幣，觀察落地后這2枚硬幣是正面朝上還是反面朝上；
（2）從集合A={a，b，c，d}中任取3個元素.
【答案】
（1）{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}
（2）{（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d）}
【分析】
（1）借助樹狀圖，一一列舉即可求解.
（2）一一列舉即可得出答案.
（1）
畫樹狀圖如圖所示
因此，這個試驗的樣本空間Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}.
（2）
樣本空間Ω={（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d）}.
考點八：古典概型的概率計算公式
例8．某區(qū)要從參加扶貧攻堅任務(wù)的名干部甲?乙?丙?丁?戊中隨機選取人，赴區(qū)屬的某貧困村進行駐村扶貧工作，則甲或乙被選中的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
列舉出所有可能的情況，并從中找出符合條件的情況，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.
【詳解】
從名干部中隨機選取人，共有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，?。?，（乙，戊），（丙，?。?，（丙，戊），（丁，戊）這種等可能方案，
其中符合條件的有種方案，所求概率為.
故選：D.
變8．從編號為1~100的球中取出1球，所得的編號是4的倍數(shù)的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由古典概型概率公式即得.
【詳解】
從編號為1~100的球中取出1球，基本事件共100個，
其中所得的編號是4的倍數(shù)的基本事件有25個，
故所得的編號是4的倍數(shù)的概率為.
故選：B.
考點九：有放回與無放回問題的概率
例9．袋子中裝有大小、形狀完全相同的3個白球和4個紅球，現(xiàn)從中不放回地摸取兩個球，已知第一次摸到的是紅球，則第二次也摸到紅球的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
分析出第一次摸到紅球紅所剩球的總數(shù)及所剩紅球個數(shù)，即可求得第二次摸到紅球的概率.
【詳解】
第一次摸到的是紅球，則還剩3個白球和3個紅球，第二次從這6個球中摸到紅球的概率為.
故選：D
變9．從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
分析總的基本事件的個數(shù)和所求基本事件的個數(shù)，按照古典概型的概率公式即可求出結(jié)果.
【詳解】
從寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，基本事件的個數(shù)為，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的基本事件為，，，，，共6個，因此抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為.
故選：B.
考點十：獨立事件的判斷
例10．在一次試驗中，隨機事件A，B滿足，則（ ）
A．事件A，B一定互斥B．事件A，B一定不互斥
C．事件A，B一定互相獨立D．事件A，B一定不互相獨立
【答案】B
【分析】
根據(jù)互斥事件和獨立事件的概率的定義進行判斷即可
【詳解】
若事件A，B為互斥事件，則，與矛盾，所以，
所以事件A，B一定不互斥，所以B正確，A錯誤，
由題意無法判斷是否成立，所以不能判斷事件A，B是否互相獨立，所以CD錯誤，
故選：B
變10．（多選）．若，，，則事件與的關(guān)系錯誤是（ ）
A．事件與互斥B．事件與對立
C．事件與相互獨立D．事件與既互斥又獨立
【答案】ABD
【分析】
計算得出，由此可得出結(jié)論.
【詳解】
由題意可得，因為，，所以，，
故事件與相互獨立.
故選：ABD.
考點十一：獨立事件的乘法公式
例11．2020年1月，教育部出臺《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學科招生改革試點工作的意見》(簡稱“強基計劃”)，明確從2020年起強基計劃取代原有的高校自主招生方式.如果甲?乙兩人通過強基計劃的概率分別為，那么兩人中恰有一人通過的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由題意，甲乙兩人通過強基計劃是相互獨立的事件，可確定甲乙兩人中恰有一人通過的事件為甲通過乙不通過和甲不通過乙通過.
【詳解】
由題意，甲乙兩人通過強基計劃的事件是相互獨立的，那么甲乙兩人中恰有一人通過的概率為.
故選：D.
變11．甲乙倆人投籃相互獨立，且各投籃一次命中的概率分別是0.4和0.3，則甲乙倆人各投籃一次，至少有一人命中的概率為（ ）
A．0.7B．0.58C．0.12D．0.46
【答案】B
【分析】
先計算都沒有命中的概率，再由對立事件求解即可.
【詳解】
兩個人各投籃一次命中的概率分別是0.4和0.3，
所以都沒有命中的概率為，
所以至少有一人命中的概率為.
故選：B.
【真題演練】
1.（2016·全國·高考真題（文））小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】
試題分析：開機密碼的可能有，，共15種可能，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是，故選C．
【考點】古典概型
【解題反思】對古典概型必須明確兩點：①對于每個隨機試驗來說，試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．只有在同時滿足①、②的條件下，運用的古典概型計算公式（其中n是基本事件的總數(shù)，m是事件A包含的基本事件的個數(shù)）得出的結(jié)果才是正確的．
2.（2019·全國·高考真題（文））我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為___________.
【答案】0．98.
【分析】
本題考查通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行概率的估計，采取估算法，利用概率思想解題．
【詳解】
由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點數(shù)約為，其中高鐵個數(shù)為10+20+10=40，所以該站所有高鐵平均正點率約為．
【點睛】
本題考點為概率統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學運算素養(yǎng)．側(cè)重統(tǒng)計數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大．易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估算出正點列車數(shù)量與列車總數(shù)的比值．
3.（2020·全國·高考真題（文））某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標準分為A，B，C，D四個等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：
甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表
乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表
（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；
（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)?
【答案】（1）甲分廠加工出來的級品的概率為，乙分廠加工出來的級品的概率為；（2）選甲分廠，理由見解析.
【分析】
（1）根據(jù)兩個頻數(shù)分布表即可求出；
（2）根據(jù)題意分別求出甲乙兩廠加工件產(chǎn)品的總利潤，即可求出平均利潤，由此作出選擇．
【詳解】
（1）由表可知，甲廠加工出來的一件產(chǎn)品為級品的概率為，乙廠加工出來的一件產(chǎn)品為級品的概率為；
（2）甲分廠加工件產(chǎn)品的總利潤為元，
所以甲分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤為元每件；
乙分廠加工件產(chǎn)品的總利潤為
元，
所以乙分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤為元每件．
故廠家選擇甲分廠承接加工任務(wù)．
【點睛】
本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用，以及平均數(shù)的求法，并根據(jù)平均值作出決策，屬于基礎(chǔ)題．
【過關(guān)檢測】
1.下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個頂點各畫一條高線，這三條高線交于一點；③實數(shù)a，b都不為0，但；④某地區(qū)明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中為隨機事件的是（ ）
A．①④B．①②③C．②③④D．②④
【答案】A
【分析】
利用隨機事件的定義逐一分析給定的各個事件即可判斷作答.
【詳解】
拋擲一枚硬幣，是正面朝上，還是反面朝上，落下前不可確定，即①是隨機事件；
因三角形三條高線一定交于一點，則②是必然事件；
因?qū)崝?shù)a，b都不為0，則，于是得③是不可能事件；
某地區(qū)明年7月的降雨量是一種預(yù)測，不能確定它比今年7月的降雨量高還是低，④是隨機事件，
所以在給定的4個事件中，①④是隨機事件.
故選：A
2.從集合中任取兩個不同元素，則這兩個元素相差的概率為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
一一列出所有基本事件，然后數(shù)出基本事件數(shù)和有利事件數(shù)，代入古典概型的概率計算公式，即可得解.
【詳解】
解：從集合中任取兩個不同元素的取法有、、、、、共6種，其中滿足兩個元素相差的取法有、、共3種.故這兩個元素相差的概率為.
故選：B.
3.甲、乙兩個袋中各有3只白球，2只黑球，從甲袋中任取一球放入乙袋中，則再從乙袋中取出一球為白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
把求概率的事件分拆成兩個互斥事件的和，再求出每個事件的概率即可計算作答.
【詳解】
從乙袋中取出一球為白球的事件A是甲袋中取出一白球，再在乙袋中取出白球的事件B
及甲袋中取出一黑球，再在乙袋中取出白球的事件C的和，B，C互斥，
，，則，
所以再從乙袋中取出一球為白球的概率是.
故選：B
4.已知一次試驗，事件A與事件B不能同時發(fā)生且A，B至少有一個發(fā)生，又事件A與事件C不能同時發(fā)生．若，，則（ ）
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
【答案】A
【分析】
根據(jù)互斥事件和對立事件的定義和計算公式進行求解即可.
【詳解】
因為事件A與事件B不能同時發(fā)生且A，B至少有一個發(fā)生，
所以事件A與事件B為對立事件，而，
所以由，
又因為事件A與事件C不能同時發(fā)生，
所以事件A與事件C是互斥事件，因為，
所以，
故選：A
5.（多選）已知集合是集合的真子集，下列關(guān)于非空集合，的四個命題：
①若任取，則是必然事件：
②若任取，則是不可能事件；
③若任取，則是隨機事件；
④若任取，則是必然事件．
其中正確的命題是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】ACD
【分析】
根據(jù)集合是集合的真子集，可知集合中的元素都在集合中，集合中存在元素不是集合中的元素，再根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的定義判斷即可求解.
【詳解】
因為集合是集合的真子集，所以集合中的元素都在集合中，集合中存在元素不是集合中的元素，作出其韋恩圖如圖：
對于①：集合中的任何一個元素都是集合中的元素，任取，則是必然事件，故①正確；
對于②：任取，則是隨機事件，故②不正確；
對于③：因為集合是集合的真子集，集合中存在元素不是集合中的元素，集合中也存在集合中的元素，所以任取，則是隨機事件，故③正確；
對于④：因為集合中的任何一個元素都是集合中的元素，任取，則是必然事件，故④正確；所以①③④正確，
故選：ACD.
6.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：“至少一枚點數(shù)為1”，“兩枚骰子點數(shù)一奇一偶”，“兩枚骰子點數(shù)之和為8”，“兩枚骰子點數(shù)之和為偶數(shù)”判斷下列結(jié)論，正確的有（ ）
A．B．B，D為對立事件C．A，C為互斥事件D．A，D相互獨立
【答案】BC
【分析】
根據(jù)題意，寫出各事件包含的基本事件，再依次討論求解即可.
【詳解】
解：根據(jù)題意，事件包含的基本事件有，
事件包含的基本事件有，，，
事件包含的基本事件有，
事件包含的基本事件有，，，
所以對于A選項，由于事件中的元素均不在事件中，故錯誤；
對于B選項，事件與事件互斥，且并集為必然事件，故B，D為對立事件，正確；
對于C選項，顯然事件與事件是不可能同時發(fā)生，為不可能事件，故A，C為互斥事件，正確；
對于D選項，由題知，，事件包含的基本事件有，，顯然，故錯誤.
故選：BC
7.將2個1和1個0隨機排成一排，則這個試驗的樣本空間__________.
【答案】
【分析】
根據(jù)樣本空間的定義進行求解即可.
【詳解】
將2個1和1個0隨機排成一排，這個試驗的樣本空間，
故答案為：
8.一個質(zhì)地均勻的正四面體，其四個面涂有不同的顏色，拋擲這個正四面體一次，觀察它與地面接觸的顏色得到樣本空間{紅，黃，藍，綠}，設(shè)事件{紅，黃}，事件{紅，藍}，事件{黃，綠}，則下列判斷：①E與F是互斥事件；②E與F是獨立事件；③F與G是對立事件；④F與G是獨立事件．其中正確判斷的序號是______（請寫出所有正確判斷的序號）．
【答案】②③
【分析】
由對立和互斥事件的定義判斷①③；由獨立事件的性質(zhì)判斷②④.
【詳解】
{紅}，則E與F不是互斥事件；且，則F與G是對立事件；，則E與F是獨立事件；，，則F與G不是獨立事件．
故答案為：②③
9.已知集合，，從兩個集合中各取一個元素構(gòu)成點的坐標．
（1）寫出這個試驗的樣本空間；
（2）求這個試驗樣本點的總數(shù)；
（3）寫出“得到的點是第一象限內(nèi)的點”這一事件所包含的樣本點；
（4）說出事件所表示的實際意義．
【答案】
（1）答案見解析；
（2）
（3）
（4）得到的點是第三象限內(nèi)的點.
【分析】
（1）將樣本點一一列出在花括號內(nèi)可得樣本空間；
（2）由樣本空間可得樣本點的個數(shù)；
（3）找出橫縱坐標都大于的樣本點即可；
（4）根據(jù)事件中樣本點的坐標可得實際意義.
（1）
樣本空間為：
（2）
由知這個試驗樣本點的總數(shù)為.
（3）
得到的點是第一象限內(nèi)的點”這一事件所包含的樣本點為.
（4）
事件表示得到的點是第三象限內(nèi)的點.
10.為落實“雙減”政策，增強學生體質(zhì)，某校在初一年級隨機抽取了20名學生進行50米往返跑和跳繩測試，測試結(jié)果如下表：
由于部分數(shù)據(jù)丟失，僅知道從這20名參加測試的學生中隨機抽取一位，抽到跳繩優(yōu)秀的學生的概率為.
（1）求a，b的值；
（2）從50米往返跑為優(yōu)秀的學生中任意抽取2人，求其中至少有一位跳繩為優(yōu)秀的學生的概率.
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）根據(jù)學生總數(shù)為20，和抽到跳繩優(yōu)秀的學生的概率為建立方程組，解得答案即可；
（2）列舉出所有可能情況，進而根據(jù)古典概型求概率的方法求得答案.
（1）
由題意，.
（2）
根據(jù)表格，50米往返跑為優(yōu)秀的學生有6人，記這6人為1,2,3,4,5,6，其中5,6表示這6人中跳繩為優(yōu)秀的學生，于是從這6人中抽取2人的所有情況為：
{12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46，56}，總共15種情況，
其中至少有一位跳繩優(yōu)秀的情況有：{15,16，25,26，35,36，45,46，56}，共9種情況.所以所求概率.
11.新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學生充分的自由選擇權(quán).新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級將來高考選考物理的情況，隨機選取了100名高一學生，將他們某次物理測試成績（滿分100分）按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求圖中的值并估計這100名學生本次物理測試成績的中位數(shù).
（2）根據(jù)調(diào)查，本次物理測試成績不低于60分的學生，高考將選考物理科目；成績低于60分的學生，高考將不選考物理科目.按分層抽樣的方法從測試成績在，的學生中選取5人，再從這5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.
【答案】
（1），中位數(shù)為；
（2）.
【分析】
（1）由頻率和為1求參數(shù)a，根據(jù)直方圖及中位數(shù)的性質(zhì)求中位數(shù)即可.
（2）首先由分層抽樣原則求選取的5人在、的人數(shù)分布情況，再應(yīng)用列舉法求古典概型的概率即可.
（1）
由圖知：，解得.
學生成績在的頻率為；
學生成績在的頻率為.
設(shè)這100名學生本次物理測試成績的中位數(shù)為，則，解得，
故估計這100名學生本次物理測試成績的中位數(shù)為.
（2）
由（1）知，學生成績在的頻數(shù)為，學生成績在的頻數(shù)為.
按分層抽樣的方法從中選取5人，則成績在的學生被抽取人，分別記為，，成績在的學生被抽取人，分別記為，，.
從中任意選取2人，有，，，，，，，，，這10種選法，
其中至少有1人高考選考物理科目的選法有，，，，，，，，這9種，
∴這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.
事件
必然事件
每次試驗中一定會發(fā)生
不可能事件
每次試驗中一定不發(fā)生
隨機事件
①可能發(fā)生也可能不發(fā)生
②通常用大寫英文字母A，B，C，…來表示
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
（6，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
（6，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
（6，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
（6，4）
5
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
（6，5）
6
（1，6）
（2，6）
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（6，6）
等級
A
B
C
D
頻數(shù)
40
20
20
20
等級
A
B
C
D
頻數(shù)
28
17
34
21

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