寒假作業(yè)12 第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合提升卷-2021-2022學(xué)年高二人教A版（2019）數(shù)學(xué)（新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題
1．已知，則（）
A．B．C．D．
2．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處附近有定義，且為常數(shù)，則（）
A．B．C．D．
3．函數(shù)在上的最小值為（）
A．B．C．-1D．
4．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）
A．B．
C．D．
5．已知函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
6．已知是的極值點(diǎn)，則在上的最大值是（）
A．B．C．D．
7．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（），則下列說法正確的是（）
A．B．C．D．
8．已知定義在上的函數(shù)滿足下列三個(gè)條件：①當(dāng)時(shí)，；②的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；③，都有.則、、的大小關(guān)系是（）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．已知的導(dǎo)數(shù)為，則必有（）
A．B．（）
C．D．（）
10．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，對(duì)于任意，都有，則使不等式成立的的值可以為（）
A．B．1C．2D．3
11．在現(xiàn)代社會(huì)中，信號(hào)處理是非常關(guān)鍵的技術(shù)，我們通過每天都在使用的電話或者互聯(lián)網(wǎng)就能感受到．而信號(hào)處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù)的圖象就可以近似模擬某種信號(hào)的波形，則下列說法正確的是（）
A．函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，且最小正周期為π
B．函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
C．函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱
D．函數(shù)有最大值為7
12．已知直線與曲線和分別交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則的面積的可能為（）
A．1B．2C．3D．4
三、填空題
13．函數(shù).的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為___________.
14．已知函數(shù)在處可導(dǎo)，若，則____________．
15．已知在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
16．已知，，，，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.
四、解答題
17．已知函數(shù)在處的切線方程．
（1）求，的值；
（2）求的單調(diào)區(qū)間與極小值．
18．已知函數(shù).
（1）若函數(shù)的定義域?yàn)?，求的極值點(diǎn)；
（2）若，，證明：.
19．已知函數(shù)在處取得極值.
（1）求在上的最小值；
（2）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍.
20．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求函數(shù)過點(diǎn)處的切線方程.
21．已知函數(shù)，，其中.
（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，證明：.
22．設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
參考答案
1．A
【分析】
先求出的導(dǎo)函數(shù)，再求出的值即可．
【詳解】
解：，
.
故選：A．
2．C
【分析】
由導(dǎo)函數(shù)的定義可得選項(xiàng).
【詳解】
解：因?yàn)闉槌?shù)，所以，
故選：C.
3．D
【分析】
求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.
【詳解】
解：因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故.
故選：D.
4．B
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)法求解.
【詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
故選：B
5．B
【分析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，由在上恒成立求解.
【詳解】
解：，
，
因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
，
解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是
故選:B．
6．A
【分析】
求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)是的極值點(diǎn)，求得，進(jìn)而求得函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合的值，即可求得函數(shù)的最大值，得到答案.
【詳解】
由題意，函數(shù)，可得，
因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，可得，解得，
所以，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
由，
又由，所以，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為.
故選：A.
7．C
【分析】
根據(jù)題意設(shè)與相切于，進(jìn)而求得，切線方程為，再數(shù)形結(jié)合求解即可得答案.
【詳解】
解：設(shè)與相切于，
所以，即，解得
所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，
因?yàn)楹瘮?shù)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（），
所以與的圖像如圖所示，
由上圖可知.
故選：C
8．A
【分析】
推導(dǎo)出函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合已知條件可得出，，，利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在上為減函數(shù)，由此可得出、、的大小關(guān)系.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則，
故，
，
又因?yàn)?，都有，所以，?br>所以，，
，，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，且不恒為零，故函數(shù)在上為減函數(shù)，
因?yàn)椋瑒t，故.
故選：A.
9．BD
【分析】
求出導(dǎo)數(shù)，作差可得出答案.
【詳解】
由，得，所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)BD正確.
故選：BD.
10．CD
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，再由單調(diào)性解不等式，確定正確選項(xiàng)．
【詳解】
令，所以，
因?yàn)?，，所以，所以在上單調(diào)遞增，
又，可得的解集為.
故選：CD.
11．BCD
【分析】
由判斷A錯(cuò)誤；由函數(shù)的奇偶性判斷B選項(xiàng)的正確性；由函數(shù)的對(duì)稱性判斷C選項(xiàng)的正確性；根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷D選項(xiàng)的正確性.
【詳解】
A，，
，所以不是的周期，A錯(cuò)誤.
B，，是奇函數(shù)，B正確.
C，
，所以關(guān)于對(duì)稱，C選項(xiàng)正確.
D，，
，，所以D選項(xiàng)正確.
故選：BCD
12．CD
【分析】
根據(jù)題意求出的面積關(guān)于t的函數(shù)式，利用導(dǎo)數(shù)研究其最小值即可．
【詳解】
由已知可得，，則，
，
令，，，
令，，
在R上單調(diào)遞增，又，
時(shí)，，時(shí)，，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，
所以面積的最小值為3．
則的面積的可能為3，4．
故選：CD．
13．
【分析】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出結(jié)果．
【詳解】
因?yàn)?，所?
故答案為：.
14．2
【分析】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極限的定義求解．
【詳解】
，所以
．
故答案為：2．
15．
【分析】
求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)在區(qū)間上不單調(diào)，即函數(shù)在上有零點(diǎn)，即方程在上有解，分離參數(shù)，從而可得出答案.
【詳解】
解：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上不單調(diào)，
所以在上有零點(diǎn)，
即方程在上有解，
即在上有解，
所以.
故答案為：.
16．
【分析】
由題可得，求導(dǎo)可得的單調(diào)性，將的最小值代入，即得.
【詳解】
∵，，使得成立，
∴．
由，得，
當(dāng)時(shí)，，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．
又在上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，
∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：.
17．（1）；（2）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，的極小值為．
【分析】
（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有，又，聯(lián)立方程組即可求解.
（2）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0，可得減區(qū)間，從而可得函數(shù)的極小值．
【詳解】
解：（1），由已知可得，解得.
（2）由（1）可得，
∴，
令，解得；令，解得，
∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時(shí)，的極小值為．
18．
（1）和
（2）證明見解析
【分析】
（1）首先求出，令即可求解.
（2）求出，判斷是凸函數(shù)，即證.
（1）
令，
，或，，
令，則，
解得，
令，則，
解得，

又
故極值點(diǎn)為和，
（2）
時(shí)，
故是凸函數(shù)，
故，
有
19．
（1）
（2）
【分析】
（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，即可求出函數(shù)解析式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，即可求出函數(shù)的最小值；
（2）依題意有唯一解，即函數(shù)與只有1個(gè)交點(diǎn)，由（1）可得函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出參數(shù)的取值范圍；
（1）
解：因?yàn)?，所以?br>在處取得極值，，即解得，
，所以，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，
在上的最小值為.
（2）
解：由（1）知，，
若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
則方程有唯一解，即有唯一解，
由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，函數(shù)圖象如下所示：
或，得或，
即b的取值范圍為.
20．
（1）
（2）或
【分析】
（1）求導(dǎo)，求出切線斜率即可
（2）設(shè)切點(diǎn)為，求出切線方程，代入點(diǎn)，解方程可得切點(diǎn)，進(jìn)而可得直線方程
（1）
由已知，
則，
故切線方程為，即
（2）
設(shè)切點(diǎn)為，
則
切線方程為，
代入點(diǎn)可得，解得或
又，
故切線方程為或
即切線方程為或
21．
（1）答案見解析
（2）證明見解析
【分析】
（1）先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）要證，只要證，由于時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值大于零即可
（1）
的定義域?yàn)?br>當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）
，，即證：
，即證：
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，令，則
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
綜上所述：，即
22．（1）；（2）證明見詳解
【分析】
（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；
（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解
【詳解】
（1）由，，
又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；
（2）由（1）得，，且，
當(dāng) 時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；
同理，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；
令，再令，則，，
令，，
當(dāng)時(shí)，，單減，假設(shè)能取到，則，故；
當(dāng)時(shí)，，單增，假設(shè)能取到，則，故；
綜上所述，在恒成立
【點(diǎn)睛】
本題為難題，根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0可求參數(shù)，第二問解法并不唯一，分類討論對(duì)函數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價(jià)性問題，構(gòu)造函數(shù)和換元法也常常用于解決復(fù)雜函數(shù)的最值與恒成立問題.

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