基礎過關全練
知識點1 坡比、坡角問題
1.一個公共房門前的臺階高出地面1.2米,臺階拆除后,換成供輪椅行走的斜坡,數據如圖所示,則下列關系或說法正確的是( )
A.斜坡AB的坡比是1.2 B.斜坡AB的坡比是tan 10°∶1
C.AC=1.2tan 10°米 D.AB=1.2cs10°米
2.為加強國防教育和素質拓展,小明和小亮去坡比為1∶2的小山坡進行晨練.已知他們從坡底到坡頂共步行了1 000米,則小山坡的高度 為 米.
3.【新獨家原創(chuàng)】隨著我國科學技術不斷發(fā)展,5G移動通信技術日趨完善,某市政府為了實現5G網絡全覆蓋,擬建設5G基站3 000個,如圖,一個坡比為1∶0.75的山坡AB上有一建成的5G基站塔BD,小明測得∠ACD=53°,AB=35米,AC=19米,則信號塔BD的高度約為 米.(結果精確到0.1米,參考數據:sin 53°≈0.80,cs 53°≈0.60,
tan 53°≈1.33)
4.【教材變式·P20例3】(2022湖南郴州中考)如圖所示的是某水庫大壩的橫截面,壩高CD=20 m,背水坡BC的坡比為1∶1.為了對水庫大壩進行升級加固,降低背水坡的傾斜程度,設計人員準備把背水坡的坡比改為1∶3,求背水坡新起點A與原起點B之間的距離.(參考數據:2≈1.41,3≈1.73.結果精確到0.1 m)( )
知識點2 圓弧問題
5.【新情境·摩天輪】(2022浙江溫州永嘉月考)某游樂場的一座摩天輪示意圖如圖所示,其直徑為90 m,旋轉1周用時15 min.小明從摩天輪的底部(與地面相距0.5 m)出發(fā)開始觀光,摩天輪轉動1周,小明在離地面68 m及以上的空中的時間是( )( )
A.5 min B.6 min
C.7 min D.8 min
6.如圖,在2×2的正方形網格中,每個小正方形的邊長均為1,以頂點O為圓心,以2為半徑作圓弧,交圖中網格線于點A,則tan∠ABO的值為 .
能力提升全練
7.一個長方體木箱沿斜面滑至如圖所示的位置時,AB=2 m,BE=1 m,斜面坡角為∠α,則木箱頂點E距地面AC的高度為( )
A.1csα+2sinαm
B.(2cs α+sin α)m
C.(cs α+2sin α)m
D.(tan α+2sin α)m
8.圖1是兩扇門和門檻AB,AD,BC是可轉動門寬(AD=BC),現將兩扇門推到圖2的位置(平面示意圖),其中tan∠DAB=512,tan∠CBA=34,測得C,D之間的距離為4130 dm,則門檻AB的長為 dm.

9.(2019浙江舟山中考,22,★★☆)某挖掘機的底座高AB=0.8米,動臂BC=1.2米,CD=1.5米,BC與CD的固定夾角∠BCD=140°.初始位置如圖①所示,斗桿頂點D與鏟斗頂點E所在直線DE垂直地面AM于點E,測得∠CDE=70°(示意圖如圖②所示).工作時如圖③所示,動臂BC會繞點B轉動,當點A,B,C在同一直線上時,斗桿頂點D升至最高點(示意圖如圖④所示).
(1)求挖掘機在初始位置時動臂BC與AB的夾角∠ABC的度數;
(2)斗桿頂點D的最高點比初始位置高了多少米?(結果精確到0.1米,參考數據:sin 50°≈0.77,cs 50°≈0.64,sin 70°≈0.94,cs 70°≈0.34,3≈1.73)
素養(yǎng)探究全練
10.【運算能力】(2023浙江溫州瑞安期中)下圖是某小車后備箱開起的側面示意圖,具體數據如圖所示(單位:cm),且AF∥BE,∠BAF=60°,BD=10 cm,箱蓋開起過程中,點A,C,F不隨箱蓋轉動,點B,D,E繞點A沿逆時針方向旋轉90°(∠BAB'=90°),分別到點B',D',E'的位置,氣簧活塞桿CD隨之移動到CD'的位置.已知直線BE⊥B'E',點E、B、E'在一條直線上,BE'=(20+203)cm,CD'=CB,那么AB的長為 cm,CD'的長為 cm.( )
答案全解全析
基礎過關全練
1.B 斜坡AB的坡比是tan 10°∶1,故選B.
2.答案 2005
解析 如圖,由題意知AB的坡比為1∶2,
∴BCAC=12,
∴設BC=x米,AC=2x米,x>0,
∵在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,AB=1 000米,
∴1 000 000=4x2+x2,
∴x=2005,
∴BC=2005米,
即小山坡的高度為2005米.
3.答案 25.2
解析 延長DB交直線AC于G, 如圖,
∵山坡AB的坡比為1∶0.75=4∶3,
∴設BG=4k米,AG=3k米(k>0),∴AB=5k米.
又AB=35米,∴k=7,∴BG=28米,AG=21米,
∴CG=AG+AC=21+19=40米.
在Rt△CDG中,∵∠ACD=53°,
∴DG=CG·tan 53°≈40×1.33=53.2米,
∴BD=DG-BG=53.2-28=25.2米,
∴信號塔BD的高度約為25.2米.
4.解析 在Rt△BCD中,∵BC的坡比為1∶1,
∴CDBD=1,∴BD=CD=20米,
在Rt△ACD中,∵AC的坡比為1∶3,
∴CDAD=13,∴AD=3CD=203米,
∴AB=AD-BD=203-20≈14.6(米),
∴背水坡新起點A與原起點B之間的距離約為14.6米.
5.A 如圖,設小明在C點和D點時距離地面68 m,連結CD、OC、OD,延長AO交CD于M,即OM⊥CD,小明在CD上時滿足要求,
由題意知AB=0.5 m,AM=68 m,OB=OD=902=45 m,
∴OM=68-45-0.5=22.5(m),
∴OMOD=22.545=12=cs∠MOD,
∴∠MOD=60°,∴∠COD=120°,
∵摩天輪旋轉1周用時15 min,
∴小明在離地面68 m及以上的空中的時間是15×120°360°=5(min),故選A.
6.答案 2+3
解析 如圖,連結OA,過點A作AC⊥OB于點C,
則AC=1,OA=OB=2,
∵在Rt△AOC中,OC=OA2-AC2=22-12=3,
∴BC=OB-OC=2-3,
∴在Rt△ABC中,tan∠ABC=ACBC=12-3=2+3.
能力提升全練
7.C 過E作EN⊥AC于N,交AB于M,過B作BG⊥AC于G,BH⊥EN于H,如圖所示:
則四邊形BHNG是矩形,
∴HN=BG,
在Rt△ABG中,∠BAG=α,sin∠BAG=BGAB,
∴BG=AB·sin∠BAG=2sin α m,
∴HN=2sin α m,
∵∠EBM=∠ANM=90°,∠BME=∠AMN,
∴∠BEM=∠MAN=α,
∵在Rt△EHB中,∠BEH=α,BE=1 m,cs∠BEH=EHBE,
∴EH=BE·cs∠BEH=1×cs α=cs α(m),
∴EN=EH+HN=(cs α+2sin α)m,
即木箱頂點E距地面AC的高度為(cs α+2sin α)m,故選C.
8.答案 260
解析 過D作DF⊥AB于F,過C作CG⊥AB于G,過D作DE⊥CG于E,則四邊形DFGE為矩形,
∴DE=FG,EG=DF,∠DEC=90°,
設AD=BC=x dm,x>0,則AB=2x dm,
∵tan∠DAB=512,tan∠CBA=34,
∴sin A=513,cs A=1213,sin B=35,cs B=45,
∴DF=513x dm,AF=1213x dm,CG=35x dm,BG=45x dm,
∴CE=CG-EG=CG-DF=35x-513x=1465x dm,
DE=FG=AB-AF-BG=2x-1213x-45x=1865x dm,
在Rt△CDE中,DC=4130 dm,DE2+CE2=DC2,
∴1865x2+1465x2=(4130)2,
解得x1=130,x2=-130(舍去),
∴AB=260 dm.
9.解析 (1)過點C作CG⊥AM于點G,如圖1,
∵AB⊥AM,DE⊥AM,∴AB∥CG∥DE,
∴∠DCG=180°-∠CDE=110°,
∴∠BCG=∠BCD-∠DCG=140°-110°=30°,
∴∠ABC=180°-∠BCG=150°.
(2)過點C作CP⊥DE于點P,過點B作BQ⊥DE于點Q,交CG于點N,如圖1,易得PQ=CN,QE=AB,
在Rt△CPD中,DP=1.5·cs 70°≈0.51(米),
在Rt△BCN中,CN=1.2·cs 30°≈1.04(米),
∴DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB=2.35(米),
如圖2,過點D作DH⊥AM于點H,過點C作CK⊥DH于點K,易得KH=AC=AB+BC=2米,
∵∠BCD=140°,∠ACK=90°,
∴∠DCK=50°,
在Rt△CKD中,DK=CD·sin 50°≈1.16米,
∴DH=DK+KH=3.16米,
∵3.16-2.35≈0.8米,
∴斗桿頂點D的最高點比初始位置高了約0.8米.
素養(yǎng)探究全練
10.答案 40;31.25
解析 如圖,過A作AP⊥E'B于點P,
∵AF∥BE,
∴∠ABP=∠BAF=60°,
∴BP=12AB,
由題意知BE繞點A逆時針旋轉90°后得到B'E',
過B'作B'H⊥AP,交AP于點H,
∵∠PAB+∠ABP=90°,∠D'AP+∠PAB=90°,
∴∠D'AP=∠ABP=60°,∴B'H=AB'sin 60°=32AB,
∴20+203=B'H+PB=32AB+12AB=3+12AB,
∴AB=40 cm.
設CD=x cm,則BC=CD'=BD+CD=(10+x)cm,
∴AC=AB-BC=40-(10+x)=(30-x)cm,
AD'=AD=AB-BD=40-10=30(cm),
∵∠D'AC=90°,∴AC2+AD'2=CD'2,
∴(30-x)2+302=(10+x)2,解得x=21.25,
∴CD'=10+21.25=31.25(cm).
故答案為40;31.25.

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