九年級(jí)下冊(cè)1.3 解直角三角形精品課時(shí)作業(yè)

這是一份九年級(jí)下冊(cè)1.3 解直角三角形精品課時(shí)作業(yè)，共42頁(yè)。試卷主要包含了sin60°的值為等內(nèi)容，歡迎下載使用。

1．sin60°的值為（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則csA的值是（ ）
A．B．C．D．
3．三角形在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖所示，則sina+csa的值是（ ）
A．B．C．D．
4．比較tan46°，cs29°，sin59°的大小關(guān)系是（ ）
A．tan46°＜cs29°＜sin59° B．tan46°＜sin59°＜cs29°
C．sin59°＜tan46°＜cs29° D．sin59°＜cs29°＜tan46°
5．小明在學(xué)完《解直角三角形》一章后，利用測(cè)角儀和校園旗桿的拉繩測(cè)量校園旗桿的高度，如圖，旗桿的高度與拉繩的長(zhǎng)度相等，小明先將拉到的位置，測(cè)得為水平線），測(cè)角儀的高度為米，則旗桿的高度為（ ）
A．米B．米C．米D．米
6．如圖，點(diǎn)A為∠α邊上的任意一點(diǎn)，作AC⊥BC于點(diǎn)C，CD⊥AB于點(diǎn)D，下列用線段比表示csα的值，錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在△ABC中，csB＝，sinC＝，AC＝5，則△ABC的面積是( )
A． B．12C．14D．21
8．如圖，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過(guò)弦CD的中點(diǎn)H，已知sin∠CDB=，BD=5，則AH的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
9．如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，DE⊥AB，垂足 為E，，則下列結(jié)論中：①DE=3cm；②EB=1cm；③．正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
10．如圖，在中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，以為直徑作，分別交于點(diǎn)，連接，則線段的最小值是（ ）
A．B．C．D．
11．計(jì)算： ．
12．如圖：兩張寬度都為的紙條交叉重疊在一起，兩張紙條交叉的夾角為α（見圖中的標(biāo)注），則重疊（陰影）部分的面積表示為 ．
13．如圖，△ABC中，，垂足H在BC邊上，如果，，，那么 （用含和的式子表示）．
14．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)O，則tan∠AOD= .
15．圖1是鄭州的網(wǎng)紅打卡點(diǎn) “戒指橋”， 其數(shù)學(xué)模型如圖2所示． 線段是其中一條拉索， 點(diǎn)在圓上， 點(diǎn)是圓和水平橋面的交點(diǎn)． 小明測(cè)得， 且在 B點(diǎn)和點(diǎn)觀測(cè)點(diǎn)的仰角均為， 則點(diǎn)到橋面的距離為 ， “戒指” 的半徑為 ．
16．如圖，∠yAB和∠xBA的平分線交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)PA、PB交坐標(biāo)軸于C、D兩點(diǎn)，已知、，若雙曲線y=過(guò)點(diǎn)P，則k= ．
17．計(jì)算：
18．在中，，，．
(1)求的長(zhǎng)；
(2)求的值．
19．如圖，學(xué)?？萍夹〗M，計(jì)劃測(cè)量一處電信塔的高度，小明在A處用儀器測(cè)到D的仰角，向塔正前方水平直行到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)到塔尖的仰角，若小明的眼睛離地面，你能計(jì)算出塔的高度DE嗎？寫出計(jì)算過(guò)程．
20．如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，連接，
(1)求證：．
(2)作于點(diǎn)，若的半徑為，，求的長(zhǎng)．
21．消防車是救援火災(zāi)的主要裝備，圖①是一輛登高云梯消防車的實(shí)物圖，圖②是其工作示意圖，起重臂AC（）是可伸縮的，且起重臂AC可繞點(diǎn)A在一定范圍內(nèi)上下轉(zhuǎn)動(dòng)，張角（），轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)A距離地面的高度AE為4米．
(1)當(dāng)起重臂AC的長(zhǎng)度為24米，張角時(shí)，云梯消防車最高點(diǎn)C距離地面的高度CF的長(zhǎng)為________米．
(2)某日一棟大樓突發(fā)火災(zāi)，著火點(diǎn)距離地面的高度為26米，該消防車在這棟樓下能否實(shí)施有效救援？請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：）．（提示：當(dāng)起重臂AC伸到最長(zhǎng)且張角最大時(shí)，云梯頂端C可以達(dá)到最大高度）
22．在七年級(jí)第二學(xué)期14.7這一章節(jié)的課后練習(xí)部分，我們學(xué)習(xí)了以平習(xí)題，如圖，已知B、C、E在一直線上，和都是等邊三角形，聯(lián)結(jié)，試說(shuō)明和全等的現(xiàn)由．現(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形、銳角的三角比這兩章節(jié)的內(nèi)容．在此基礎(chǔ)上我們繼續(xù)探究：已知，，與交于點(diǎn)F．
(1)求證：；
(2)若，，求的正弦值．
23．如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，直線的經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．
(1)求m、n的值；
(2)設(shè)點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為A，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
(3)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且在第一象限內(nèi)，直線與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，如果，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
評(píng)卷人
得分
一、單選題
評(píng)卷人
得分
二、填空題
評(píng)卷人
得分
三、解答題
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行回答即可．
【詳解】解：sin60°=，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．
2．A
【分析】利用勾股定理計(jì)算出AC長(zhǎng)，再利用余弦定義可得答案．
【詳解】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∴csA＝＝，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)，關(guān)鍵是掌握余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作csA．
3．D
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的定義，可得sina、csa的值，進(jìn)而可得sina+csa的值．
【詳解】根據(jù)題意，分析圖表可得：
sinα=，csα=．
故sina+csa=．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對(duì)邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對(duì)邊比鄰邊．
4．D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的增減性，以及互余的兩個(gè)角之間的關(guān)系即可做出判斷．
【詳解】
又
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的增減性，解題關(guān)鍵是熟記銳角三角函數(shù)的增減性．
5．C
【分析】設(shè)PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根據(jù)，列出方程即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：設(shè)PA=PB=PB′=x，
在RT△PCB′中，
∴
∴，
∴（1-）x=1，
∴x=．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)列方程，屬于中考常考題型．
6．C
【分析】利用垂直的定義以及互余的定義得出∠α＝∠ACD，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．
【詳解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠α+∠BCD＝∠ACD+∠BCD，
∴∠α＝∠ACD，
∴csα＝cs∠ACD＝＝＝，
只有選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，得出∠α=∠ACD是解題關(guān)鍵．
7．A
【分析】根據(jù)已知作出三角形的高線AD，進(jìn)而得出AD，BD，CD，的長(zhǎng)，即可得出三角形的面積．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，
∵△ABC中，csB=，sinC=，AC=5，
∴csB==，
∴∠B=45°，
∵sinC===，
∴AD=3，
∴CD==4，
∴BD=3，
則△ABC的面積是：×AD×BC=×3×（3+4）=．
故選A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的知識(shí)，作出AD⊥BC，進(jìn)而得出相關(guān)線段的長(zhǎng)度是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
8．B
【分析】連接OD，由垂徑定理得出AB⊥CD，由三角函數(shù)求出BH=3，由勾股定理得出DH==4，設(shè)OH=x，則OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【詳解】連接OD，如圖所示：
∵AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過(guò)弦CD的中點(diǎn)H，
∴AB⊥CD，
∴∠OHD=∠BHD=90°，
∵sin∠CDB=，BD=5，
∴BH=3，
∴DH==4，
設(shè)OH=x，則OD=OB=x+3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42=（x+3）2，
解得：x=，
∴OH=，
∴AH=OA+OH=+3+=，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)，正確添加輔助線，熟練應(yīng)用垂徑定理、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.
9．D
【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，其周長(zhǎng)=20cm，
∴AB=AD=5cm，
∵DE⊥AB于點(diǎn)E，
∴∠AED=90°，
∴csA=，
∴AE=4cm，
∴BE=AB-AE=1cm，DE=cm，
∴S菱形ABCD=AB·DE=5×3=15cm2.
綜上所述，題中所給三個(gè)結(jié)論都是正確的.
故選D.
10．B
【分析】由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)為的邊上的高時(shí)，直徑最短，此時(shí)線段，當(dāng)半徑最短時(shí)，最短，連接，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，在中，解直角三角形求直徑，由圓周角定理可知，在中，解直角三角形求，由垂徑定理可知．
【詳解】解：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)為的邊上的高時(shí)，直徑最短，
如圖，連接，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
在中，，，
，即此時(shí)圓的直徑為2，
由圓周角定理可知，
在中，，
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化，找出滿足條件的最小圓，再解直角三角形．
11．
【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算法則求解即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值，熟知60度角的正切值和45度角的正弦值是解題的關(guān)鍵．
12．
【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)E．由題意即得出四邊形為菱形，從而得出，．再根據(jù)正弦的定義可求出，最后由菱形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)E．
由題意可知四邊形為菱形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定和性質(zhì)，解直角三角形．正確的作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．
13．
【分析】先在中由求出，再在中由求出．
【詳解】∵，
∴，
在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，準(zhǔn)確的選擇合適的三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
14．2
【分析】首先連接BE，由題意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，繼而求得答案．
【詳解】如圖，連接BE，
∵四邊形BCEK是正方形，
∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根據(jù)題意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF==2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
故答案為2
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
15． 14 26
【分析】第1空，連接BD，過(guò)D作交BC于點(diǎn)E，由已知可得是等腰直角三角形，；第2空，連接BD，取AB，BD的中點(diǎn)，分別為H，F(xiàn)，作AB與BD的中垂線OH，OF，交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為該圓圓心，過(guò)點(diǎn)F作交OH于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作交BC于點(diǎn)M，連接OA，則OA為該圓半徑，先求得FM的值，證得四邊形GHMF是矩形，，再證得，在中，求得，最后運(yùn)用勾股定理，在中，求得OA的長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖1，連接BD，過(guò)D作交BC于點(diǎn)E，
∵在 B點(diǎn)和點(diǎn)觀測(cè)點(diǎn)的仰角均為，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
∵，，，
∴
∵，
∴，
∵，，
∴
故點(diǎn)到橋面的距離為14m．
如圖2，連接BD，取AB，BD的中點(diǎn)，分別為H，F(xiàn)，作AB與BD的中垂線OH，OF，交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)F作交OH于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作交BC于點(diǎn)M，連接OA，
則點(diǎn)O為該圓圓心，OA為該圓半徑，
∵F為BD中點(diǎn)，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∵H為AB中點(diǎn)，，
∴，
∵，
∴．
∵，，，
∴四邊形GHMF是矩形，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴在四邊形OHBF中，
，
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵四邊形GHMF是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，
，
∴，
故“戒指” 的半徑為26m．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，解三角形，矩形的性質(zhì)及判定，勾股定理的運(yùn)用，題目綜合性強(qiáng)，靈活運(yùn)用以上幾何知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
16．36
【分析】過(guò)A作∠OAB的平分線AM交x軸于M，過(guò)M作于，根據(jù)角平分線的定義可知AM⊥PC，根據(jù)同角的余角相等得到∠ACO=∠OAM，在平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)、，得到，設(shè)OM=x，則=x，= OA=4，，BM=3－x，在Rt中，利用勾股定理列方程解得x=，由tan∠ACO=tan∠OAM得：OC=12，即C（－12，0），進(jìn)而得到直線AC的解析式為：y=x+4，同理得到直線BD的解析式為：y=2x－6，聯(lián)立解得P（6，6），根據(jù)雙曲線過(guò)點(diǎn)P（6，6），代入解析式即可得到值．
【詳解】解：過(guò)A作∠OAB的平分線AM交x軸于M，過(guò)M作于，如圖所示：
AP是∠yAB的平分線，
AM⊥PC，
，，
∴∠ACO=∠OAM，
、，
，
，，
，即，
，
設(shè)OM=x，則=x，= OA=4，，BM=3－x，
在Rt中，由勾股定理得：，解得：x=，
∠ACO=∠OAM，
∴tan∠ACO=tan∠OAM，即，解得：OC=12，即C（－12，0），
設(shè)直線AC的解析式為，將、C（－12，0）代入得
解得，
∴直線AC的解析式為：y=x+4，
過(guò)B作∠OBA的平分線BN交y軸于N，過(guò)N作于，如圖所示：
同理，可得直線BD的解析式為：y=2x－6，
聯(lián)立，解得，即P（6，6），
∵雙曲線y=過(guò)點(diǎn)P（6，6），
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查求反比例函數(shù)表達(dá)式，涉及到角平分線的定義與性質(zhì)、勾股定理、解三角形、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖像交點(diǎn)等知識(shí)，利用角平分線定義及性質(zhì)作出輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
17．7
【分析】原式分別計(jì)算，，，然后再合并即可得到結(jié)果．
【詳解】解：
=
=
=7
【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算以及特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵．
18．(1)3
(2)
【分析】（1）利用勾股定理即可求解；
（2）根據(jù)正切值的含義即可求解．
【詳解】（1）∵，，，
∴，
即的長(zhǎng)為3；
（2）∵，，，
∴，
即的值為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求解角的正切值以及勾股定理的知識(shí)，掌握正切的含義是解答本題的關(guān)鍵．
19．，計(jì)算過(guò)程見解析．
【分析】先證明，在中，利用含角的直角三角形的性質(zhì)求出，即可解決問(wèn)題．
【詳解】∵，，
∴
∴
在中，
∴
∵
∴
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，等腰三角形的判定、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的判定和直角三角形的性質(zhì)，屬于中考常考題型．
20．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）解法一：根據(jù)是直徑，得出，結(jié)合圖形，利用等角的余角相等證明即可；解法二：根據(jù)垂徑定理以及垂徑定理的推論即可證明；
（2）利用勾股定理求出，再利用求解即可．
【詳解】（1）證明：解法一：∵是直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
解法二：連接，∵是直徑，
∴，
∴．
（2）解：如圖，連接．
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理及其推論，勾股定理，正弦的定義，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
21．(1)16；
(2)消防車能夠?qū)嵤┯行Ь仍?，理由見解析?br>【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作，垂足為F．先在中求出CG，再利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出CF；
（2）先計(jì)算當(dāng)AC長(zhǎng)30米且時(shí)救援的高度，再判斷該消防車能否實(shí)施有效救援．
【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為F．
由題意知：四邊形AEFG是矩形．
，．
，
．
在 中，
，，
云梯消防車最高點(diǎn)C距離地面的高度CF的長(zhǎng)為16米；
故答案為：16；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AE，交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．
當(dāng)，時(shí)，
．
在中，
，

由題意知，四邊形HEFC是矩形，
，
該消防車能夠?qū)嵤┯行Ь仍?br>【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，在抽象圖中找到直角三角形、熟記銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值是本題的解題關(guān)鍵．
22．(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出答案；
（2）由，過(guò)A作于M，根據(jù)勾股定理求出、、的值即可根據(jù)求解．
【詳解】（1）∵和都是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）過(guò)A作于M，
∵
∴，
∴，
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，正弦，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
23．(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入直線解析式中，可求得m、n的值；
（2）過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，連接，可證明，由相似三角形的性質(zhì)即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)，證明，由相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于q的方程，解方程即可．
【詳解】（1）解：把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入中，得：，
解得：，
即，；
（2）解：過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，連接，如圖，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由A、B的坐標(biāo)知，，，，
∴，即，
∴，
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，，點(diǎn)P在x軸上方，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，，點(diǎn)P在x軸下方，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；
（3）解：由（1）知，直線解析式為：，
上式中，令，得，
則，；
因點(diǎn)Q在直線上，故設(shè)點(diǎn)，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，，，
∴，
解得：或（舍去），
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解一元二次方程，勾股定理及三角函數(shù)等知識(shí)，（2）問(wèn)中有兩種情況，不要漏掉其中一種情況，（3）問(wèn)中利用相似三角形的性質(zhì)建立方程是難點(diǎn)．