基礎(chǔ)過關(guān)全練
知識點1 仰角、俯角問題
1.【國防形勢與任務(wù)】在邊防哨所,我們的軍人每天都巡邏在邊防線上,他們不怕苦不怕累,或站崗放哨或巡邏或執(zhí)行任務(wù).有一次,某邊防戰(zhàn)士去海拔為50米(即CD=50米)的小島頂部D處執(zhí)行任務(wù),如圖,上午8點,發(fā)現(xiàn)在海面上的A處有一艘船,此時測得該船的俯角為30°,該船沿著AC方向航行一段時間后到達B處,又測得該船的俯角為45°,則該船在這一段時間的航程為 米.( )
2.【主題教育·革命文化】(2022湖北襄陽中考)位于峴山的革命烈士紀念塔是襄陽市的標志性建筑,是為紀念“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國內(nèi)革命戰(zhàn)爭時期為襄陽的解放事業(yè)獻身的革命烈士而興建的.某校數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機測量革命烈士紀念塔的高度,無人機在點A處測得塔頂部點B的仰角為45°,塔底部點C的俯角為61°,無人機與塔的水平距離AD為10 m,求革命烈士紀念塔的高度.(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):sin 61°≈0.87,cs 61°≈0.48,tan 61°≈1.80)
知識點2 方向角問題
3.(2022四川巴中中考)一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向,距離燈塔30海里的A處,它沿北偏東30°方向航行一段時間后,到達位于燈塔P的北偏東67°方向的B處,此時輪船與燈塔P的距離約為 海里.結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):sin 37°≈35,cs 37°≈45,tan 37°≈34( )
4.(2022浙江金華金東一模)某海域有A,B兩個島嶼,B島在A島北偏西30°方向上,距A島120海里.有一艘船從A島出發(fā),沿東北方向行駛一段距離后,到達位于B島南偏東75°方向的C處.
(1)求∠BCA的度數(shù);
(2)求BC的長.
能力提升全練
5.【主題教育·愛國主義教育】(2022寧夏中考,16,★★☆)2022年4月16日9時56分,神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸.如圖,某一時刻觀測點D測得返回艙底部C的仰角∠CDE=45°,降落傘底面圓A點處的仰角∠ADE=46°12'.已知半徑OA為14米,拉繩AB為50米,返回艙高度BC為2米(點O、B、C、E在一條直線上,且OE⊥DE,AF⊥DE),這時返回艙底部離地面的高度CE約為 米(精確到1米).(參考數(shù)據(jù):sin 46°12'≈0.72,cs 46°12'≈0.69,tan 46°12'≈1.04)
6.【構(gòu)造直角三角形法】(2022浙江寧波余姚一模,20,★★☆)如圖,某漁船向正東方向以10海里/時的速度航行,在A處測得島C在北偏東60°方向上,1小時后漁船航行到B處,測得島C在北偏東30°方向上,已知該島周圍9海里內(nèi)有暗礁.
(1)B處離島C有多遠?
(2)如果漁船繼續(xù)向東航行,有無觸礁危險?
(3)如果漁船在B處改為向南偏東75°方向航行,有無觸礁危險?
(參考數(shù)據(jù):3≈1.732,sin 75°≈0.966,cs 75°≈0.259)
素養(yǎng)探究全練
7.【運算能力】【閱讀理解試題】(2022浙江杭州西湖月考)閱讀下列材料,并解決問題.
如圖①,在銳角△ABC中,∠BAC,∠B,∠C的對邊分別是a,b,c,過點A作AD⊥BC于點D,則sin B=ADc,sin C=ADb,即AD=csin B,AD=bsin C.
于是csin B=bsin C,即bsinB=csinC.
同理有csinC=asin∠BAC,asin∠BAC=bsinB
,所以asin∠BAC=bsinB=csinC,
即在一個銳角三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等.
(1)如圖②,一貨輪在B處測得燈塔A在貨輪的北偏東15°方向上,隨后貨輪以80海里/時的速度向正東方向航行,半小時后到達C處,此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西30°方向上,求此時貨輪與燈塔A之間的距離;
(2)在(1)的條件下,試求75°的正弦值.(結(jié)果保留根號)
答案全解全析
基礎(chǔ)過關(guān)全練
1.答案 (503-50)
解析 依題意得∠EDA=30°,∠EDB=45°,
∵DE∥CA,∴∠DAC=30°,∠DBC=45°.
又∵CD⊥CA,
∴tan 30°=DCAC=50AC=33,∠BDC=90°-45°=45°=∠DBC,
∴AC=503米,BC=CD=50米,∴AB=AC-BC=(503-50)米,
∴該船在這一段時間的航程為(503-50)米.
2.解析 由題意得,∠BAD=45°,∠DAC=61°,
在Rt△ABD中,∠BAD=45°,AD=10 m,
∴BD=AD=10 m,
在Rt△ACD中,∠DAC=61°,
∴tan 61°=CDAD=CD10≈1.80,∴CD≈18 m,
∴BC=BD+CD=10+18=28(m).
∴革命烈士紀念塔的高度約為28 m.
3.答案 50
解析 如圖所示,
根據(jù)題意得,∠CAP=∠EPA=60°,∠CAB=30°,∠DPB=67°,PA=30海里,
∴∠PAB=60°+30°=90°,∠APB=180°-67°-60°=53°,
∴∠B=180°-90°-53°=37°,
在Rt△PAB中,sin 37°=APPB=30PB≈35,
∴PB≈50海里,
∴此時輪船與燈塔P的距離約為50海里.
4.解析 (1)如圖,∵∠EAB=30°,AE∥BF,
∴∠FBA=∠EAB=30°,
∵∠FBC=75°,∴∠ABC=∠FBC-∠FBA=45°,
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=30°+45°=75°,
∴∠BCA=180°-45°-75°=60°.
(2)如圖,作AD⊥BC于D.
在Rt△ABD中,∵∠ABD=45°,AB=120海里,
∴AD=BD=AB·sin 45°=120×22=602(海里),
在Rt△ACD中,∵∠C=60°,
∴CD=ADtan60°=6023=206(海里),
∴BC=BD+CD=(602+206)海里.
能力提升全練
5.答案 1 614
解析 在Rt△AOB中,由勾股定理得,
OB=AB2-OA2=502-142=48(米),
∴AF=OE=OB+BC+CE=48+2+CE=(50+CE)米,
∵∠CDE=45°,∠DEC=90°,∴DE=CE,
設(shè)DE=CE=x米,則AF=(50+x)米,DF=(x-14)米,
∵∠ADE=46°12',
∴tan 46°12'=AFDF=50+xx-14≈1.04,∴x≈1 614,
∴返回艙底部離地面的高度約為1 614米.
6.解析 (1)如圖,由題意得,∠CAB=90°-60°=30°,∠CBD=90°-30°=60°,
∴∠ACB=30°=∠CAB,∴BC=AB=10海里.
(2)如圖,過點C作CM⊥AD,垂足為M,
在Rt△BCM中,BC=10海里,∠CBM=60°,
∴CM=32BC=53≈8.66(海里)9海里,
∴沒有觸礁危險.
素養(yǎng)探究全練
7.解析 (1)由題意可知∠ACB=90°-30°=60°,∠ABC=90°-15°=75°,BC=80×12=40(海里),
則∠A=180°-∠ACB-∠ABC=45°,
如圖,過B作BD⊥AC于點D,
則∠BDC=∠ADB=90°,∠DBC=30°,
∴DC=12BC=20海里,
BD=32BC=203海里,
∵∠A=45°,∠ADB=90°,∴∠ABD=45°=∠A,
∴AD=BD=203海里,
∴AC=AD+CD=(203+20)海里.
答:此時貨輪與燈塔A之間的距離為(203+20)海里.
(2)由(1)知,BC=40海里,AC=(203+20)海里,
∵ACsin75°=BCsin45°,∴203+20sin75°=4022,
∴sin 75°=2+64.

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1.3 解直角三角形

版本： 浙教版

年級： 九年級下冊

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