1．如圖，在等腰中，，BC= ，同時(shí)與邊的延長(zhǎng)線、射線相切，的半徑為3．將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，在旋轉(zhuǎn)的過程中邊所在直線與相切的次數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形中，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，過點(diǎn)作的垂線交正方形外角的平分線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，連接交邊于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．1
3．如圖，四邊形為正方形，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)，，在同一直線上，與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，．以下結(jié)論：
①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
4．如圖①，在矩形中，H為邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿折線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，它們的運(yùn)動(dòng)速度都是，若點(diǎn)M、N同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，已知S與t之間函數(shù)圖象如圖②所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
①當(dāng)時(shí)，是等邊三角形．
②在運(yùn)動(dòng)過程中，使得為等腰三角形的點(diǎn)M一共有3個(gè)．
③當(dāng)時(shí)，．
④當(dāng)時(shí)，．
⑤當(dāng)時(shí)，．
A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的OA邊在x軸的正半軸上，OC邊在y軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），反比例函數(shù)的圖象與BC交于點(diǎn)D，與對(duì)角線OB交于點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F，連接OD，DE，EF，DF．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
6．如圖，在正方形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC邊上，且，連接AE交BD于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，連接OF并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)O作交DC于占N，，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的結(jié)論有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
7．如圖，在△ABC中，AC=，∠ABC=45°，∠BAC=15°，將△ACB沿直線AC翻折至△ABC所在的平面內(nèi)，得△ACD．過點(diǎn)A作AE，使∠DAE=∠DAC，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接BE，則線段BE的長(zhǎng)為（ ）
A．B．3C．D．4
8．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是( )
A．B．C．D．10
9．如圖，已知 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)分別是直線和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，,點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)；當(dāng)⊿面積取得最小值時(shí)，的值是（ ）
A．B．C．D．
10．為踐行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想，某森林保護(hù)區(qū)開展了尋找古樹活動(dòng)．如圖，在一個(gè)坡度（或坡比）=1:2.4的山坡AB上發(fā)現(xiàn)有一棵占樹CD．測(cè)得古樹底端C到山腳點(diǎn)A的距離AC=26米，在距山腳點(diǎn)A水平距離6米的點(diǎn)E處，測(cè)得古樹頂端D的仰角∠AED=48°（古樹CD與山坡AB的剖面、點(diǎn)E在同一平面上，古樹CD與直線AE垂直），則古樹CD的高度約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：°≈0.73，cs8°≈0.67，tan48°≈1.11）
A．17.0米B．21.9米C．23.3米D．33.3米
11．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為 ．
12．如圖，點(diǎn)O是正方形的中心，．中，過點(diǎn)D，分別交于點(diǎn)G，M，連接．若，則的周長(zhǎng)為 ．
13．如圖，正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且正方形的周長(zhǎng)是周長(zhǎng)的2倍，連接分別與對(duì)角線交于點(diǎn)M，N．給出如下幾個(gè)結(jié)論：①若，則；②；③若，則；④若，則．其中正確結(jié)論的序號(hào)為 ．

14．如圖，，點(diǎn)在射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作，，動(dòng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，，連接，，當(dāng)，時(shí)，的長(zhǎng)是 ．
15．如圖，正方形邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊上（不與A，B重合），將沿直線折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，連接，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③點(diǎn)P是直線上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；④當(dāng)時(shí)，的面積．其中正確的結(jié)論是 ．（填寫序號(hào)）
16．在直角中，，，的角平分線交于點(diǎn)，且，斜邊的值是 ．
17．在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，同學(xué)們對(duì)菱形的折疊問題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形中，為銳角，為中點(diǎn)，連接，將菱形沿折疊，得到四邊形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．
(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】與的位置關(guān)系是______；
(2)【思考表達(dá)】連接，判斷與是否相等，并說明理由；
(3)如圖（2），延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)?zhí)骄康亩葦?shù)，并說明理由；
(4)【綜合運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)時(shí)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
18．如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是，高為．它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓．小明畫出了它的主視圖，是由上、下底面圓的直徑、以及、組成的軸對(duì)稱圖形，直線為對(duì)稱軸，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，如圖2，他又畫出了所在的扇形并度量出扇形的圓心角，發(fā)現(xiàn)并證明了點(diǎn)在上．請(qǐng)你繼續(xù)完成長(zhǎng)的計(jì)算．
參考數(shù)據(jù)：，，，，，．
19．我市某轄區(qū)內(nèi)的興國(guó)寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有一棵唐代古槐，稱為“宋塔唐槐”（如圖①）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)測(cè)量古槐的高度，如圖②所示，當(dāng)無人機(jī)從位于塔基B點(diǎn)與古槐底D點(diǎn)之間的地面H點(diǎn)，豎直起飛到正上方45米E點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得塔AB的頂端A和古槐CD的頂端C的俯角分別為26.6°和76°（點(diǎn)B，H，D三點(diǎn)在同一直線上）．已知塔高為39米，塔基B與樹底D的水平距離為20米，求古槐的高度（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
20．無人機(jī)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛．如圖8所示，小明利用無人機(jī)測(cè)量大樓的高度，無人機(jī)在空中P處，測(cè)得樓樓頂D處的俯角為，測(cè)得樓樓頂A處的俯角為．已知樓和樓之間的距離為100米，樓的高度為10米，從樓的A處測(cè)得樓的D處的仰角為（點(diǎn)A、B、C、D、P在同一平面內(nèi)）．
(1)填空：___________度，___________度；
(2)求樓的高度（結(jié)果保留根號(hào)）；
(3)求此時(shí)無人機(jī)距離地面的高度．
21．如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標(biāo)系中，底部邊緣在軸上，且dm，外輪廓線是拋物線的一部分，對(duì)稱軸為軸，高度dm．現(xiàn)計(jì)劃將此余料進(jìn)行切割：
(1)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣上且面積最大，求此正方形的面積；
(2)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣上且周長(zhǎng)最大，求此矩形的周長(zhǎng)；
(3)若切割成圓，判斷能否切得半徑為dm的圓，請(qǐng)說明理由．
評(píng)卷人
得分
一、單選題
評(píng)卷人
得分
二、填空題
評(píng)卷人
得分
三、解答題
參考答案：
1．C
【分析】首先以A為圓心，以BC邊的中線為半徑畫圓，可得⊙A的半徑為3，計(jì)算出OA的長(zhǎng)度，可知⊙O與⊙A相切，根據(jù)兩個(gè)相切圓的性質(zhì)，即可得到答案．
【詳解】解：如圖：
作AD⊥BC，以A為圓心，以AD為半徑畫圓
∵AC、AB所在的直線與⊙O相切，令切點(diǎn)分別為P、Q，連接OP、OQ
∴AO平分∠PAQ
∵∠CAB=120°
∴∠PAO=30°
∵OP=3
∴AO= =6
∵∠BAC=120°，AB=AC
∴∠ACB=30°，CD= BC=
∴AD= =3
∴⊙A的半徑為3,
∴⊙O與⊙A的半徑和為6
∵AO=6
∴⊙O與⊙A相切
∵AD⊥BC
∴BC所在的直線是⊙A的切線
∴BC所在的直線與⊙O相切
∴當(dāng)=360°時(shí)，BC所在的直線與⊙O相切
同理可證明當(dāng)=180°時(shí)，所在的直線與⊙O相切．
當(dāng)⊥AO時(shí)，即=90°時(shí)，所在的直線與⊙O相切．
∴當(dāng)為90°、180°、360°時(shí)，BC所在的直線與⊙O相切
故答案選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線，涉及到等腰三角形的性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系和特殊角的三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，精準(zhǔn)識(shí)圖并準(zhǔn)確推斷圖形的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)行合理論證是本題的解題關(guān)鍵．
2．B
【分析】在AD上截取連接GE，延長(zhǎng)BA至H，使連接EN，可得出，進(jìn)而推出得出
，設(shè)則用勾股定理求出由可列方程解出x，即CN的長(zhǎng)，由正切函數(shù)，求出BM的長(zhǎng)，由即可得出結(jié)果．
【詳解】解：如圖所示：在AD上截取連接GE，延長(zhǎng)BA至H，使連接EN，
為正方形外角的平分線，
在和中，
在和中，
在和中，
設(shè)則
在中，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，圖形比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的準(zhǔn)確選擇．
3．D
【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，可判斷①正確；利用三角形相似的判定及性質(zhì)可知②正確；證明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再證明即可求出可知③正確；過點(diǎn)E作交FD于點(diǎn)M，求出，再證明，即可知④正確．
【詳解】解：∵旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
∵為正方形，，，在同一直線上，
∴，
∴，故①正確；
∵旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正確；
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得：，
∵，
∴，故③正確；
過點(diǎn)E作交FD于點(diǎn)M，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正確
綜上所述：正確結(jié)論有4個(gè)，
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合圖形求解．
4．A
【分析】由圖②可知：當(dāng)0＜t≤6時(shí)，點(diǎn)M、N兩點(diǎn)經(jīng)過6秒時(shí)，S最大，此時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)H處，點(diǎn)N在點(diǎn)B處并停止不動(dòng)；由點(diǎn)M、N兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，所以可得AH=AB=6cm，利用四邊形ABCD是矩形可知CD=AB=6cm；當(dāng)6≤t≤9時(shí)，S=且保持不變，說明點(diǎn)N在B處不動(dòng)，點(diǎn)M在線段HC上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（9-6）秒，可得HC=3cm，即點(diǎn)H為CD的中點(diǎn)；利用以上的信息對(duì)每個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析判斷后得出結(jié)論．
【詳解】解：由圖②可知：點(diǎn)M、N兩點(diǎn)經(jīng)過6秒時(shí)，S最大，此時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)H處，點(diǎn)N在點(diǎn)B處并停止不動(dòng)，如圖，
①∵點(diǎn)M、N兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，
∴AH=AB=6cm，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6cm．
∵當(dāng)t=6s時(shí)，S=cm2，
∴×AB×BC=．
∴BC=．
∵當(dāng)6≤t≤9時(shí)，S=且保持不變，
∴點(diǎn)N在B處不動(dòng)，點(diǎn)M在線段HC上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（9-6）秒，
∴HC=3cm，即點(diǎn)H為CD的中點(diǎn)．
∴BH=．
∴AB=AH=BH=6，
∴△ABM為等邊三角形．
∴∠HAB=60°．
∵點(diǎn)M、N同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，速度均為1cm/s，
∴AM=AN，
∴當(dāng)0＜t≤6時(shí)，△AMN為等邊三角形．
故①正確；
②如圖，當(dāng)點(diǎn)M在AD的垂直平分線上時(shí)，△ADM為等腰三角形：
此時(shí)有兩個(gè)符合條件的點(diǎn)；
當(dāng)AD=AM時(shí)，△ADM為等腰三角形，如圖：
當(dāng)DA=DM時(shí)，△ADM為等腰三角形，如圖：
綜上所述，在運(yùn)動(dòng)過程中，使得△ADM為等腰三角形的點(diǎn)M一共有4個(gè)．
∴②不正確；
③過點(diǎn)M作ME⊥AB于點(diǎn)E，如圖，
由題意：AM=AN=t，
由①知：∠HAB=60°．
在Rt△AME中，
∵sin∠MAE=，
∴ME=AM?sin60°=t，
∴S=AN×ME=．
∴③正確；
④當(dāng)t=9+時(shí)，CM=，如圖，
由①知：BC=，
∴MB=BC-CM=．
∵AB=6，
∴tan∠MAB=，
∴∠MAB=30°．
∵∠HAB=60°，
∴∠DAH=90°-60°=30°．
∴∠DAH=∠BAM．
∵∠D=∠B=90°，
∴△ADH∽△ABM．
∴④正確；
⑤當(dāng)9＜t＜9+時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M在邊BC上，如圖，
此時(shí)MB=9+-t，
∴S=．
∴⑤不正確；
綜上，結(jié)論正確的有：①③④．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，主要涉及函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義，三角形的面積，等腰三角形的判定，等邊三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函數(shù)值．對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問題，依據(jù)已知條件畫出符合題意的圖形并求得相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．
5．A
【分析】根據(jù)題意，圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)均可以求出來，，，只需證明即可證明結(jié)論①；先求出直線OB的解析式，然后求直線OB與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可證明結(jié)論②；分別求出和，進(jìn)行比較即可證明結(jié)論③；只需證明，即可求證結(jié)論④．
【詳解】解：∵OABC為矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，
根據(jù)反比例函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，即D點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，
當(dāng)時(shí)，，即F點(diǎn)坐標(biāo)為(4，)，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
故結(jié)論①正確；
設(shè)直線OB的函數(shù)解析式為：，
點(diǎn)B代入則有：，
解得：，
故直線OB的函數(shù)解析式為：，
當(dāng)時(shí)，(舍)
即時(shí)，，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，1)，
∴點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)，
∴，
故結(jié)論②正確；
∵，
∴，
由②得：，
，
∴，
故結(jié)論③正確；
在和中，
，
∴，
∴，
故結(jié)論④正確，
綜上：①②③④均正確，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，反比例函數(shù)與幾何綜合，結(jié)合題意求出圖中各點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．
6．D
【分析】①直接根據(jù)平行線分線段成比例即可判斷正誤；
②過點(diǎn)O作交AE于點(diǎn)H，過點(diǎn)O作交BC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作交OM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，首先根據(jù)四邊形MONC的面積求出正方形的邊長(zhǎng)，利用勾股定理求出AE,AF,EF的長(zhǎng)度，再利用平行線分線段成比例分別求出OM,BK的長(zhǎng)度，然后利用即可判斷；
③利用平行線分線段成比例得出，然后利用勾股定理求出OM的長(zhǎng)度，進(jìn)而OF的長(zhǎng)度可求；
④直接利用平行線的性質(zhì)證明，即可得出結(jié)論．
【詳解】∵，
∴,
又∵
∴,
，
，故①正確；
如圖，過點(diǎn)O作交AE于點(diǎn)H，過點(diǎn)O作交BC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作交OM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，
∵四邊形ABCD是正方形，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
∴，
，
．
，
即，
∴ ，
，故②錯(cuò)誤；
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，故③正確；
，
，
．
，
，
，故④正確；
∴正確的有①③④，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查四邊形綜合，掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例和銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
7．C
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、翻折及等腰三角形判定，依次易得∠ACB=120°，∠ACE=120°，∠CAE=30°，AC=EC，再進(jìn)一步證明△ABC≌△EBC，得到BE=BA．延長(zhǎng)BC交AE于F，由CE=CA，BE=BA，根據(jù)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，可知BC是線段AE的垂直平分線，，即∠AFC=90°，在Rt△AFC中解直角三角形得AF=，在Rt△AFB中，∠ABC=45°，解直角三角形得AB=AF=，進(jìn)而得到BE的長(zhǎng).
【詳解】解：在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=15°，
∴∠ACB=120°，
∵將△ACB沿直線AC翻折，得△ACD，
∴∠ACE=∠ACB=120°，∠DAE=∠DAC=∠BAC=15°，即∠CAE=30°，
在△ACE中，∠CEA=180°-∠ACE-∠CAE=30°，
∴AC=EC，
又∵∠ECB=360°-∠ACE-∠ACB=120°，
在△EBC和△ABC中，
∴△EBC≌△ABC，
∴BE=BA.
如下圖，延長(zhǎng)BC交AE于F，
∵CE=CA，BE=BA，
∴BC是線段AE的垂直平分線，即∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，∠CAF=30°，AC=，
∴AF=AC·cs∠CAF=.
在Rt△AFB中，∠ABC=45°，
∴AB=AF=，
∴BE=AB=.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、翻折、等腰三角形判定、解直角三角形及全等三角形等，準(zhǔn)確判斷出直線BC是線段AE的垂直平分線是解題的關(guān)鍵.
8．B
【分析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA==2，設(shè)AE=a，BE=2a，利用勾股定理構(gòu)建方程求出a，再證明DH=BD，推出CD+BD=CD+DH，由垂線段最短即可解決問題．
【詳解】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∵tanA==2，設(shè)AE=a，BE=2a，
則有：100=a2+4a2，
∴a2=20，
∴a=2或-2（舍棄），
∴BE=2a=4，
∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM=BE=4（等腰三角形兩腰上的高相等））
∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，
∴，
∴DH=BD，
∴CD+BD=CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值為4．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型．
9．B
【分析】如圖，設(shè)直線x=-5交x軸于K．由題意KD=CF=5，推出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以K為圓心，5為半徑的圓，推出當(dāng)直線AD與⊙K相切時(shí)，△ABE的面積最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解決問題．
【詳解】如圖，設(shè)直線x=-5交x軸于K．由題意KD=CF=5，
∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以K為圓心，5為半徑的圓，
∴當(dāng)直線AD與⊙K相切時(shí)，△ABE的面積最小，
∵AD是切線，點(diǎn)D是切點(diǎn)，
∴AD⊥KD，
∵AK=13，DK=5，
∴AD=12，
∵tan∠EAO=，
∴，
∴OE=，
∴AE=，
作EH⊥AB于H．
∵S△ABE=?AB?EH=S△AOB-S△AOE，
∴EH=，
∴，
∴，
故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.
10．C
【分析】如圖，根據(jù)已知條件得到=1：2.4=，設(shè)CF=5k，AF=12k，根據(jù)勾股定理得到AC==13k=26，求得AF=10，CF=24，得到EF=6+24=30，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.
【詳解】
解：如圖，∵=1：2.4=
∴設(shè)CF=5k，AF=12k，
∴.AC==13k=26，解得.k=2，
∴AF=10，CF=24，
∵AE=6，
∴EF=6+24=30，
∴∠DEF=48°
∴tan48°==1.11
∴DF=33.3，
∴CD=33.3-10=23.3，答：古樹CD的高度約為23.3米，故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型.
11．4
【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時(shí)PA+2PB＝2＝＝2BF，通過解直角三角形ABF，進(jìn)一步求得結(jié)果．
【詳解】解：如圖，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此時(shí)PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝，
∴PA+2PB＝2＝＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB?sin45°＝4，
∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線．
12．
【分析】連接BD，則BD過正方形的中心點(diǎn)O，作FH⊥CD于點(diǎn)H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后證明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，進(jìn)而可證△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根據(jù)等腰三角形三線合一求出DF＝FM，則BG＝DF＝FM＝BM＝，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和三角形中位線定理分別求出OM、EM和OE即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接BD，則BD過正方形的中心點(diǎn)O，作FH⊥CD于點(diǎn)H，
∵，，
∴
∴AG＝AB＝，
∴BG＝，
∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，
∴∠EGD＝∠HDF
∵∠AGB＝∠EGD，
∴∠AGB＝∠HDF，
在△ABG和△HFD中，，
∴△ABG≌△HFD（AAS），
∴AG＝DH，AB＝HF，
∵在正方形中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，
∴DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，
在△BCM和△FHM中，，
∴△BCM≌△FHM（AAS），
∴MH＝MC＝CD，BM＝FM，
∴DH＝MH，
∵FH⊥CD，
∴DF＝FM，
∴BG＝DF＝FM＝BM＝，
∴BF＝，
∵M(jìn)是BF中點(diǎn)，O是BD中點(diǎn)，△BEF是直角三角形，
∴OM＝，EM＝，
∵BD＝，△BED是直角三角形，
∴EO＝，
∴的周長(zhǎng)＝EO＋OM＋EM＝3＋＋，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及三角形中位線定理，綜合性較強(qiáng)，能夠作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．
13．②
【分析】根據(jù)已知條件可得，即可判斷①，進(jìn)而推出，導(dǎo)角可得②正確，作于點(diǎn)，連接，證明是直角三角形，勾股定理驗(yàn)證③，證明，即可判斷④求解．
【詳解】解：∵正方形的周長(zhǎng)是周長(zhǎng)的2倍，
∴，
，
①若，則，故①不正確；
如圖，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使得，

四邊形是正方形，
，，
，
，，，
，，
，
，，，
，
，
，
，
即，故②正確；

如圖，作于點(diǎn)，連接，
則，
，，
，
同理可得，
，
關(guān)于對(duì)稱軸，關(guān)于對(duì)稱，
，
，
，
是直角三角形，
③若，
，
，故③不正確，
，
若，
即，
，
，，
又，
，
，
即，
，
，
，
，
，
故④不正確．
故答案為：②．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
14．
【分析】過點(diǎn)C作CN⊥BE于N，過點(diǎn)D作DM⊥CN延長(zhǎng)線于M，連接EM，設(shè)BN=x，則CN =3x，由△ACN≌△CDM可得AN=CM=10+x，CN=DM=3x，由點(diǎn)C、M、D、E四點(diǎn)共圓可得△NME是等腰直角三角形，于是NE=10-2x，由勾股定理求得AC可得CE，在Rt△CNE中由勾股定理建立方程求得x，進(jìn)而可得BE；
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CN⊥BE于N，過點(diǎn)D作DM⊥CN延長(zhǎng)線于M，連接EM，
設(shè)BN=x，則CN=BN?tan∠CBN=3x，
∵△CAD，△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA=CD，EC=ED，∠EDC=45°，
∠CAN+∠ACN=90°，∠DCM+∠ACN=90°，則∠CAN=∠DCM，
在△ACN和△CDM中：∠CAN=∠DCM，∠ANC=∠CMD=90°，AC=CD，
∴△ACN≌△CDM（AAS），
∴AN=CM=10+x，CN=DM=3x，
∵∠CMD=∠CED=90°，
∴點(diǎn)C、M、D、E四點(diǎn)共圓，
∴∠CME=∠CDE=45°，
∵∠ENM=90°，
∴△NME是等腰直角三角形，
∴NE=NM=CM-CN=10-2x，
Rt△ANC中，AC=，
Rt△ECD中，CD=AC，CE=CD，
Rt△CNE中，CE2=CN2+NE2，
∴，
，
，
x=5（舍去）或x=，
∵BE=BN+NE=x+10-2x=10-x，
∴BE=；
故答案為：；
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程等知識(shí)；此題綜合性較強(qiáng)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．
15．①②③
【分析】根據(jù)全等三角形判定即可判斷①；過D作DM⊥CA1于M，利用等腰三角形性質(zhì)及折疊性質(zhì)得∠ADE+∠CDM，再等量代換即可判斷②；連接AP、PC、AC，由對(duì)稱性知，PA1=PA，知P、A、C共線時(shí)取最小值，最小值為AC長(zhǎng)度，勾股定理求解即可判斷③；過點(diǎn)A1作A1H⊥AB于H，借助特殊角的三角函數(shù)值求出BE，A1H的長(zhǎng)度，代入三角形面積公式求解即可判斷④．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
由旋轉(zhuǎn)知，∠A1BA2=90°，A1B=A2B，
∴∠ABA1=∠CBA2，
∴△ABA1≌△CBA2，
故①正確；
過D作DM⊥CA1于M，如圖所示，
由折疊知AD=A1D=CD，∠ADE=∠A1DE，
∴DM平分∠CDA1，
∴∠ADE+∠CDM=45°，
又∠BCA1+∠DCM=∠CDM+∠DCM=90°，
∴∠BCA1=∠CDM，
∴∠ADE+∠BCA1=45°，
故②正確；
連接AP、PC、AC，由對(duì)稱性知，PA1=PA，
即PA1+PC=PA+PC，當(dāng)P、A、C共線時(shí)取最小值，最小值為AC的長(zhǎng)度，即為，
故③正確；
過點(diǎn)A1作A1H⊥AB于H，如圖所示，
∵∠ADE=30°，
∴AE=tan30°·AD=，DE=，
∴BE=AB-AE=1-，
由折疊知∠DEA=∠DEA1=60°，AE=A1E=，
∴∠A1EH=60°，
∴A1H=A1E·sin60°=，
∴△A1BE的面積=，
故④錯(cuò)誤，
故答案為：①②③．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、全等三角形的判定、折疊性質(zhì)及解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)．
16．
【分析】CD平分∠ACB，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，由此可證明四邊形CEDF為正方形，再利用，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理得到，求出的值即可．
【詳解】解：如圖，CD平分∠ACB，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，
∴DE＝DF，，
又，
∴四邊形CEDF為正方形，
，，
在中，，
∵，
，
，，，
，
即，
又，
，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
，
，
，
即（舍負(fù)），
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
17．(1)；
(2)，理由見解析；
(3)，理由見解析；
(4)，理由見解析．
【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)判斷即可；
（2）連接，，由可知點(diǎn)B、、C在以為直徑,E為圓心的圓上，則，由翻折變換的性質(zhì)可得，證明，可得結(jié)論；
（3）連接，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)H，求出，，可得，然后證明，可得，進(jìn)而得到即可解決問題．
（4）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)，，解直角三角形求出，，利用勾股定理求出，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)及平行線分線段成比例求出，，再根據(jù)勾股定理列式即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵在菱形中，，
∴由翻折的性質(zhì)可知，，
故答案為：；
（2）解：，
理由：如圖，連接，，
∵為中點(diǎn)，
∴，
∴點(diǎn)B、、C在以為直徑,E為圓心的圓上，
∴，
∴，
由翻折變換的性質(zhì)可知，
∴，
∴；
（3）解：結(jié)論：；
理由：如圖，連接，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)H，
由翻折的性質(zhì)可知，
設(shè)，，
∵四邊形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，點(diǎn)B、、C在以為直徑,E為圓心的圓上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）解：結(jié)論：，
理由：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
設(shè)，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，則有，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，翻折變換，圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
18．42cm
【分析】連接，交于點(diǎn)．設(shè)直線交于點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理可得，解，得出，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，即可求解．
【詳解】解：連接，交于點(diǎn)．設(shè)直線交于點(diǎn)．
∵是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，
∴．
在中，∵，，
∴，．
∵直線是對(duì)稱軸，
∴，，，
∴．
∴．
∴，．
在中，，
即，
則．
∵，
即，
則．
∴．
∵該圖形為軸對(duì)稱圖形，張圓凳的上、下底面圓的直徑都是，
,
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
19．古槐的高度約為13米
【分析】過點(diǎn)A作AM⊥EH于M，過點(diǎn)C作CN⊥EH于N，在Rt△AME中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AM=12米，進(jìn)而求出CN=8米，再在Rt△ENC中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出EN=32.08米，即可求出答案．
【詳解】解：過點(diǎn)A作AM⊥EH于M，過點(diǎn)C作CN⊥EH于N，

由題意知，AM=BH，CN=DH，AB=MH，
在中，∠EAM=26.6°，
∴，
∴米，
∴BH=AM=12米，
∵BD=20，
∴DH=BDBH=8米，
∴CN=8米，
在中，∠ECN=76°，
∴，
∴米，
∴（米），
即古槐的高度約為13米．
【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．
20．(1)75；60
(2)米
(3)110米
【分析】（1）根據(jù)平角的定義求，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，再利用三角形內(nèi)角和求；
（2）在中，求出DE的長(zhǎng)度再根據(jù)計(jì)算即可；
（3）作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，證明即可．
【詳解】（1）過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，
由題意得：
∴
（2）由題意得：米，．
在中，，
∴，
∴
∴樓的高度為米．
（3）作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，
則
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴（AAS）．
∴．
∴
∴無人機(jī)距離地面的高度為110米．
【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-——仰角俯角問題的知識(shí)．此題難度適中，注意能借助仰角或俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵．
21．(1) ；
(2)20dm；
(3)能切得半徑為3dm的圓．
【分析】（1）先把二次函數(shù)解析式求出來，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2m，表示在二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可得到關(guān)于m的方程進(jìn)行求解；
（2）如詳解2中圖所示，設(shè)矩形落在AB上的邊DE=2n，利用函數(shù)解析式求解F點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出矩形的周長(zhǎng)求最大值即可；
（3）設(shè)半徑為3dm的圓與AB相切，并與拋物線小腳，設(shè)交點(diǎn)為N，求出交點(diǎn)N的坐標(biāo)，并計(jì)算點(diǎn)N是與拋物線在y軸右側(cè)的切點(diǎn)即可．
【詳解】（1）由題目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8）
設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，
∵對(duì)稱軸為y軸，
∴b=0，將A、C代入得，a=，c=8
則二次函數(shù)解析式為，
如下圖所示,正方形MNPQ即為符合題意得正方形，設(shè)其邊長(zhǎng)為2m，
則P點(diǎn)坐標(biāo)可以表示為（m，2m）
代入二次函數(shù)解析式得，
，解得（舍去），
∴2m=，
則正方形的面積為；
（2）如下圖所示矩形DEFG，設(shè)DE=2n，則E（n，0）
將x=n代入二次函數(shù)解析式，得
，
則EF=，
矩形DEFG的周長(zhǎng)為：2（DE+EF）=2（2n+）=，
當(dāng)n=2時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最大，最大周長(zhǎng)為20dm；
（3）若能切成圓，能切得半徑為3dm的圓，理由如下：
如圖，N為上一點(diǎn)，也是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)N作的切線交y軸于點(diǎn)Q，連接MN，過點(diǎn)N作NP⊥y軸于P，
設(shè)，
由勾股定理得：，
∴
解得：，（舍去），
∴，
∴
∵
∴
∴
設(shè)QN的解析式為：
∴
∴
∴QN的解析式為：
與拋物線聯(lián)立為：
所以此時(shí)N為與拋物線在y軸右側(cè)的唯一公共點(diǎn)，
所以若切割成圓，能夠切成半徑為3dm的圓．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何結(jié)合，熟練掌握各圖形的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度之間的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．

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初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)下冊(cè)28.1 銳角三角函數(shù)第2課時(shí)課后復(fù)習(xí)題

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2021學(xué)年第二十八章 銳角三角函數(shù)綜合與測(cè)試單元測(cè)試當(dāng)堂檢測(cè)題

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人教版第二十八章 銳角三角函數(shù)綜合與測(cè)試單元測(cè)試課時(shí)訓(xùn)練

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初中數(shù)學(xué)人教版（2024）九年級(jí)下冊(cè)電子課本

28.1 銳角三角函數(shù)

版本： 人教版（2024）

年級(jí)： 九年級(jí)下冊(cè)

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