【期中真題】廣西玉林市第十一中學(xué)等校2023屆高二上學(xué)期期中聯(lián)合測試數(shù)學(xué)試題.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2022年秋季學(xué)期高二年級期中聯(lián)合測試數(shù)學(xué)試題（考試時間120分鐘，滿分150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1. 直線的傾斜角為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由直線方程求得斜率，再求直線傾斜角.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，直線方程化成斜截式為，所以直線斜率，由，得.故選：A2. 在四面體中，等于（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用空間向量線性運(yùn)算法則化簡.【詳解】.故選：C3. 若橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個焦點(diǎn)的距離為，則到另一個焦點(diǎn)的距離為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義，直接求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)到另一個焦點(diǎn)的距離為，由橢圓方程可知，，則，所以.故選：D4. 當(dāng)點(diǎn)P在圓上變動時，它與定點(diǎn)的連線PQ的中點(diǎn)的軌跡方程是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】相關(guān)點(diǎn)法求解PQ的中點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)，PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∵，∴∴又∵點(diǎn)P在圓上，∴，即，故選：C．5. 已知平面的一個法向量為，且，則點(diǎn)A到平面的距離為（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】直接由點(diǎn)面距離的向量公式就可求出．【詳解】∵，∴，又平面的一個法向量為，∴點(diǎn)A到平面的距離為故選：B6. 已知圓，過點(diǎn)（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（）A. 1 B. 2C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】當(dāng)直線和圓心與點(diǎn)的連線垂直時，所求的弦長最短，即可得出結(jié)論.【詳解】圓化為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，當(dāng)過點(diǎn)的直線和直線垂直時，圓心到過點(diǎn)的直線的距離最大，所求的弦長最短，此時根據(jù)弦長公式得最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的簡單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長，屬于基礎(chǔ)題.7. 當(dāng)曲線與直線有兩個不同的交點(diǎn)時，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作曲線與直線的圖象，計算出直線與曲線相切時對應(yīng)的實(shí)數(shù)的值，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】對方程變形得，即，所以曲線表示圓的上半圓，對直線方程變形得，該直線過定點(diǎn)，且斜率為，如下圖所示：當(dāng)直線與半圓相切時，則有，解得，當(dāng)直線過點(diǎn)時，，解得.由圖形可知，當(dāng)曲線與直線有兩個相異的交點(diǎn)時，.故選：C8. 已知點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且滿足，，則該橢圓的離心率是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)，則，利用勾股定理可求得，再利用橢圓的定義可得出，求出、，利用勾股定理結(jié)合離心率公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：設(shè)，則，因為，則，由橢圓的定義可得，則，所以，，則，由勾股定理可得，則，則，因此，該橢圓的離心率為.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9. 已知直線的傾斜角等于，且經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A. 的一個方向向量為 B. 在軸上的截距等于C. 與直線垂直 D. 與直線平行【答案】ACD【解析】【分析】求出直線方程，由直線方程直接判斷D，由直線方程得一法向量，由法向量與方向向量的關(guān)系判斷A，直線方程中令，解出為橫截距，判斷B，由兩直線垂直的關(guān)系判斷C．【詳解】由題意直線的斜率為，直線方程為，即，它與直線平行，D正確；直線的一個法向量是，而，因此是直線的一個方向向量，A正確；在直線方程中令得，B錯誤；由于，C正確．故選：ACD．10. 已知方程表示的曲線為C，則下列四個結(jié)論中正確的是（）A. 當(dāng)時，曲線C是橢圓 B. 當(dāng)或時，曲線C是雙曲線C. 若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則 D. 若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓、雙曲線方程的特征逐項判斷作答.【詳解】對于A，當(dāng)時，，則曲線是圓，A錯誤；對于B，當(dāng)或時，，曲線是雙曲線，B正確；對于C，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，C正確；對于D，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得，D正確．故選：BCD11. 已知，分別是正方體的棱和的中點(diǎn)，則（）A. 與是異面直線B. 與所成角的大小為C. 與平面所成角的正弦值為D. 二面角的余弦值為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)異面直線的判定定理可判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法可計算B，C，D是否正確【詳解】根據(jù)異面直線的判定定理，及正方體的結(jié)構(gòu)特征，易知：A正確；以為原點(diǎn)，，，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長2，則，，，，,
所以 ,,
設(shè)與所成角的大小為,
則
所以，故B錯誤;
由題意可知,平面的法向量為,,設(shè)與平面所成角為, 則
,故C錯誤;
,設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，設(shè)平面的一個法向量為，，則，令，得，設(shè)二面角為，由題圖知為銳角，則，故D正確．故選:AD．12. 如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，巧奪天工，是唐代金銀細(xì)作的典范．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的右支與直線，，圍成的曲邊四邊形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為，下底外直徑為，雙曲線與坐標(biāo)軸交于，，則（）A. 雙曲線的方程為B. 雙曲線與雙曲線共漸近線C. 存在一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的任意直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)D. 存在無數(shù)個點(diǎn)，使它與，兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3【答案】ABD【解析】【分析】由題意可得，代入雙曲線方程可求出，從而可求出雙曲線方程，然后逐個分析判斷【詳解】由題意可得，所以，即，解得，所以雙曲線方程為，所以A正確，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，所以B正確，由雙曲線的性質(zhì)可知，過平面內(nèi)的任意一點(diǎn)的直線與雙曲線的漸近線平行時，只與雙曲線有一個交點(diǎn)，所以不存在一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的任意直線與雙曲線C有兩個交點(diǎn)，所以C錯誤，由題意得，設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則，，所以，所以雙曲線C上存在無數(shù)個點(diǎn)，使它與兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3，所以D正確，故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 若直線和直線垂直，則__________．【答案】【解析】【分析】利用兩條直線互相垂直的充要條件，得到關(guān)于a的方程可求解.【詳解】直線和直線垂直，則有，解得.故答案為：14. 已知圓．若圓C與圓外切，則m的值為__________．【答案】【解析】【分析】由兩圓外切圓心距等于半徑之和求解.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心，半徑.圓，圓心，半徑.由兩圓外切，有，即，解得.故答案為：-1115. 平面內(nèi)一點(diǎn)到直線的距離為：．由此類比，空間中一點(diǎn)到平面的距離為__________．【答案】【解析】【分析】類比可得空間中一點(diǎn)到平面的距離，從而計算可得.【詳解】解：依題意類比可得空間中一點(diǎn)到平面的距離.故答案為：16. 二面角為，,是棱上的兩點(diǎn)，，分別在半平面，內(nèi)，，，且，，則的長為 _____．【答案】【解析】【分析】將分解為，再求模即可.【詳解】由題意，∵二面角為，，，∴與夾角為，∴與夾角為，，∴，即的長為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）-6（2）-4【解析】【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)表示，即得解；（2）利用向量加法和向量垂直的坐標(biāo)表示，即得解；【詳解】解：（1），∴，∴.（2），∵，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了向量平行，加法，數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.18. 已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，且___________.從下列3個條件中選取一個，補(bǔ)充在上面的橫線處，并解答.①在過直線與直線交點(diǎn)；②圓恒被直線平分；③與軸相切.注：如果選擇多個條件分別進(jìn)行解答，按第一個解答進(jìn)行計分.（1）求圓的方程；（2）求過點(diǎn)的圓的切線方程.【答案】（1）；（2）切線方程為或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出圓的一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程，對①②③逐個分析，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）先判斷點(diǎn)P在圓外，知切線有兩條，分情況討論即可小問1詳解】選①，由可得，所以，設(shè)圓的方程為，由題意可得，解得，則圓E的方程為，即選②，直線恒過，而圓E恒被直線平分，所以恒過圓心，因為直線過定點(diǎn)，所以圓心為，可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓E經(jīng)過點(diǎn)，得，則圓E的方程為選③，設(shè)圓E的方程為，由題意可得，解得，則圓E的方程為【小問2詳解】因為，所以點(diǎn)P在圓E外，若直線斜率存在，設(shè)切線的斜率為，則切線方程為，即由圓E的方程為可得圓心，半徑為2，所以圓心到切線的距離，解得，所以切線方程為；若直線斜率不存在，直線方程為，圓心到直線的距離為2，滿足題意；綜上所述，過點(diǎn)的圓E的切線方程為或19. 如圖，正四面體ABCD(所有棱長均相等)的棱長為1，E，F，G，H分別是正四面體ABCD中各棱的中點(diǎn)，設(shè)，，，試采用向量法解決下列問題：（1）求的模長；（2）求，的夾角.【答案】（1）；（2）90°.【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量線性的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因為E，F，G是中點(diǎn)，所以，因此，因為正四面體所有棱長為1，所以，所以；【小問2詳解】由（1）可知：，同理，，所以，的夾角為90°.20. 如圖所示，B地在A地的正東方向4 km處，C地在B地的北偏東30°方向2 km處，河流的沿岸PQ（曲線）上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2 km．現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B，C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測算，從M到B，C兩地修建公路的費(fèi)用都是a萬元/km，求修建這兩條公路的最低總費(fèi)用．【答案】萬元．【解析】【分析】由，結(jié)合雙曲線的定義可判斷點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的右支，進(jìn)而根據(jù)可求解.【詳解】如圖所示，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立平面直坐標(biāo)系xOy，則，，．連接AM，AC．因為，所以點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的右支．因為，當(dāng)M，A，C三點(diǎn)共線時等號成立，又總費(fèi)用為萬元，所以，所以修建這兩條公路的最低總費(fèi)用為萬元．21. 如圖所示，正方形ABCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直，，，，.（1）證明：平面；（2）在線段CM（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角的余弦值為.若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得，再得出即可證明；（2）設(shè)，求出平面和平面的法向量，利用向量關(guān)系建立方程求出即可得出.【小問1詳解】證明：正方形中，，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，且，又，，又，，，又，，又平面，平面；【小問2詳解】解：如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)點(diǎn)，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，顯然，平面的法向量為，，即，即即，解得或（舍），所以存在一點(diǎn)，且.22. 已知橢圓C：過點(diǎn)，且離心率．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l的斜率為，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．求面積的最大值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于a，b的方程，解方程可得答案；（2）設(shè)直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，從而求得弦長，求得點(diǎn)P到直線l的距離，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合基本不等式求得答案.小問1詳解】∵，∴,又橢圓C：過點(diǎn)，∴，∴，,故所求橢圓方程為;【小問2詳解】設(shè)l的方程為，，,聯(lián)立得,由，解得由韋達(dá)定理，得，,則．點(diǎn)P到直線l的距離,∴,當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立,∴面積的最大值為2.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多