2022-2023學(xué)年廣西桂林市田家炳中學(xué)高二上學(xué)期期中測試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．過點(diǎn)，的直線斜率為（    ）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【分析】將P、Q點(diǎn)坐標(biāo)代入斜率公式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以過P、Q的直線的斜率，故選：B2．圓心坐標(biāo)為，半徑長為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式寫.【詳解】圓心為，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故選C.3．點(diǎn)(3，0)到直線x+y－4=0的距離等于（    ）A．4 B． C．1 D．【答案】D【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算．【詳解】由題意所求距離為．故選：D．4．與直線垂直的直線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出直線的斜率,然后根據(jù)兩直線垂直斜率之間的關(guān)系,可以求出與它垂直的直線的斜率,最后利用斜率與傾斜角之間的關(guān)系式,求出傾斜角即可.【詳解】解：由,所以該直線的斜率為,設(shè)與它垂直的直線的斜率為，所以有,設(shè)與直線垂直的直線的傾斜角為,則有,所以故選：D5．已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上,則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（    ）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】討論焦點(diǎn)在軸上和焦點(diǎn)在軸上兩種情況，分別計(jì)算得到答案.【詳解】當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在軸上時(shí)：直線與軸的交點(diǎn)為，此時(shí)拋物線為；當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在軸上時(shí)：直線與軸的交點(diǎn)為，此時(shí)拋物線為；綜上所述：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是或故選：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，漏解是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.6．已知直線是圓在點(diǎn)處的切線，則直線的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出切線方程，對(duì)斜率k是否存在進(jìn)行討論，利用圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線l：，此時(shí)，圓心到直線的距離為3<5,不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l：，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，解得：，所以直線l：，即.故選：D【點(diǎn)睛】求圓的切線方程的思路通常有兩種:（1）幾何法:用圓心到直線的距離等于半徑；（2）代數(shù)法:直線方程與圓的方程聯(lián)立,利用Δ=0．7．雙曲線與橢圓焦點(diǎn)相同且離心率是橢圓離心率的倍，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)與離心率，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得，求解即可.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,離心率為.設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，解得.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:C.8．設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（    ）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，所以.故選：B  二、多選題9．已知雙曲線，則關(guān)于雙曲線的結(jié)論正確的是（    ）A．實(shí)軸長為6 B．焦點(diǎn)坐標(biāo)為C．離心率為 D．漸近線方程為【答案】ABCD【分析】根據(jù)雙曲線的方程逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由方程可得，焦點(diǎn)在軸上，故實(shí)軸長為6，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為，漸近線方程為漸近線方程為.故選:ABCD.10．若直線l1：與直線l2：互相垂直，則實(shí)數(shù)的值是（    ）A．-3 B．1 C．-1 D．3【答案】AB【分析】由兩直線垂直可得，然后解得即可.【詳解】由兩直線垂直，可得，即解得或.故選:AB.11．已知圓，則下列說法正確的是（    ）A．圓的半徑為B．圓截軸所得的弦長為C．圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為D．圓與圓相離【答案】BC【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得半徑可判斷A；利用幾何法求出弦長可判斷B；求出圓心到直線的距離再減去半徑可判斷C；求出圓的圓心和半徑，比較圓心距與半徑之和的大小可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：由可得，所以的半徑為，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：圓心為到軸的距離為，所以圓截軸所得的弦長為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：由可得，所以圓心，半徑，因?yàn)?/span>，所以兩圓相外切，故選項(xiàng)D不正確；故選：BC.12．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，且，，則的取值可以為（    ）A． B． C．2 D．3【答案】BC【分析】根據(jù)題意得到直線過拋物線的焦點(diǎn)，得出，再結(jié)合拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)得到，求得的長，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，拋物線的焦點(diǎn)為，可得直線過拋物線的焦點(diǎn)，因?yàn)樗?/span>，即，又由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，可得，聯(lián)立方程組，可得或或，又因?yàn)?/span>，所以或2.故選：BC. 三、填空題13．過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程為________________.【答案】【分析】根據(jù)兩條直線平行的關(guān)系，可知所求直線的斜率，可得結(jié)果.【詳解】由直線與直線平行所以直線的斜率為：又直線過點(diǎn)，所以根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線方程為：即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線方程，對(duì)于平面中兩條直線的位置關(guān)系，可想到斜率之間的聯(lián)系，屬基礎(chǔ)題.14．已知圓經(jīng)過和，圓心在直線上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.【答案】【分析】求出和連接的線段的垂直平分線，與可得圓心坐標(biāo)，從而可求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】和的中點(diǎn)坐標(biāo)為，過和的斜率為，故該兩點(diǎn)連接的線段的垂直平分線為，即.聯(lián)立，可得，即圓心坐標(biāo)為.故半徑為.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為:.15．雙曲線C：(，)的焦點(diǎn)為、，P在雙曲線右支上，且，為C的漸近線方程，若的面積為，則雙曲線C的焦距長為______．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線可求c與a的關(guān)系，根據(jù)即雙曲線的定義可求，在焦點(diǎn)三角形中，利用余弦定理可求出cos∠，從而可求sin∠，根據(jù)即可求出a，從而可求2c．【詳解】∵C的漸近線方程是，∴C為等軸雙曲線，a=b，∴．設(shè)，則2a=3m-m=2m，即m=a，則，設(shè)∠=θ，在△中，由余弦定理得，，即，化簡可得，∴，∵，，，，，．故答案為：．16．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)作軸的垂線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，若，則直線的方程為__________．【答案】【詳解】分析：求出拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)，直線方程為，由與拋物線方程消去得關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系算出的坐標(biāo)，根據(jù)，利用兩點(diǎn)間的距離公式解出，進(jìn)而得到結(jié)論. 詳解：拋物線方程為，拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)，因?yàn)?/span>在第一象限，所以直線的斜率，設(shè)直線方程為，代入拋物線方程消去，得，，過的中點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線與拋物線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，，，得到，可得，，，解之得，所以，直線方程為，即,，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單性質(zhì)，以及拋物線與直線的位置關(guān)系，屬于難題.解答直線與拋物線位置關(guān)系的問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題． 四、解答題17．已知直線l過點(diǎn)A（﹣3，1），且與直線4x﹣3y+t＝0垂直．(1)求直線l的一般式方程；(2)若直線l與圓C：x2+y2＝m相交于點(diǎn)P，Q，且|PQ|＝8，求圓C的方程．【答案】(1)3x+4y+5＝0(2)x2+y2＝17 【分析】（1）由垂直關(guān)系得過直線l的斜率，由點(diǎn)斜式化簡即可求解l的一般式方程；（2）結(jié)合勾股定理建立弦心距（由點(diǎn)到直線距離公式求解），半弦長，圓半徑的基本關(guān)系，解出，即可求解圓C的方程．【詳解】（1）因?yàn)橹本€l與直線4x﹣3y+t＝0垂直，所以直線l的斜率為，故直線l的方程為，即3x+4y+5＝0，因此直線l的一般式方程為3x+4y+5＝0；（2）圓C：x2+y2＝m的圓心為（0，0），半徑為，圓心（0，0）到直線l的距離為，則半徑滿足m＝42+12＝17，即m＝17，所以圓C：x2+y2＝17．18．（1）已知直線經(jīng)過直線與的交點(diǎn)和點(diǎn)，求的方程；（2）已知直線和，若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）兩方程聯(lián)立可得，利用直線兩點(diǎn)式方程可整理得到結(jié)果；（2）根據(jù)平行關(guān)系可構(gòu)造方程求得，驗(yàn)證可得最終結(jié)果.【詳解】（1）由得：，，的方程為：，即；（2），，解得：或；當(dāng)時(shí)，，，則重合，不合題意；當(dāng)時(shí)，，，則，滿足題意；綜上所述：.19．已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為，長軸長為6．⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;  ⑵已知過點(diǎn)（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A 、B兩點(diǎn),求線段AB的長度．【答案】（1）；（2）【分析】(1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)可求c值，a值，然后可求出b的值．進(jìn)而求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）先求出直線方程然后與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理及弦長公式求出|AB|的長度．【詳解】解：⑴由，長軸長為6得：所以∴橢圓方程為⑵設(shè),由⑴可知橢圓方程為①,∵直線AB的方程為②把②代入①得化簡并整理得所以又【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查韋達(dá)定理及弦長公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．（1）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，定點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程；（2）已知兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意得代入圓的方程解決即可；（2）設(shè)，得，，根據(jù)題意解決即可.【詳解】（1）由題知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，定點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，即，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，即，所以，化簡得所以點(diǎn)的軌跡方程為；（2）由題知，兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，即，設(shè)，所以，因?yàn)?/span>，所以，化簡得，所以點(diǎn)的軌跡方程為；21．求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）實(shí)軸在軸上，實(shí)軸長為，離心率為；（2）焦點(diǎn)為，且與雙曲線有相同漸近線．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根據(jù)實(shí)軸長可得出，再利用離心率為解出，從而得出，得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由題意可知，根據(jù)雙曲線可解出漸近線方程，再根據(jù)解出，得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】解：（1）由題可設(shè)雙曲線方程為，焦距為，由題意可知，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由題可設(shè)雙曲線方程為，焦距為，則，漸近線方程為的漸近線方程為，即又，則，解得：，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，屬于基礎(chǔ)題，解答時(shí)易錯(cuò)點(diǎn)如下：（1）雙曲線中，，而不是；（2）焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為，而焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為：.22．已知拋物線的焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線C上異于O的兩點(diǎn).（1）求拋物線C的方程；（2）若直線的斜率之積為，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1），（2）證明見解析，定點(diǎn)【解析】（1）利用拋扔線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出，然后求拋物線的方程；（2）通過直線的斜率是否存在，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及斜率乘積關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】解：（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，得，所以拋物線的方程為，（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率之積為，所以，化簡得，所以，此時(shí)直線的方程為，②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，由，得，則，因?yàn)?/span>的斜率之積為，所以，即，即可，解得（舍去），或，所以，即，所以，即，綜上所述，直線過軸上的一定點(diǎn)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，拋物線的方程的求法，解題的關(guān)鍵是將直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組可得，再利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，再結(jié)合直線的斜率之積為，可得到的關(guān)系，從而可得答案，考查計(jì)算能力，屬于中檔題 

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