2022-2023學(xué)年廣西玉林市第十一中學(xué)等校高二上學(xué)期期中聯(lián)合測(cè)試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．直線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由直線方程求得斜率，再求直線傾斜角.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，直線方程化成斜截式為，所以直線斜率，由，得.故選：A2．在四面體中，等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間向量線性運(yùn)算法則化簡(jiǎn).【詳解】.故選：C3．若橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義，直接求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，由橢圓方程可知，，則，所以.故選：D4．當(dāng)點(diǎn)P在圓上變動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)的連線PQ的中點(diǎn)的軌跡方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】相關(guān)點(diǎn)法求解PQ的中點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)，PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∵，∴∴又∵點(diǎn)P在圓上，∴，即，故選：C．5．已知平面的一個(gè)法向量為，且，則點(diǎn)A到平面的距離為（       ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】直接由點(diǎn)面距離的向量公式就可求出．【詳解】∵，∴，又平面的一個(gè)法向量為，∴點(diǎn)A到平面的距離為故選：B6．已知圓，過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為（    ）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】當(dāng)直線和圓心與點(diǎn)的連線垂直時(shí)，所求的弦長(zhǎng)最短，即可得出結(jié)論.【詳解】圓化為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線和直線垂直時(shí)，圓心到過(guò)點(diǎn)的直線的距離最大，所求的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)根據(jù)弦長(zhǎng)公式得最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.7．當(dāng)曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作曲線與直線的圖象，計(jì)算出直線與曲線相切時(shí)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的值，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】對(duì)方程變形得，即，所以曲線表示圓的上半圓，對(duì)直線方程變形得，該直線過(guò)定點(diǎn)，且斜率為，如下圖所示：當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，則有，解得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，解得.由圖形可知，當(dāng)曲線與直線有兩個(gè)相異的交點(diǎn)時(shí)，.故選：C8．已知點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且滿足，，則該橢圓的離心率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，利用勾股定理可求得，再利用橢圓的定義可得出，求出、，利用勾股定理結(jié)合離心率公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：設(shè)，則，因?yàn)?/span>，則，由橢圓的定義可得，則，所以，，則，由勾股定理可得，則，則，因此，該橢圓的離心率為.故選：B. 二、多選題9．已知直線的傾斜角等于，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．的一個(gè)方向向量為 B．在軸上的截距等于C．與直線垂直 D．與直線平行【答案】ACD【分析】求出直線方程，由直線方程直接判斷D，由直線方程得一法向量，由法向量與方向向量的關(guān)系判斷A，直線方程中令，解出為橫截距，判斷B，由兩直線垂直的關(guān)系判斷C．【詳解】由題意直線的斜率為，直線方程為，即，它與直線平行，D正確；直線的一個(gè)法向量是，而，因此是直線的一個(gè)方向向量，A正確；在直線方程中令得，B錯(cuò)誤；由于，C正確．故選：ACD．10．已知方程表示的曲線為C，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（    ）A．當(dāng)時(shí)，曲線C是橢圓B．當(dāng)或時(shí)，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則D．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則【答案】BC【分析】根據(jù)表示橢圓可求得或，判斷A; 表示雙曲線可求得或，判斷B;根據(jù)表示橢圓時(shí)焦點(diǎn)的位置可列出相應(yīng)的不等式組，求得參數(shù)范圍，判斷C,D.【詳解】當(dāng)曲線C是橢圓時(shí)，解得或，故A錯(cuò)誤；當(dāng)曲線C是雙曲線時(shí)，，解得或，故B正確；若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則解得，故C正確；若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則，解得，故D錯(cuò)誤．故選:BC．11．已知，分別是正方體的棱和的中點(diǎn)，則（    ）A．與是異面直線B．與所成角的大小為C．與平面所成角的正弦值為D．二面角的余弦值為【答案】AD【分析】根據(jù)異面直線的判定定理可判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法可計(jì)算B，C，D是否正確【詳解】根據(jù)異面直線的判定定理，及正方體的結(jié)構(gòu)特征，易知：A正確；以為原點(diǎn)，，，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)2，則，，，，,,所以 ,,設(shè)與所成角的大小為,則所以 ，故B錯(cuò)誤;由題意可知,平面的法向量為,,設(shè)與平面所成角為, 則,故C錯(cuò)誤;,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，則，令，得，設(shè)二面角為，由題圖知為銳角，則，故D正確．故選:AD．12．下圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶——唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，巧奪天工，是唐代金銀細(xì)作的典范．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的右支與直線圍成的曲邊四邊形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為，下底外直徑為，雙曲線C的左右頂點(diǎn)為，則（    ）A．雙曲線C的方程為B．雙曲線與雙曲線C有相同的漸近線C．存在一點(diǎn)，使過(guò)該點(diǎn)的任意直線與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)D．雙曲線C上存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使它與兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3【答案】ABD【分析】由題意可得，代入雙曲線方程可求出，從而可求出雙曲線方程，然后逐個(gè)分析判斷【詳解】由題意可得，所以，即，解得，所以雙曲線方程為，所以A正確，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，所以B正確，由雙曲線的性質(zhì)可知，過(guò)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)的直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，只與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，所以不存在一點(diǎn)，使過(guò)該點(diǎn)的任意直線與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤，由題意得，設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則，，所以，所以雙曲線C上存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使它與兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3，所以D正確，故選：ABD 三、填空題13．若直線和直線垂直，則__________．【答案】【分析】利用兩條直線互相垂直的充要條件，得到關(guān)于a的方程可求解.【詳解】直線和直線垂直，則有，解得.故答案為：14．已知圓．若圓C與圓外切，則m的值為__________．【答案】【分析】由兩圓外切圓心距等于半徑之和求解.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心，半徑.圓，圓心，半徑.由兩圓外切，有，即，解得.故答案為：-1115．平面內(nèi)一點(diǎn)到直線的距離為：．由此類比，空間中一點(diǎn)到平面的距離為__________．【答案】【分析】類比可得空間中一點(diǎn)到平面的距離，從而計(jì)算可得.【詳解】解：依題意類比可得空間中一點(diǎn)到平面的距離.故答案為：16．二面角為，A，B是棱l上的兩點(diǎn)，，分別在半平面內(nèi)，，，且，，則的長(zhǎng)_______________.【答案】4【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律計(jì)算作答.【詳解】依題意，，且有，而，所以.故答案為：4 四、解答題17．已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）-6（2）-4【解析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)表示，即得解；（2）利用向量加法和向量垂直的坐標(biāo)表示，即得解；【詳解】解：（1），∴，∴.（2），∵，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了向量平行，加法，數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.18．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且___________.從下列3個(gè)條件中選取一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線處，并解答.①在過(guò)直線與直線的交點(diǎn)；②圓恒被直線平分；③與軸相切.注：如果選擇多個(gè)條件分別進(jìn)行解答，按第一個(gè)解答進(jìn)行計(jì)分.(1)求圓的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程.【答案】(1)；(2)切線方程為或 【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出圓的一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程，對(duì)①②③逐個(gè)分析，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）先判斷點(diǎn)P在圓外，知切線有兩條，分情況討論即可【詳解】（1）選①，由可得，所以，設(shè)圓的方程為，由題意可得，解得，則圓E的方程為，即選②，直線恒過(guò)，而圓E恒被直線平分，所以恒過(guò)圓心，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，所以圓心為，可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得，則圓E的方程為選③，設(shè)圓E的方程為，由題意可得，解得，則圓E的方程為（2）因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)P在圓E外，若直線斜率存在，設(shè)切線的斜率為，則切線方程為，即由圓E的方程為可得圓心，半徑為2，所以圓心到切線的距離，解得，所以切線方程為；若直線斜率不存在，直線方程為，圓心到直線的距離為2，滿足題意；綜上所述，過(guò)點(diǎn)的圓E的切線方程為或19．如圖，正四面體ABCD(所有棱長(zhǎng)均相等)的棱長(zhǎng)為1，E，F，G，H分別是正四面體ABCD中各棱的中點(diǎn)，設(shè)，，，試采用向量法解決下列問(wèn)題：(1)求的模長(zhǎng)；(2)求，的夾角.【答案】(1)；(2)90°. 【分析】（1）根據(jù)空間向量線性的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>E，F，G是中點(diǎn)，所以，因此，因?yàn)檎拿骟w所有棱長(zhǎng)為1，所以，所以；（2）由（1）可知：，同理，，所以，的夾角為90°.20．如圖所示，B地在A地的正東方向4 km處，C地在B地的北偏東30°方向2 km處，河流的沿岸PQ（曲線）上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2 km．現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B，C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測(cè)算，從M到B，C兩地修建公路的費(fèi)用都是a萬(wàn)元/km，求修建這兩條公路的最低總費(fèi)用．【答案】萬(wàn)元．【分析】由，結(jié)合雙曲線的定義可判斷點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的右支，進(jìn)而根據(jù)可求解.【詳解】如圖所示，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立平面直坐標(biāo)系xOy，則，，．連接AM，AC．因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的右支．因?yàn)?/span>，當(dāng)M，A，C三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，又總費(fèi)用為萬(wàn)元，所以，所以修建這兩條公路的最低總費(fèi)用為萬(wàn)元．21．如圖所示，正方形所在平面與梯形所在平面垂直，，，，.(1)證明：平面；(2)在線段（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2)存在；． 【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得，再得出即可證明；（2）設(shè)，求出平面和平面的法向量，利用向量關(guān)系建立方程求出即可得出.【詳解】（1）正方形中，，平面平面，平面平面，平面，平面，，且，又，，又，，又，，，平面；（2）由（1）知，平面，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)點(diǎn)，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，顯然，平面的法向量為，，即，即即，解得或（舍），則存在一點(diǎn)，且.22．已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)，且離心率．(1)求橢圓C的方程；(2)直線l的斜率為，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．求面積的最大值．【答案】(1)(2)2 【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于a，b的方程，解方程可得答案；（2）設(shè)直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，從而求得弦長(zhǎng)，求得點(diǎn)P到直線l的距離，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合基本不等式求得答案.【詳解】（1）∵，∴,又橢圓C：過(guò)點(diǎn)，∴，∴，,故所求橢圓方程為;（2）設(shè)l的方程為，，,聯(lián)立得,由，解得,由韋達(dá)定理，得，,則．點(diǎn)P到直線l的距離,∴,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立,∴面積的最大值為2. 

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