2022-2023學(xué)年度廣西柳州市六校高二上學(xué)期期中考試（數(shù)學(xué)）一?單選題（本大題共8小題，共40.0分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1. 直線的斜率為（    ）A.  B. 3 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】化為斜截式即可求斜率【詳解】直線化為斜截式方程為，所以直線的斜率為．故選：A．2. 已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A. 8 B. 7 C.  D. 14【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量垂直，則向量數(shù)量積為0，得到，解出即可.【詳解】已知向量，因?yàn)?/span>，所以，解得．故選：B．3. 空間直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，，則這兩點(diǎn)間的距離為（    ）A.  B.  C.  D. 18【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間中兩點(diǎn)之間的距離公式求解即可得到.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，，，則這兩點(diǎn)間的距離．故選：C．4. 兩條平行直線與間的距離等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用兩平行線間的距離公式求解.【詳解】解：兩條平行直線與，由平行直線間距離公式可知所求距離為．故選：C．5. 平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到直線的距離為（    ）A. 1 B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】直線，即，點(diǎn)到直線的距離為．故選：B6. 若直線與直線互相平行，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，解得：.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故選：D.7. 已知，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，直接求解即可.【詳解】已知，則．故選：．8. 圓與圓的位置關(guān)系為（    ）A. 內(nèi)含 B. 外離 C. 相交 D. 外切【答案】D【解析】【分析】利用兩圓圓心的距離與兩圓半徑的大小關(guān)系即可判斷.【詳解】解：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，兩圓圓心之間的距離，兩圓外切.故選：D.二?多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9. 已知直線與為兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（    ）A. 若，則斜率 B. 若斜率，則C. 若傾斜角，則D. 若，則傾斜角【答案】BCD【解析】【分析】利用直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，直線的斜率和直線的平行問題的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】A選項(xiàng)，，可能直線與的傾斜角都是，斜率不存在，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，根據(jù)直線的位置關(guān)系，當(dāng)直線的斜率存在，并且相等，則直線平行，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，當(dāng)兩條直線的傾斜角相等時(shí)，直線平行，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，當(dāng)兩條直線平行時(shí)，則傾斜角必相等，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD10. 以下命題正確的是（    ）A. 直線l的方向向量為，直線m的方向向量，則B. 直線l的方向向量，平面的法向量，則C. 兩個(gè)不同平面，的法向量分別為，，則D. 平面經(jīng)過三點(diǎn)，，，向量是平面的法向量，則【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)空間直線的方向向量數(shù)量積的值是否為零判定兩直線是否垂直，即可判斷A；根據(jù)空間直線的方向向量與平面的法向量是否共線判定B；根據(jù)兩平面法向量是否平行可判斷C；，，利用法向量與上面兩向量的數(shù)量積為零，即可求得的值，可判斷D.【詳解】A:，，，則不垂直，直線與不垂直，故A不正確；B:若，則，∴存在實(shí)數(shù)，使得,無解，故B錯(cuò)誤；C:，∴，與共線，，故C正確；D:點(diǎn)，，，，向量是平面的法向量，，即，解得，故D正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.必須熟練掌握的知識(shí)和技能：（1）空間兩直線垂直的充分必要條件是其方向向量垂直；（2）線面垂直的充分必要條件是直線的方向向量與平面的法向量平行；（3）兩個(gè)不同平面平行的充分必要條件是其法向量共線.11. 已知方程，下列敘述正確的是（    ）A. 方程表示的是圓.B. 當(dāng)時(shí)，方程表示過原點(diǎn)的圓.C. 方程表示的圓的圓心在軸上.D. 方程表示的圓的圓心在軸上.【答案】BC【解析】【分析】將方程整理為，當(dāng)時(shí)，方程不表示圓，知A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，可知原點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程，知B正確；根據(jù)方程表示圓時(shí)圓心的坐標(biāo)可知CD正誤.【詳解】由得：；對(duì)于A，若，即，則方程不表示圓，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，方程為，則方程表示以為圓心，半徑為的圓，此圓經(jīng)過原點(diǎn)，B正確；對(duì)于CD，若方程表示圓，則該圓圓心為，半徑為，則圓心在軸上，不在軸上，C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.12. 如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點(diǎn)F為的中點(diǎn)，如圖建系，則下列說法正確的有（    ）A.  B. 向量與所成角的余弦值為C. 平面的一個(gè)法向量是 D. 點(diǎn)D到直線的距離為【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用空間向量表示出，進(jìn)而求出；B選項(xiàng)，利用空間向量夾角公式求解；C選項(xiàng)，利用數(shù)量積為0進(jìn)行證明線線垂直，進(jìn)而得到答案；D選項(xiàng)，利用點(diǎn)到直線的空間向量公式進(jìn)行求解.【詳解】，，，，所以，所以，故，A錯(cuò)誤；，B正確；設(shè)，則，，而，所以平面的一個(gè)法向量是，C正確；，，則，所以，故點(diǎn)D到直線的距離為，故D正確.故選：BCD三?填空題（本大題共4小題，共20.0分）13. 若，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量模的公式即可得到答案.【詳解】因?yàn)?/span>，則．故答案為:．14. 已知，，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【答案】【解析】【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.【詳解】設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，∴中點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：15. 在直三棱柱中，若，則=____________.(用表示)【答案】【解析】【分析】連接根據(jù)直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征及空間向量減法的幾何意義可得，結(jié)合已知即可求表達(dá)式.【詳解】連接則.故答案為：16. 如果直線與曲線有公共點(diǎn)，那么的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，換元得到點(diǎn)是曲線上點(diǎn)，其中，因此問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有解，利用變量分離并結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，即可算出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：對(duì)于曲線，設(shè)，則，因此點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，直線與曲線有公共點(diǎn)，方程在區(qū)間上有解，即，可得，，即直線與曲線有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是，故答案為：．四?解答題（本大題共6小題，共70.0分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角是，直線．求：（1）直線的一般式方程．（2）直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由傾斜角得到直線斜率，先求出直線點(diǎn)斜式方程，再化為一般式方程.（2）兩直線方程聯(lián)立方程組，求交點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】由題意得：直線的斜率，又直線經(jīng)過點(diǎn)，所以直線的方程為，化為一般式方程為：；【小問2詳解】由題意，兩直線聯(lián)立方程組，解得，所以直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為18. 已知圓．（1）求圓的圓心坐標(biāo)及半徑；（2）若已知點(diǎn)，求過點(diǎn)的圓的切線方程．【答案】（1）圓心的坐標(biāo)為，半徑為    （2）或【解析】【分析】（1）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心及半徑；（2）先驗(yàn)證斜率不存在時(shí)是否滿足要求，再利用待定系數(shù)法求斜率存在時(shí)的切線方程.【小問1詳解】圓的方程可化為，，所以圓心坐標(biāo)為，半徑；【小問2詳解】過點(diǎn)直線的斜率不存在的直線方程為，該直線與圓沒有交點(diǎn)，不滿足要求；當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，即，因?yàn)橹本€與圓相切，所以點(diǎn)到直線的距離等于圓的半徑1，故，解得，或，方程為或，故過點(diǎn)的圓的切線方程為或．19. 如圖，在三棱柱中，平面為線段的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角大?。?/span>【答案】（1）證明見解析；    （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直得線線垂直，正方形對(duì)角線互相垂直，線面垂直判定定理得線面垂直，再由線面垂直性質(zhì)定理得線線垂直即可；（2）根據(jù)空間向量法求線面角即可.【小問1詳解】因?yàn)?/span>平面，平面，所以，因?yàn)?/span>，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以．因?yàn)樵谌庵?/span>中，，所以．又因?yàn)?/span>，所以四邊形為正方形．連結(jié)，則．又因?yàn)?/span>平面，所以平面．因?yàn)?/span>平面，所以；【小問2詳解】因?yàn)?/span>兩兩垂直，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，可得．因?yàn)?/span>為線段上的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，因?yàn)?/span>，所以，所以直線與平面所成角的大小為．20. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離是到點(diǎn)的距離的兩倍．求：（1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）若為線段的中點(diǎn)，試求點(diǎn)的軌跡．【答案】（1）    （2）點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓【解析】【分析】（1）用點(diǎn)到直線的距離公式展開化簡關(guān)系式即可；（2）用點(diǎn)坐標(biāo)表示點(diǎn)M坐標(biāo)，再代入M的軌跡方程即可得到N的軌跡方程，由此得到點(diǎn)的軌跡.【小問1詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意有，則，整理得，經(jīng)檢驗(yàn)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意得，即，因?yàn)?/span>在上，所以：，整理得，經(jīng)檢驗(yàn)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓．21. 如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形.四邊形是梯形，，平面平面，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)，平面，由線面平行的判定定理得到平面，同理可證.平面，然后利用面面平行判定定理證明. （2）以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面一個(gè)法向量和平面一個(gè)法向量，然后由求解.【詳解】（1）∵，平面，∴平面∵，平面，平面，∴.平面∵，、平面∴平面/平面∵平面，∴平面（2）以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，設(shè)平面一個(gè)法向量，，則，即，令，則，，∴設(shè)平面一個(gè)法向量，，則，即，令，則，，∴，∴，設(shè)二面角的平面角為，則，故【點(diǎn)睛】本題主要線面平行，面面平行的判定定理和空間向量法求二面角問題，還考查了邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.22. 已知圓，直線.（1）求證：直線恒過定點(diǎn)；（2）直線被圓截得的弦何時(shí)最長？何時(shí)最短？并求截得的弦長最短時(shí)的值以及最短弦長.【答案】（1）證明見解析    （2）當(dāng)過圓心時(shí)弦長最長；當(dāng)的方程為時(shí)最短；；最短弦長為【解析】【分析】（1）將直線的方程可化為，若過定點(diǎn)，則與m無關(guān)，理解可得，求解可得定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)圓的性質(zhì)可得：當(dāng)直線過圓心時(shí)，直線被圓截得的弦長最長，當(dāng)直線時(shí)，直線被圓截得的弦長最短，據(jù)此運(yùn)算求解.【小問1詳解】直線的方程可化為聯(lián)立，解得故直線恒過定點(diǎn)【小問2詳解】當(dāng)直線過圓心時(shí)，直線被圓截得的弦長最長設(shè)，當(dāng)直線時(shí)，直線被圓截得的弦長最短則直線的斜率為由得直線的斜率為，解得此時(shí)方程為，即圓心到直線的距離為∴最短弦長故當(dāng)過圓心時(shí)弦長最長；當(dāng)的方程為時(shí)最短；；最短弦長為

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