2022-2023學(xué)年廣西玉林市陸川縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．直線y=x+1的傾斜角是（　?。?/span>A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【詳解】∵直線的斜率是，∴，∵，∴它的傾斜角為，故選B.2．已知圓，則圓心坐標(biāo)、圓的半徑分別是（    ）A．，3 B．，3 C．，3 D．，9【答案】A【分析】將圓的一般式化為標(biāo)準(zhǔn)式，寫出圓心和半徑.【詳解】變形為，故圓心為，半徑為3.故選：A3．若直線的方向向量為,平面的法向量為,則A． B． C． D．與相交【答案】C【分析】由已知得，從而得到l⊥．【詳解】解：∵直線l的方向向量為，平面的法向量為，∴，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．4．已知，，則滿足的的值是（    ）A． B．0 C．或0 D．或0【答案】C【分析】直接由直線的一般方程平行的公式求解即可.【詳解】由可得，得或,當(dāng)時(shí)，，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，符合題意；故滿足的的值為0或．故選：C.5．一輛卡車寬為2.7m，要經(jīng)過一個(gè)半徑為4.5m得半圓形隧道（雙車道，不得違章），則這輛卡車的平頂車篷蓬頂距離底面得高度應(yīng)低于（       ）A．4.5m B．1.4m C．3.0m D．3.6m【答案】D【分析】如圖所示，半圓的方程為，由，可設(shè)代入半圓的方程解得即可.【詳解】如圖所示，半圓的方程為，，設(shè) 代入半圓的方程得，解得，因此這輛卡車的平頂車蓬距離地面的高度應(yīng)小于m.故選：D6．過點(diǎn)A（3，）且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)共焦點(diǎn)寫出橢圓方程，代入點(diǎn)A求出橢圓方程.【詳解】解：由題意得：該橢圓的焦點(diǎn)為，，即要求橢圓經(jīng)過點(diǎn)A（3，），將點(diǎn)代入，即（舍去）或故選：A7．一束光線，從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)軸反射到圓上的最短路徑的長(zhǎng)度是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】作點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可確定為所求的最短距離，由可求得結(jié)果.【詳解】由圓的方程可得：圓心坐標(biāo)，半徑，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，則，連接交軸于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，則為所求的最短距離，證明如下：任取軸上一點(diǎn)，則（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），，即最短路徑的長(zhǎng)度為.故選：A.8．已知橢圓的方程為，若點(diǎn)在第二象限，且，則的面積（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè) 為橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，，，由橢圓的定義可知，在中由余弦定理可得，從而可得，再利用計(jì)算即可.【詳解】解：設(shè) 為橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，，，由橢圓的定義可知，又因?yàn)?/span>，在中由余弦定理可得：，所以，所以，所以，所以.故選：B. 二、多選題9．已知橢圓：，則下列關(guān)于橢圓的結(jié)論正確的是（    ）A．焦點(diǎn)坐標(biāo)為， B．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為C．離心率為 D．直線與無交點(diǎn)【答案】BC【分析】由橢圓方程可求得，依次判斷焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)和離心率可知ABC正誤；根據(jù)直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法可知D錯(cuò)誤.【詳解】由橢圓方程知：橢圓焦點(diǎn)在軸上，，，；對(duì)于A，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，B正確；對(duì)于C，離心率，C正確；對(duì)于D，由得：，則，直線與交于兩點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：BC.10．給出下列命題，其中不正確的為（     ）A．若，則必有與重合，與重合，與為同一線段B．若，則是鈍角C．若，，則在上的投影向量為D．非零向量，，滿足與，與，與都是共面向量，則，，必共面【答案】ABD【分析】利用向量相等定義判斷A,利用向量的數(shù)量積公式判斷B，利用投影的定義判斷C，利用向量共面定義判斷D.【詳解】對(duì)于A,例如平行四邊形中，，但與不重合，與不重合，與不為同一線段，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則是鈍角或平角，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C, ，所以在的投影等于，所以在上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D，例如在正方體中，兩兩共面，但是三個(gè)向量不共面，故D錯(cuò)誤.故選:ABD.11．下列說法錯(cuò)誤的是（    ）A．若直線與直線互相垂直，則B．直線必過定點(diǎn)C．直線在y軸上的截距為D．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】AD【分析】A.根據(jù)時(shí)也垂直判斷；B.變?yōu)辄c(diǎn)斜式即可判斷；C.令即可；D.截距都為0也符合條件.【詳解】解：對(duì)A：，解得或，A不正確；對(duì)B：直線可變?yōu)?/span>，因此直線必過定點(diǎn)，即B正確；對(duì)C：直線在軸上的截距，令，得，所以直線在軸上的截距為，所以C正確．對(duì)D：經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或，所以D不正確；故選：AD．12．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線段，上，則下列命題正確的是（    ）A．直線BC與平面所成的角等于 B．點(diǎn)到平面的距離為C．異面直線和所成的角為. D．線段長(zhǎng)度的最小值為【答案】ABD【分析】根據(jù)直線和平面所成的夾角，點(diǎn)到平面的距離，異面直線所成的角以及異面直線距離的計(jì)算方法進(jìn)行逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：由題意得：正方體的棱長(zhǎng)為2對(duì)于選項(xiàng)A：連接，設(shè)交于O點(diǎn)平面即為直線BC與平面所成的角，且，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：連接，設(shè)交于O點(diǎn)平面點(diǎn)到平面的距離為,故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：連接、，由正方體性質(zhì)可知∥故異面直線和所成的角即為和所成的角又為等邊三角形故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：過作，過作，連接PQ為異面直線之間的距離，這時(shí)距離最?。?/span>設(shè)，為等腰直角三角形，則，也為等腰直角三角形，則為直角三角形故當(dāng)時(shí)，取最小值，故，故D正確；故選：ABD 三、填空題13．橢圓的焦距為2，則__________．【答案】3或5【分析】本題首先可根據(jù)焦距為得出，然后將橢圓分為焦點(diǎn)在軸上以及焦點(diǎn)在軸上兩種情況，分別進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】解：因?yàn)闄E圓的焦距為，所以，若焦點(diǎn)在軸上，則有，解得；若焦點(diǎn)在軸上，則有，解得；綜上所述，或．故答案為：3或5．14．已知直線則與的距離___________.【答案】##1.5【分析】根據(jù)平行線距離公式直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>，則與的距離，故答案為：15．已知直線的方向向量為，點(diǎn)在上，則點(diǎn)到的距離為_______.【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的空間向量坐標(biāo)公式求解即可【詳解】根據(jù)題意，得，，，；又 點(diǎn)到直線l的距離為．故答案為：16．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)，連線的斜率的積為定值－．則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為________【答案】【分析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)，據(jù)題意列出等式，化簡(jiǎn)得到軌跡方程，注意動(dòng)點(diǎn)P不能與A、B兩點(diǎn)重合，故.【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，，由題意得：，整理得：，又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P不能與定點(diǎn)，重合 ，故，綜上：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為故答案為： 四、解答題17．在三角形ABC中，已知點(diǎn)A(4，0)，B(－3，4)，C(1，2)．(1)求BC邊上中線的方程；(2)若某一直線過B點(diǎn)，且x軸上截距是y軸上截距的2倍，求該直線的一般式方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）求得線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)，由直線的點(diǎn)斜式寫出直線方程；（2）分兩類：①當(dāng)直線在x軸和y軸上的截距均為0時(shí)，可設(shè)直線的方程為y＝kx，代入點(diǎn)B（－3，4），求出k的值；②當(dāng)直線在x軸和y軸上的截距均不為0時(shí)，可設(shè)直線的方程為1，代入點(diǎn)B（－3，4），求得m的值，得解.【詳解】（1）∵B（－3，4），C（1，2），∴線段BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（－1，3），又BC邊上的中線經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），∴y（x－4），即3x+5y－12＝0，故BC邊上中線的方程.（2）當(dāng)直線在x軸和y軸上的截距均為0時(shí)，可設(shè)直線的方程為y＝kx，代入點(diǎn)B（－3，4），則4＝－3k，解得k，所以所求直線的方程為yx，即4x+3y＝0；當(dāng)直線在x軸和y軸上的截距均不為0時(shí)，可設(shè)直線的方程為1，代入點(diǎn)B（－3，4），則，解得m，所以所求直線的方程為1，即x+2y－5＝0，綜上所述，該直線的一般式方程為4x+3y＝0或x+2y－5＝0．18．已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點(diǎn).（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若圓與直線：交于，兩點(diǎn)，_____________，求的值.從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答：條件①：；條件②：.注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案見解析.【分析】（Ⅰ）設(shè)圓心，易知，由圓與軸相切于點(diǎn)，可求以及，寫出圓的方程即可.（Ⅱ）所給的兩個(gè)條件，均可得到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)線距離公式即可求的值.【詳解】（Ⅰ）設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為.由圓的圓心在直線上，知：.又∵圓與軸相切于點(diǎn)，∴，，則.∴圓的圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為.（Ⅱ）如果選擇條件①：，而，∴圓心到直線的距離，則，解得或.如果選擇條件②：，而，∴圓心到直線的距離，則，解得或.19．如圖，三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于1，．(1)設(shè)，，，用向量表示，并求出的長(zhǎng)度；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根據(jù)向量加減法運(yùn)算法則可得，根據(jù)計(jì)算可得的長(zhǎng)度；（2）根據(jù)空間向量的夾角公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1），因?yàn)?/span>，同理可得，所以（2）因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以．所以異面直線與所成角的余弦值為．20．已知空間中三點(diǎn)，，，設(shè)，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量與互相垂直，求的值；（3）求的面積.【答案】（1）或；（2）；（3）【分析】（1）首先求出的坐標(biāo)，由，可設(shè)，利用，求出參數(shù)的值，即可求出結(jié)果．（2）首先表示出的坐標(biāo)，由向量與互相垂直，得到，即可求出的值．（3）求出，， ， ，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，最后由面積公式求出的面積．【詳解】解：（1）空間中三點(diǎn)，，，設(shè)，，所以，，，，且，設(shè)，，，或．（2），且向量與互相垂直，，解得．的值是．（3）因?yàn)?/span>，， ，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查向量的求法，考查實(shí)數(shù)值、三角形的面積的求法，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量垂直、三角形面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．21．如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．將沿折起到的位置，如圖．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．【詳解】試題分析：（Ⅰ）先證，，再可證平面，進(jìn)而可證平面；（Ⅱ）先建立空間直角坐標(biāo)系，再算出平面和平面的法向量，進(jìn)而可得平面與平面夾角的余弦值．試題解析：（Ⅰ）在圖1中，因?yàn)?/span>，，是的中點(diǎn)，，所以即在圖2中，，從而平面又，所以平面．（Ⅱ）由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知，，所以為二面角的平面角，所以．如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>，所以得，．設(shè)平面的法向量，平面的法向量，平面與平面夾角為，則，得，取，，得，取，從而，即平面與平面夾角的余弦值為．【解析】1、線面垂直；2、二面角；3、空間直角坐標(biāo)系；4、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用． 22．已知橢圓的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，左、右焦點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)在該橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)過的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若的面積為，求以為圓心且與直線相切的圓的方程．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）依題意可得，從而得到，的坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓的定義求出，最后求出，即可得到橢圓方程；（2）分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式表示出，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得到圓的半徑，最后根據(jù)的面積得到方程，即可求出，從而求出圓的方程.【詳解】（1）解：由題意知，所以，，所以，由橢圓定義知：，則，，故橢圓的方程為．（2）解：①當(dāng)直線軸時(shí)，令，可得，解得，可取，，此時(shí)的面積，與題設(shè)矛盾，舍去．②當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得，成立，設(shè)，，則，，可得．又圓的半徑，∴的面積為，化簡(jiǎn)得，解得，∴，∴圓的方程為． 

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