2022-2023學(xué)年廣西玉林市高二下學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知兩條直線，，則這兩條直線之間的距離為（    ）A．2 B．3 C．5 D．10【答案】A【分析】由兩平行線距離公式求解即可.【詳解】這兩條直線之間的距離為.故選：A2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（    ）A． B．C． D．和【答案】C【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)減區(qū)間作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，由得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：C3．設(shè)等差數(shù)列的前項和為若是方程的兩根，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由根與系數(shù)的關(guān)系求出，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出．【詳解】由題可得，，所以，即．故選：A．4．已知圓心為的圓與直線相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圓心到切線的距離等于半徑，求出圓的半徑，即可得到本題答案.【詳解】因為圓心為的圓與直線相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是． 故選：A5．2018年某地區(qū)空氣質(zhì)量的記錄表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為0.8，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率為0.6，若今天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則明天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（　?。?/span>A．0.48 B．0.6 C．0.75 D．0.8【答案】C【分析】設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是，利用條件概率公式能求出結(jié)果．【詳解】一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率為，設(shè)隨后一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為，若今天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則明天空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則有，，故選C．【點睛】本題考查條件概率，屬于基礎(chǔ)題．6．設(shè)隨機變量，，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)隨機變量和，寫出概率的表示式，得到關(guān)于p的方程，解出p的值，再根據(jù)，由二項分布的方差公式求得到結(jié)果．【詳解】隨機變量，∴， 解得， ∴ ，則. 故選：D．7．已知直線與拋物線交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標(biāo)原點，直線OM與拋物線C交于O，N，若，則p=（    ）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，求出點M的坐標(biāo)，再表示出點N的坐標(biāo)，借助點N在拋物線上即可求解作答.【詳解】由消去x并整理得：，設(shè)，則有，，因此線段的中點，依題意，，于是，而點N在拋物線C上，則，又，所以.故選：C8．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性，進而可以比較a，b，c的大小.【詳解】令，則，所以時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增， ，，，因為，所以.故選：D. 二、多選題9．點在圓上，點在圓上，則（    ）A．的最小值為3 B．的最大值為7C．兩個圓心所在的直線斜率為 D．兩個圓相交弦所在直線的方程為【答案】ABC【分析】分別找出兩圓的圓心和的坐標(biāo)，以及半徑和，利用兩點間的距離公式求出兩圓心間的距離，根據(jù)大于兩半徑之和，得到兩圓的位置關(guān)系是外離，又為圓上的點，為圓上的點，便可求出其最值，用斜率公式求出.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)，半徑圓 ，即的圓心坐標(biāo)，半徑∴圓心距又在圓上，在圓上則的最小值為，最大值為．故A、B正確；兩圓圓心所在的直線斜率為，C正確；圓心距大于兩圓半徑和，兩圓外離，無相交弦，D錯誤.故答案為：ABC10．已知的展開式的二項式系數(shù)和為，則下列說法正確的是（    ）A．B．展開式中各項系數(shù)的和為C．展開式中第項的系數(shù)為D．展開式中含項的系數(shù)為【答案】ABD【分析】由展開式的二項式系數(shù)和為求出，即可判斷A，令即可得到展開式各項系數(shù)和，從而判斷B，利用展開式的通項判斷C、D.【詳解】對于A，因為的展開式的二項式系數(shù)和為，所以，則，故A正確；對于B，令，則，所以展開式中各項系數(shù)的和為1，故B正確；對于C，因為的展開式通項為，令可得第4項的系數(shù)為，故C不正確；對于D，在選項C中的通項公式中，令，得，則，所以含項的系數(shù)為，故D正確.故選：ABD.11．（多選）我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題；今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗；禾苗主人要求賠償5斗粟．羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人應(yīng)分別償還a升、b升、c升粟，1斗為10升，則下列判斷正確的是（    ）A．a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列 B．a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)已知條件判斷的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的知識求得，從而確定正確選項.【詳解】依題意，所以依次成公比為的等比數(shù)列，，即.所以BD選項正確.故選：BD12．函數(shù)，其中，若有且只有一個整數(shù)，使得，則的取值可能是（    ）A． B． C． D．【答案】CD【分析】設(shè)，，對求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)使得在直線的上方，求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的極值，解，求得的取值范圍．【詳解】解：設(shè)，，則，，，單調(diào)遞增，，，，單調(diào)遞減，時，取得最大值為，，，又直線恒過定點且斜率為，，，又，的取值范圍，對照選項可知只有C、D符合要求．故選：CD． 三、填空題13．已知直線x-y-1=0和圓（x-1）2+y2=1交于A，B兩點，則|AB|=________．【答案】2【分析】首先確定圓心到直線的距離，然后求解弦長即可．【詳解】圓（x-1）2+y2=1的半徑r=1，圓心（1,0）圓心到直線的距離，則直線經(jīng)過圓的圓心，所以弦長|AB|=2r=2．故答案為：2．14．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，若，，則______．【答案】【分析】先求出的概率，然后根據(jù)正態(tài)分布的特征求解即可.【詳解】解：由題意得：∵∴與關(guān)于對稱∴．故答案為：15．將4個不同的小球a，b，c，d全部放入甲、乙、丙3個不同的盒子中，每個盒子至少放1個小球，則小球a不放入甲盒子的放法種數(shù)為______.【答案】【分析】分小球a單獨放入乙或丙盒子、小球a不單獨放入乙或丙盒子兩種情況計算，先安排小球a，再結(jié)合分組分配的方法即可求解.【詳解】分兩種情況：（1）當(dāng)小球a單獨放入乙或丙盒子時：先放小球a，有種方法；再放其余3個小球，分兩步：第一步，3個球分兩組有種分法；第二步，把這兩組放在其余兩個盒子有種方法.所以.（2）當(dāng)小球a不單獨放入乙或丙盒子時：先放小球a，有種方法；再把其余3個球放到3個盒子中，每盒放1個球，有種方法.所以.故小球a不放入甲盒子的放法種數(shù)為.故答案為：16．已知雙曲線C：的右焦點為F，直線l：與雙曲線C交于A，B兩點，若，則雙曲線C的離心率是__________．【答案】/【分析】不妨設(shè)A在第一象限，則△AFO（O為坐標(biāo)原點）為直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)和雙曲線的對稱性列出方程，計算即可求解.【詳解】不妨設(shè)A在第一象限，則△AFO（O為坐標(biāo)原點）為直角三角形，則，．設(shè)雙曲線C的左焦點為F＇，由雙曲線的對稱性可知，則，即，整理得，從而，解得．因為，所以．故答案為：. 四、解答題17．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)、等比中項的意義列式求解作答.（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合裂項相消法計算作答.【詳解】（1）等差數(shù)列中，，解得，因，，成等比數(shù)列，即，設(shè)的公差為d，于是得，整理得，而，解得，所以.（2）由（1）知，，所以.18．在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點為，連接，可證平面，從而得到面面.（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，建如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【詳解】（1）取的中點為，連接.因為，，則，而，故.在正方形中，因為，故，故，因為，故，故為直角三角形且，因為，故平面，因為平面，故平面平面.（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.則，故.設(shè)平面的法向量，則即，取，則，故.而平面的法向量為，故.二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.19．已知數(shù)列滿足，且，.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，求的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)題意化簡可得證明即可；（2）由（1）可得，進而得到，再根據(jù)錯位相減法求的前n項和即可.【詳解】（1）由，得，所以，又，所以數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，，所以.記的前n項和為，則①，②，由①-②得，所以.【點睛】等差數(shù)列的判定與證明的方法定義法對于數(shù)列，（，）為同一常數(shù)為等差數(shù)列等差中項法（，）為等差數(shù)列通項公式法（p，q為常數(shù)）對任意的正整數(shù)n都成立為等差數(shù)列前n項和公式法（A，B為常數(shù)）對任意的正整數(shù)n都成立為等差數(shù)列20．某超市每天以4元/千克購進某種有機蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6點以前所購進的有機蔬菜沒有全部銷售完，則對未售出的有機蔬菜降價處理，以2元/千克出售，并且降價后能夠把剩余所有的有機蔬菜全部處理完畢，且當(dāng)天不再進貨.該超市整理了過去兩個月（按60天計算）每天下午6點前這種有機蔬菜的日銷售量（單位：千克），得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù).（注：視頻率為概率，）.每天下午6點前的銷售量/千克250300350400450天數(shù)10105(1)在接下來的2天中，設(shè)為下午6點前的銷售量不少于350千克的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若該超市以當(dāng)天的利潤期望值為決策依據(jù)，當(dāng)購進350千克的期望值比購進400千克的期望值大時，求的最小值.【答案】(1)分布列見解析，；(2)17. 【分析】（1）求出1天下午6點前的銷售量不少于350千克的概率，再求出的可能值及對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）求出分別購進350千克和400千克時利潤的期望值，列出不等式即可求解作答.【詳解】（1）依題意，1天下午6點前的銷售量不少于350千克的概率，隨機變量的可能值為0，1，2，，，，所以的分布列為：012的數(shù)學(xué)期望.（2）購進350千克時利潤的期望值：，購進400千克時利潤的期望值：，由解得，，因，，因此，所以的最小值是17.21．已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，且過點．(1)求橢圓C的方程；(2)過點作斜率存在且不為0的直線l與橢圓C交于兩點A，B試問：在x軸上是否存在一定點M，使得直線AM和BM關(guān)于x軸對稱？若存在，求出這個定點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在；定點 【分析】（1）將點代入橢圓的方程，結(jié)合橢圓的關(guān)系即可;（2）將直線AM和BM關(guān)于x軸對稱轉(zhuǎn)化為斜率和等于0，然后設(shè)點計算即可.【詳解】（1）依題意得，即橢圓C的方程為．（2）設(shè)直線，，，，則即，可得，，假設(shè)在x軸上存在定點，滿足題意，則，即，化簡得，即，解得，此時，∴在x軸上存在定點，使得直線AM和BM關(guān)于x軸對稱．22．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得答案；（2）將所要證明的不等式變形為，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，求得其最小值，即可證明原不等式.【詳解】（1）因為，所以，所以，又因為．所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即．（2）證明：要證，即證，即證，即證．令，則．由，可得，（舍去）因為當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增．所以，所以，結(jié)論得證．另解：證明：因為，所以要證，即證，即證．設(shè)，則．令，則，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，故存在唯一的，使得，即，即，等式兩邊同時取對數(shù)得，即．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減．所以，即，所以在上單調(diào)遞減．因為當(dāng)時，，，所以函數(shù)，所以成立．【點睛】：方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，一般方法是將不等式進行變形，進而構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，從而將不等式的證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性或最值問題, 

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