2021年11月份玉林市高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試題數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)，若，則復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由可化為，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法計算即可求解.【詳解】由，得，所以虛部為，故選：B【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運算，考查了復(fù)數(shù)的概念，屬于容易題.2. 設(shè)集合，，且，則實數(shù)的取值集合為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】化簡集合，進一步得出答案.【詳解】由題得，因為，且，所以實數(shù)的取值集合為.故選：A.3. 下列函數(shù)中是減函數(shù)且值域為R的是（    ）A  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由冪函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.【詳解】解：對A：函數(shù)的值域為，故選項A錯誤；對B：函數(shù)為和上的增函數(shù)，故選項B錯誤；對C：函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故選項C錯誤；對D：由冪函數(shù)的性質(zhì)知為減函數(shù)且值域為R，故選項D正確；故選：D.4. 若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】分別利用選項A，B，C的三視圖，由排除法即可求解.【詳解】選項A中：主視圖為，俯視圖為，故選項A不正確；選項B中：主視圖為，側(cè)視圖為，故選項B不符合題意；選項C中：俯視圖為，故選項C不符合題意，故選：D.5. 的展開式中，的系數(shù)為（    ）A. 11 B.  C. 30 D. 【答案】D【解析】【分析】先求得的展開式的通項公式，再由求解.【詳解】因為的展開式的通項公式為，且，所以的展開式中的系數(shù)為，故選：D.6. 如圖，一架飛機從A地飛往B地，兩地相距500km.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從A點起飛以后，就沿與原來的飛行方向AB成角的方向飛行，飛行到中途C點，再沿與原來的飛行方向AB成角的方向繼續(xù)飛行到終點B點.這樣飛機的飛行路程比原來的路程500km大約多飛了（ ）（，）A. 10km B. 20kmC. 30km D. 40km【答案】B【解析】【分析】由題得，再由正弦定理求出，即得解.【詳解】在中，由，得，由正弦定理得，所以，所以，所以，故選：B.7. 已知向量，為非零向量，則“向量，的夾角為180°”是“”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】判斷命題“若向量，的夾角為180°，則”和命題“若，則向量，的夾角為180°”的真假即可得解.【詳解】因向量，為非零向量，則當向量，的夾角為180°時，與方向相反，即成立，當時，與方向相同或者方向相反，即向量，的夾角為0°或者180°，可以不為180°，所以“向量，的夾角為180°”是“”的充分不必要條件.故選：A8. 已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為該拋物線的焦點，拋物線上縱坐標為1的點P滿足，則（    ）A.  B. 4 C.  D. 2【答案】C【解析】【分析】借助拋物線定義和兩點間距離公式求解即可．【詳解】由題意，，點，故，，．故選：C．9. 已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，且與的等差中項為，則的最大值為（    ）A. 5 B. 512 C. 1024 D. 2048【答案】C【解析】【分析】用和表示出和代入求得，再根據(jù)，求得，進而求得到的值，即得解.【詳解】，故，所以，所以數(shù)列的前4或5項的積最大，且最大值為.故選：C【點睛】結(jié)論點睛：等比數(shù)列中，如果，求的最大值，一般利用“1交界”法求解，即找到大于等于1的項，找到小于1的項，即得解.10. 已知，且，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用同角公式化正弦為余弦，求出的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得.【詳解】依題意，原等式化為：，整理得：，因，則，解得：，所以.故選：B11. 如圖所示三棱錐中，∠BCD=90°，△ABD為等邊三角形，二面角為直二面角，，則該三棱錐外接球體積為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，找到球心在的外心處，利用正弦定理求得三角形外接圓半徑，再求球體的體積即可.【詳解】取BD中點E，連接AE，如下圖所示：在等邊中，；又二面角為直二面角，故平面平面CBD，又面面，面,所以平面BCD.因為為以為斜邊的直角三角形，所以是的外心，所以三棱錐的外接球的球心在線段上，且為的外心，設(shè)為.設(shè)球的半徑為，在中，由正弦定理有，解得.所以體積為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考察三棱錐外接球球半徑的求解；本題中，球心是底面外心的垂線和側(cè)面外心垂線的交點，這是處理問題的關(guān)鍵，屬中檔題.12. 設(shè)，，．則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.詳解】[方法一]：，所以；下面比較與的大小關(guān)系.記，則，，由于所以當0<x<2時，，即，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即；令，則，，由于，在x>0時，，所以，即函數(shù)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以，即，即b<c；綜上，，故選：B.[方法二]：令，即函數(shù)在（1，+∞)上單調(diào)遞減令，即函數(shù)在（1，3)上單調(diào)遞增綜上，，故選：B.【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點是將各個值中共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.  二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 若是函數(shù)的一個極值點，則______．【答案】【解析】【分析】由是函數(shù)的一個極值點得，利用求解.【詳解】由題知，，.因為是函數(shù)的一個極值點，所以，有，.故答案為：.14. 設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且a1=2，（n≥2），則S4=___________.【答案】54【解析】【分析】利用分別求出即可求出S4.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列{an}中，（n≥2），則，，，所以S4=2+4+12+36=54.故答案為：54.15. 已知由一組樣本數(shù)據(jù)確定的回歸直線方程為，且，發(fā)現(xiàn)有兩組數(shù)據(jù)與誤差較大，去掉這兩組數(shù)據(jù)后，重新求得回歸直線的斜率為1，那么當時，y的估計值為________.【答案】6【解析】【分析】先根據(jù)，求出，再根據(jù)去掉的兩組數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)樣本中心點沒變，求出新的回歸直線方程，將代入即可求得.【詳解】解：，，由題意知：去掉兩組數(shù)據(jù)和后，樣本中心點沒變，設(shè)重新求得的回歸直線方程為，將樣本點的中心代入，解得：，即當時，.故答案為：.16. 橢圓C：的上、下頂點分別為A，C，點B在橢圓上，平面四邊形ABCD滿足∠BAD=∠BCD=90°，且，則該橢圓的離心率為__________﹒【答案】##【解析】【分析】根據(jù)已知條件知、、、在以為直徑的圓上，設(shè)，，，，結(jié)合圓的性質(zhì)以及所給面積關(guān)系可得，，求得圓的方程，代入點坐標經(jīng)計算即可得解﹒【詳解】根據(jù)題意可得，，設(shè)，，由，可得點A、B、C、D在以DB為直徑的圓上，又原點О為圓上的弦AC的中點，∴圓心在AC的垂直平分線上，可得圓心在x軸上，∴，又，可得，故圓心坐標為，半徑為，∴圓的方程為，將A代入結(jié)合，可得，∴，，，故答案為：﹒三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17. 已知函數(shù).（1）若，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若f（x）在[0，m]上的最小值為2，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（）    （2）【解析】【分析】（1）先化簡得到，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”列不等式求出f（x）的遞增區(qū)間；.（2）利用單調(diào)性實數(shù)m的取值范圍.【小問1詳解】.令，（）解得，（）∴f（x）的遞增區(qū)間為（）.【小問2詳解】，得.∵f（x）在上的最小值為2，∴，解得.18. 2019年4月，江蘇省發(fā)布了高考綜合改革實施方案，試行“”高考新模式.為調(diào)研新高考模式下，某校學(xué)生選擇物理或歷史與性別是否有關(guān)，統(tǒng)計了該校高三年級800名學(xué)生的選科情況，部分數(shù)據(jù)如下表：性別科目男生女生合計物理300  歷史 150 合計400 800（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上述表格，并判斷是否有99.9%的把握認為該校學(xué)生選擇物理或歷史與性別有關(guān)；（2）該校為了提高選擇歷史科目學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，用分層抽樣的方法從該類學(xué)生中抽取5人，組成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組.一段時間后，從該小組中抽取2人匯報數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得.求這2人均為男生的概率.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828 【答案】（1）表格見解析，有；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題中所給的公式，結(jié)合表中的數(shù)據(jù)求解判斷即可；（2）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，結(jié)合古典概型的計算公式用列舉法進行求解即可.【詳解】（1）性別科目男生女生合計物理300250550歷史100150250合計400400800因為，所以有99.9%的把握認為該校學(xué)生選擇物理或歷史與性別有關(guān).（2）按照分層抽樣的方法，抽取男生2人，女生3人.設(shè)2名男生和3名女生分別為：，則所有抽取結(jié)果有共10種，均為男生只有一種，所以概率為.19. 在四棱錐P﹣ABCD中，底面四邊形ABCD是一個菱形，且∠ABC，AB＝2，PA⊥平面ABCD．（1）若Q是線段PC上的任意一點，證明：平面PAC⊥平面QBD．（2）當平面PBC與平面PDC所成的銳二面角的余弦值為時，求PA的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明BD⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標系，設(shè)P(0,1,a)（a>0），求出平面PBC與平面PDC的法向量，利用向量夾角公式建立關(guān)于a的方程，解出即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是一個菱形，∴AC⊥BD，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC∩PA=A，則BD⊥平面PAC，∵BD在平面QBD內(nèi)，∴平面PAC⊥平面QBD；（2）設(shè)AC，BD交于點O，分別以OB，OC所在直線為x軸，y軸，以平行于AP的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)P(0,1，a)(a>0)，則，設(shè)平面PBC的一個法向量為，則，則，同理可求平面PDC的一個法向量為，∴，解得a2=2，∴．【點睛】本題考查了面面垂直的判定以及利用空間向量求解二面角問題，考查了計算能力，屬于中檔題．20. 雙曲線左右焦點分別為，，實軸長，點P為雙曲線C右支上一點，且的最小值為．（1）求雙曲線C的標準方程：（2）過點作直線l與雙曲線C右支交于A，B兩點，若，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用實軸長求得的值，結(jié)合平面向量數(shù)量積求得雙曲線的標準方程；（2）設(shè)，和雙曲線方程聯(lián)立利用韋達定理結(jié)合平面向量線性運算求得結(jié)果．【詳解】（1），則雙曲線C方程是：（2）設(shè)，，，，①，②，③由①②③得，此時檢驗得∴直線l的方程：21. 已知函數(shù).（1）若存在零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的零點，求證：.【答案】（1）；    （2）證明見解析.【解析】【分析】（1）分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和值域，結(jié)合題意，則問題得解；（2）根據(jù)（1）中所求，將所證不等式轉(zhuǎn)化證明，分別構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，進而證明不等式恒成立即可.【小問1詳解】令變形得，令，問題轉(zhuǎn)化成與有交點.令，解得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故，所以.故實數(shù)的取值范圍；【小問2詳解】證明：由題意可得，，得，要證，即證..先證，只需讓，令，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，左邊證畢.再證，即證：令，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故；令，，令，，令，解得，故在單調(diào)遞增，.即在恒成立.令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.因為，所以，即，故，右邊證畢.綜上所述：.【點睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和恒成立問題；其中第一問中，對函數(shù)進行分離參數(shù)是解決問題的關(guān)鍵；第二問中，在證明時，將其轉(zhuǎn)化為證明，是較好的一種處理手段；本題綜合考察學(xué)生的計算能力，對導(dǎo)數(shù)的綜合使用能力，屬壓軸題.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，那么按所做的第一題計分.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22. 在直角坐標系中，圓的圓心坐標為，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，點的極坐標為，且過點只能作一條圓的切線．（1）求圓的極坐標方程；（2）直線（，）和圓相交于兩點，，若，求．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，從而得到圓的標準方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標方程即可.（2）首先將代入圓的極坐標方程得，得到設(shè)點，的極坐標分別為，，根據(jù)題意得到，且，再求解即可.【詳解】（1）由點的極坐標可得其直角坐標為，因為過點只能作一條圓的切線，所以點在圓上，因為， 所以圓的直角坐標方程為，即， 所以圓的極坐標方程為．（2）將代入圓的極坐標方程得，由，，即，設(shè)點，的極坐標分別為，，則 又由，可得，聯(lián)立解得．選修4-5：不等式選講23. 設(shè)函數(shù).（1）若，，求的取值范圍；（2）若，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)，把不等式中的進行消元，然后分類討論進行求解即可；（2）利用重要不等式，結(jié)合絕對值的性質(zhì)進行證明即可.詳解】（1）當時，，由得，當時，恒成立，此時；當時，，，此時，綜上可得，.（2）∵，∴，，∴.【點睛】本題考查了利用分類討論法求解絕對值不等式問題，考查了利用重要不等式和絕對值的性質(zhì)進行證明不等式問題，考查了數(shù)學(xué)運算能力和推理論證能力.

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