【期中真題】新疆烏魯木齊市第八中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

烏魯木齊市第八中學(xué)2022-2023學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)問(wèn)卷考試時(shí)間：120分鐘總分：150分一?單選題（本大題共8小題，每小題5分，共分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1. 過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線方程為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即得解.【詳解】解：設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程得.所以所求的直線方程為.故選：A2. 已知是橢圓兩焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，若，則（）A. 9 B. 7 C. 10 D. 6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義結(jié)合已知條件即得．【詳解】由，得，，因?yàn)?/span>，且，所以.故選：B.3. 若橢圓過(guò)點(diǎn)，則橢圓方程為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把已知兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求出后即得．【詳解】由已知，解得，所以橢圓方程為．故選：A.4. 已知命題：離心率越小，橢圓的形狀越扁，命題：離心率越大，雙曲線的“張口”越小，則下列命題為真命題的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】研究的變化情況，可以得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)橢圓的圖象可知，越接近于1，則橢圓越圓.離心率越小，則由知，越大，則橢圓越圓，因此命題為假命題；對(duì)于雙曲線，以焦點(diǎn)在x軸上的為例，根據(jù)雙曲線的圖象知，漸近線斜率越小，即越小，雙曲線的“張口”越小. 離心率越大，則由知，越大，雙曲線的“張口”越大，因此命題為假命題.根據(jù)，或且非邏輯聯(lián)接詞判定命題的依據(jù)知，只有B正確.故選：B.5. 設(shè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡是（）A. 橢圓 B. 橢圓或射線 C. 橢圓或線段 D. 不存在【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式及橢圓的定義即可判斷.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即，所以點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓．故選：A.6. 德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)天體運(yùn)行軌道是橢圓，已知地球運(yùn)行的軌道是一個(gè)橢圓，太陽(yáng)在它的一個(gè)焦點(diǎn)上，若軌道近日點(diǎn)到太陽(yáng)中心的距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽(yáng)中心的距離之比為，那么地球運(yùn)行軌道所在橢圓的離心率是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而即得.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，半焦距為，由題意可得，所以，即，因此地球運(yùn)行軌道所在橢圓的離心率是．故選：D.7. 在棱長(zhǎng)為3的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體各棱及表面上運(yùn)動(dòng)且滿(mǎn)足，則點(diǎn)軌跡的面積為（）A. B. C. D. 9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理結(jié)合條件可得點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求得軌跡的面積.【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)，則，，所以，所以，又平面，平面，所以，而，平面，平面，所以平面，由，可知，所以的軌跡是矩形，由題可得，，所以軌跡的面積是.故選：B.8. 如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用體積法求點(diǎn)面距．【詳解】由已知，，所以等腰的底邊上的高為，，又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，所以．故選：C. 二?多選題（本大題共4小題，共分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9. 下列命題正確的是（）A. 若定點(diǎn)滿(mǎn)足，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線.B. 若定點(diǎn)滿(mǎn)足，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則的軌跡是橢圓.C. 當(dāng)時(shí)，曲線表示橢圓.D. 雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn).【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義可判斷A，根據(jù)橢圓的定義可判斷B，由題可知時(shí)曲線為圓可判斷C，根據(jù)雙曲線及橢圓的方程可求其焦點(diǎn)進(jìn)而判斷D.【詳解】對(duì)于A，定點(diǎn)滿(mǎn)足，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為端點(diǎn)的一條射線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，定點(diǎn)滿(mǎn)足，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，曲線，即表示圓，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由雙曲線可知其焦點(diǎn)為，由橢圓可知其焦點(diǎn)為，故D正確.故選：BD.10. 給出下列命題，其中是真命題的是（）A. 若可以作為空間的一個(gè)基底，與共線，，則也可以作為空間的一個(gè)基底B. 已知向量，則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底C. 已知A，B，M，N是空間中的四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則A，B，M，N四點(diǎn)共面D. 已知是空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的一個(gè)基底【答案】ABCD【解析】【分析】直接利用向量的基底的定義，向量的共線，共面向量的充要條件判定、、、的結(jié)果．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：，，可以作為空間的一個(gè)基底，，，不共面，與共線，，，，不共面，故正確．對(duì)于選項(xiàng)：向量，，與任何向量都共面，，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故正確．對(duì)于選項(xiàng)：，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，，，共面，，，，共面，故正確．對(duì)于選項(xiàng)：，，是空間的一個(gè)基底，，，不共面，，，，不共面，，，也是空間的一個(gè)基底，故正確．故選：．11. 下列敘述正確的是（）A. 點(diǎn)在圓外.B. 圓在處的切線方程為.C. 圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于.D. 曲線與曲線公共弦長(zhǎng)等于.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)P與圓心的距離可判斷A，根據(jù)切點(diǎn)可得切線方程判斷B，根據(jù)圓心到直線的距離進(jìn)而可判斷C，由題可得公共弦方程，然后利用弦長(zhǎng)公式可判斷D.【詳解】A，點(diǎn)P與圓心距離為，所以點(diǎn)P在圓外，故正確；B，圓心與點(diǎn)連線的斜率為，所以在處的切線方程為，即，故錯(cuò)誤；C，圓心到直線的距離為，故圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，故正確；D，由，可得公共弦所在直線為，即，又的圓心為半徑為，所以公共弦長(zhǎng)為，故正確.故選：ACD.12. 已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，若橢圓與坐標(biāo)軸分別交于，四點(diǎn)，且從這六點(diǎn)中，可以找到三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，則橢圓的離心率的可能取值為（）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】由可能的等邊三角形分類(lèi)討論，得的關(guān)系，從而求得離心率．【詳解】不妨設(shè)A,B為長(zhǎng)軸端點(diǎn)，C,D為短軸端點(diǎn)，已知關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，相應(yīng)的三角形只取其中一個(gè)，首先可能是等邊三角形，因?yàn)?/span>，，不成立，為等邊三角形，則，；為等邊三角形，則，，，；為等邊三角形，則，，，，．故選：ABD．二?填空題（本大題共4小題，共4×5=20）13. 已知橢圓被直線截得的弦長(zhǎng)為6，則直線①②③④⑤中被橢圓截得的弦長(zhǎng)也是6的直線有__________.（填上直線的代號(hào)）【答案】①③⑤【解析】【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性結(jié)合直線的關(guān)系即得.【詳解】因?yàn)闄E圓被直線截得的弦長(zhǎng)為6，根據(jù)題意可畫(huà)出橢圓與直線的大致圖象，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性結(jié)合圖象可得，，，被橢圓截得的弦長(zhǎng)也是6，，被橢圓截得的弦長(zhǎng)不是6，即①③⑤適合題意.故答案為：①③⑤.14. 空間向量，如果，則__________.【答案】6【解析】【分析】利用向量垂直公式可得，然后利用模長(zhǎng)公式即得.【詳解】向量，，且，，，解得，，．故答案為：6.15. 已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則圓與圓的公切線的條數(shù)為__________.【答案】4【解析】【分析】由已知對(duì)稱(chēng)性求得值，求出圓心距，確定兩圓的位置關(guān)系后可得公切線的條數(shù)．【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，半徑為，圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，，，，半徑為，，兩圓相離，公切線有4條．故答案為：4.16. 雙曲線的左?右焦點(diǎn)為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，若滿(mǎn)足，，則該雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可得，然后利用雙曲線的定義結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，即，所以，又，所以，即.故答案為： .三?解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17. 已知直線.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn).（1）設(shè)直線所過(guò)定點(diǎn)為，求過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線方程.（2）記，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題可得，可得，然后根據(jù)直線的位置關(guān)系及點(diǎn)斜式方程即得；（2）由直線方程可得，，然后利用基本不等式即得.【小問(wèn)1詳解】由直線，可得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，又的斜率為，所以所求直線的斜率為，所以過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線方程為，即；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，直線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，所以直線斜率小于0，即，可得，令，可得，即，令，可得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最小值為.18. 在三棱錐體中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè).（1）記，試用向量表示向量；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的運(yùn)算的幾何表示結(jié)合條件即得；（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律即得.【小問(wèn)1詳解】由題可知，，所以，即，又，所以，所以，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】因，所以，所以
.19. 已知圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，圓心為；直線（1）若，記為圓上的點(diǎn)到直線的距離，求的最大值；（2）設(shè)直線與圓的相交弦為，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題可得圓的半徑，進(jìn)而可得圓心到直線的距離，然后根據(jù)圓的性質(zhì)即得；（2）先求出直線的定點(diǎn)，再結(jié)合圓的性質(zhì)可得弦長(zhǎng)的最值，進(jìn)而即得.【小問(wèn)1詳解】由題可知圓的半徑為當(dāng)時(shí)，直線，所以圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，即的最大值為；【小問(wèn)2詳解】由直線，可得，令，可得，即直線恒過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)圓的性質(zhì)可知當(dāng)直線過(guò)圓心時(shí)，，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最小，因?yàn)?/span>，所以，所以.20. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，和上各有一動(dòng)點(diǎn)且，（1）證明.（2）當(dāng)體積最大時(shí)，求平面與平面的夾角正切值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用坐標(biāo)法，設(shè)，求進(jìn)而即得；（2）利用棱錐的體積公式表示出體積，然后利用基本不等式可得體積最大，然后利用面面角的向量求法即得.【小問(wèn)1詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，所以，所以，所以，即；【小問(wèn)2詳解】由題可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，又，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，因?yàn)槠矫?/span>的法向量可取，設(shè)平面與平面的夾角為，所以，所以，，即平面與平面的夾角正切值為.21. 已知橢圓與橢圓有相同的離心率，短半軸長(zhǎng)為1.（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且為鈍角（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的斜率的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件可得、，然后可得答案；（2）設(shè)，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋達(dá)定理得到，然后由為鈍角可得、，據(jù)此可解出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓離心率為，所以，因?yàn)闄E圓的短半軸長(zhǎng)為1，所以，所以可得，所以的方程為，【小問(wèn)2詳解】直線的方程為，由可得，由可得，設(shè)，則，因?yàn)?/span>為鈍角，所以，且三點(diǎn)不共線，所以，所以，解得，綜上可得：的取值范圍為.22. 動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和到直線的距離之比為，（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡；（2）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，求證：直線過(guò)某一個(gè)定點(diǎn).【答案】（1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線；；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由題可得，化簡(jiǎn)可得軌跡方程，進(jìn)而即得；（2）由題可設(shè)，，聯(lián)立雙曲線方程，利用判別式為0結(jié)合條件可得，，然后根據(jù)點(diǎn)在切線，上，進(jìn)而可得直線方程，即得.【小問(wèn)1詳解】由題可得，化簡(jiǎn)可得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由題可知切線的斜率存在，可設(shè)切線的斜率為，則，由，可得，所以，所以，即，又，所以，即，所以，所以，即，同理可得，又在切線，上，所以，所以滿(mǎn)足直線方程上，而兩點(diǎn)唯一確定一條直線，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，即直線過(guò)定點(diǎn).

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