?第4節(jié)　數(shù)列求和及綜合應(yīng)用
考試要求　1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.掌握非等差數(shù)列，非等比數(shù)列求和的幾種常見方法.


1.特殊數(shù)列的求和公式
(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝
2.數(shù)列求和的幾種常用方法
(1)分組轉(zhuǎn)化法
把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.
(2)裂項(xiàng)相消法
把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.
(3)錯(cuò)位相減法
如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解.
(4)倒序相加法
如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.

1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
2.12＋22＋…＋n2＝.
3.裂項(xiàng)求和常用的三種變形
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝－.
4.在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
(1)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和Sn＝.(　　)
(2)當(dāng)n≥2時(shí)，＝(－).(　　)
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求和.(　　)
(4)若數(shù)列a1，a2－a1，…，an－an－1是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
解析　(3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1討論求解.
2.等差數(shù)列{an}中，已知公差d＝，且a1＋a3＋…＋a99＝50，則a2＋a4＋…＋a100＝(　　)
A.50 B.75 C.100 D.125
答案　B
解析　a2＋a4＋…＋a100＝(a1＋d)＋(a3＋d)＋…＋(a99＋d)＝(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝50＋50×＝75.
3.(2022·南陽模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＝，則S99＝(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
答案　C
解析　an＝＝－，
所以S99＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝9.
4.(2022·銀川檢測(cè))數(shù)列1，3，5，7，…，(2n－1)＋…的前n項(xiàng)和Sn的值等于(　　)
A.n2＋1－ B.2n2－n＋1－
C.n2＋1－ D.n2－n＋1－
答案　A
解析　Sn＝[1＋3＋…＋(2n－1)]＋
＝＋＝n2＋1－.
5.(易錯(cuò)題)數(shù)列{(n＋3)·2n－1}前20項(xiàng)的和為________.
答案　22·220－2
解析　S20＝4·1＋5·21＋6·22＋…＋23·219，
2S20＝4·2＋5·22＋6·23＋…＋23·220，
兩式相減，得
－S20＝4＋2＋22＋…＋219－23·220
＝4＋－23·220＝－22·220＋2.
故S20＝22·220－2.
6.(2021·河北“五個(gè)一”名校質(zhì)檢)若f(x)＋f(1－x)＝4，an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________.
答案　an＝2(n＋1)
解析　由f(x)＋f(1－x)＝4，
可得f(0)＋f(1)＝4，…，
f＋f＝4，
所以2an＝(f(0)＋f(1))＋(f＋f)＋…＋(f(1)＋f(0))＝4(n＋1)，
即an＝2(n＋1).

　考點(diǎn)一　分組轉(zhuǎn)化求和　
例1 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且關(guān)于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解集為(1，2).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝a2n＋2an－1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
因?yàn)殛P(guān)于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解集為(1，2)，
所以＝1＋2＝3.
又S2＝2a1＋d，所以a1＝d，
易知＝2，所以a1＝1，d＝1.
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.
(2)由(1)可得，a2n＝2n，2an＝2n.
因?yàn)閎n＝a2n＋2an－1，所以bn＝2n－1＋2n，
所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋(2＋22＋23＋…＋2n)
＝＋＝n2＋2n＋1－2.
感悟提升　1.若數(shù)列{cn}滿足cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.
2.若數(shù)列{cn}滿足cn＝其中數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求{cn}的前n項(xiàng)和.
訓(xùn)練1 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n項(xiàng)和Sn.
解　Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3，
所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
Sn＝2×＋ln 3＝3n＋ln 3－1；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
Sn＝2×－(ln 2－ln 3)＋ln 3
＝3n－ln 3－ln 2－1.
綜上所述，
Sn＝
　考點(diǎn)二　裂項(xiàng)相消法求和
例2 (2022·西安模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－a1(n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足b1＝6，bn＝Sn＋＋4(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，證明：Tn＜.
(1)解　已知Sn＝2an－a1，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－a1，
兩式相減得an＝2an－1，n≥2，
所以＝2為常數(shù)，bn＝Sn＋＋4，
令n＝1，得6＝a1＋＋4，解得a1＝1，
所以數(shù)列{an}是公比為2，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，
所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1.
(2)證明　由Sn＝2an－a1＝2n－1，
得bn＝2n＋＋3，
則＝
＝－，
所以Tn＝＋(－)＋…＋
＝－＜.
感悟提升　1.用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變換，如：＝(－)，＝(－)，裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng).
2.消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).
訓(xùn)練2 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1＝2，an＋1＝Sn＋2.
(1)證明：{an}為等比數(shù)列；
(2)記bn＝log2an，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，若Tn≥10恒成立，求λ的取值范圍.
(1)證明　由已知，得a1＝S1＝2，a2＝S1＋2＝4，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－1＋2，
所以an＋1－an＝(Sn＋2)－(Sn－1＋2)＝an，
所以an＋1＝2an(n≥2).
又a2＝2a1，所以＝2(n∈N*)，
所以{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.
(2)解　由(1)可得an＝2n，所以bn＝n.
則＝＝λ，
Tn＝λ
＝λ，
因?yàn)門n≥10，所以≥10，
從而λ≥，
因?yàn)椋?0≤20，
所以λ的取值范圍為[20，＋∞).
考點(diǎn)三　錯(cuò)位相減法求和　
例3 (2021·全國(guó)乙卷)設(shè){an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn＝.已知a1，3a2，9a3成等差數(shù)列.
(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項(xiàng)和.證明：Tn

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