§6.3　等比數(shù)列考試要求　1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．知識(shí)梳理1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第________項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于______________，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的________，公比通常用字母q表示(q≠0). (2)等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，此時(shí)，G2＝________.2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝____________.(2)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.(3)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝________；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝______________＝____________.3．等比數(shù)列的性質(zhì)(1)若m＋n＝p＋q，則________________，其中m，n，p，q∈N*.特別地，若2w＝m＋n，則________________，其中m，n，w∈N*.(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為________(k，m∈N*)．(3)若數(shù)列{an}，{bn}是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比數(shù)列(b，p，q≠0)．(4)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，____________，____________仍成等比數(shù)列，其公比為qn.(n為偶數(shù)且q＝－1除外)(5)若或則等比數(shù)列{an}遞________；若或則等比數(shù)列{an}遞________．常用結(jié)論1．等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可以寫成an＝cqn，這里c≠0，q≠0.2．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn可以寫成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．3．?dāng)?shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．(1)若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，，，…成等比數(shù)列．(2)若數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2n，則＝q；若項(xiàng)數(shù)為2n＋1，則＝q，或＝q.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)三個(gè)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2＝ac.(　　)(2)當(dāng)公比q>1時(shí)，等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．(　　)(3)等比數(shù)列中所有偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同．(　　)(4)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列．(　　)教材改編題1．設(shè)a，b，c，d是非零實(shí)數(shù)，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的(　　)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6等于(　　)A．31   B．32C．63   D．643．已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若它們的和等于13，積等于27，則這三個(gè)數(shù)為________________．題型一　等比數(shù)列基本量的運(yùn)算例1 (1) (2022·全國(guó)乙卷)已知等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為168，a2－a5＝42，則a6等于(　　)A．14  B．12  C．6  D．3聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·桂林模擬)朱載堉(1536～1611)是中國(guó)明代一位杰出的音樂家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家，他的著作《律學(xué)新說》中闡述了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一組音(八度)分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”．即一個(gè)八度13個(gè)音，相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，且最后一個(gè)音的頻率是最初那個(gè)音的2倍．設(shè)第二個(gè)音的頻率為f1，第八個(gè)音的頻率為f2.則等于(　　)A.   B.C.   D．4聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算的解題策略(1)等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解．(2)解方程組時(shí)常常利用“作商”消元法．(3)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，一定要討論公比q＝1的情形，否則會(huì)漏解或增解．跟蹤訓(xùn)練1 (1)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝3，S4＝15，則公比q等于(　　)A．2  B．3  C．4  D．5(2)在1和2之間插入11個(gè)數(shù)使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個(gè)數(shù)之和為M，插入11個(gè)數(shù)后這13個(gè)數(shù)之和為N，則依此規(guī)則，下列說法錯(cuò)誤的是(　　)A．插入的第8個(gè)數(shù)為B．插入的第5個(gè)數(shù)是插入的第1個(gè)數(shù)的 倍C．M>3D．N<7題型二　等比數(shù)列的判定與證明例2 已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列{an}是等比數(shù)列；②數(shù)列{Sn＋a1}是等比數(shù)列；③a2＝2a1.注：如果選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 等比數(shù)列的三種常用判定方法(1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(2)等比中項(xiàng)法：若數(shù)列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(3)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．跟蹤訓(xùn)練2 在數(shù)列{an}中，a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.(1)證明：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 題型三　等比數(shù)列的性質(zhì)例3 (1)(2023·黃山模擬)在等比數(shù)列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的兩根，則的值為(　　)A.  B．3  C．±  D．±3(2)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且S8－2S4＝6，則a9＋a10＋a11＋a12的最小值為______．思維升華 (1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形，根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．(2)巧用性質(zhì)，減少運(yùn)算量，在解題中非常重要．跟蹤訓(xùn)練3 (1)(2023·六安模擬)在等比數(shù)列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，則a7＋a8等于(　　)A．40  B．36  C．54  D．81(2)等比數(shù)列{an}共有奇數(shù)個(gè)項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)和S奇＝255，所有偶數(shù)項(xiàng)和S偶＝－126，末項(xiàng)是192，則首項(xiàng)a1等于(　　)A．1  B．2  C．3  D．4(3)在等比數(shù)列{an}中，an>0，a1＋a2＋a3＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，則＋＋…＋的值為(　　)A．2  B．4  C．8  D．16

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