考試要求 1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)特殊函數(shù)．
知識(shí)梳理
1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念
2.數(shù)列的分類(lèi)
常用結(jié)論
1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，則an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N*)；若an最小，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2，n∈N*)．
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)是同一個(gè)概念．( )
(2)數(shù)列1,2,3與3,2,1是兩個(gè)不同的數(shù)列．( )
(3)任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．( )
(4)若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點(diǎn)．( )
教材改編題
1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝9＋12n，則在下列各數(shù)中，不是{an}的項(xiàng)的是( )
A．21 B．33 C．152 D．153
2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝n2＋n，則a2的值是( )
A．2 B．4 C．5 D．6
3．在數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21，x,55，…中，x＝________.
題型一 由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式
例1 (1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，則a10等于( )
A．128 B．256
C．512 D．1 024
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(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足Sn＝2n＋2－3，則an＝________.
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思維升華 Sn與an的關(guān)系問(wèn)題的求解思路
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，eq \r(a1)＋eq \r(a2)＋…＋eq \r(an)＝eq \f(n?n＋1?,2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( )
A．a(chǎn)n＝n B．a(chǎn)n＝n2
C．a(chǎn)n＝eq \f(n,2) D．a(chǎn)n＝eq \f(n2,2)
(2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝__________.
題型二 由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
命題點(diǎn)1 累加法
例2 設(shè)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，則eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a1)＋\f(1,a2)＋\f(1,a3)＋…＋\f(1,a2 023)))等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
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命題點(diǎn)2 累乘法
例3 在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq \f(n－1,n)an－1(n≥2，n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．
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思維升華 (1)形如an＋1－an＝f(n)的數(shù)列，利用累加法．
(2)形如eq \f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，利用an＝a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)(n≥2)即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))，則an等于( )
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
(2)已知數(shù)列a1，eq \f(a2,a1)，…，eq \f(an,an－1)，…是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則lg2an＝________.
題型三 數(shù)列的性質(zhì)
命題點(diǎn)1 數(shù)列的單調(diào)性
例4 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且?n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
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命題點(diǎn)2 數(shù)列的周期性
例5 若數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝2，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，則a2 024的值為( )
A．2 B．－3
C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
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命題點(diǎn)3 數(shù)列的最值
例6 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq \f(1,2n－15)，其最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值分別為( )
A．1，－eq \f(1,7) B．0，－eq \f(1,7)
C.eq \f(1,7)，－eq \f(1,7) D．1，－eq \f(1,11)
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思維升華 (1)解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題的方法
用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號(hào)判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列．
(2)解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法
先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．
跟蹤訓(xùn)練3 (1)觀察數(shù)列1，ln 2，sin 3,4，ln 5，sin 6,7，ln 8，sin 9，…，則該數(shù)列的第11項(xiàng)是( )
A．1 111 B．11 C．ln 11 D．sin 11
(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝eq \f(2n－19,2n－21)，n∈N*，則數(shù)列{an}前20項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別為_(kāi)_______．概念
含義
數(shù)列
按照______________排列的一列數(shù)
數(shù)列的項(xiàng)
數(shù)列中的________
通項(xiàng)公式
如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與______之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式
遞推公式
如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式
分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)
類(lèi)型
滿(mǎn)足條件
項(xiàng)數(shù)
有窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)________
無(wú)窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)________
項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系
遞增數(shù)列
an＋1________an
其中n∈N*
遞減數(shù)列
an＋1________an
常數(shù)列
an＋1＝an
擺動(dòng)數(shù)列
從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

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