1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
1.數(shù)列的定義按 排列的一列數(shù)叫作數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫作這個數(shù)列的項.
3.數(shù)列的通項公式如果數(shù)列{an}的第n項 與 之間的 可以用一個式子表示成_________，那么這個式子就叫作這個數(shù)列的通項公式.4.數(shù)列的遞推公式如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫作這個數(shù)列的遞推公式.
1.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則an＝
S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)數(shù)列1,2,3與3,2,1是兩個不同的數(shù)列.(　　)(2)數(shù)列1,0,1,0,1,0，…的通項公式只能是an＝　　　　　.(　　)(3)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.(　　)(4)若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點.(　　)
2.已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝9＋12n，則在下列各數(shù)中，不是{an}的項的是A.21 B.33 C.152 D.153
由數(shù)列的通項公式得，a1＝21，a2＝33，a12＝153.
3.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋n，那么它的通項公式an等于A.n ＋1 D.n＋1
∵a1＝S1＝1＋1＝2，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n(n≥2)，當(dāng)n＝1時，2n＝2＝a1，∴an＝2n.
4.如圖，古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).如圖中的數(shù)1,5,12,22，…稱為五邊形數(shù)，則第8個五邊形數(shù)是________.
∵5－1＝4,12－5＝7,22－12＝10，∴相鄰兩個圖形的小石子數(shù)的差值依次增加3，∴第5個五邊形數(shù)是22＋13＝35，第6個五邊形數(shù)是35＋16＝51，第7個五邊形數(shù)是51＋19＝70，第8個五邊形數(shù)是70＋22＝92.
題型一　由an與Sn的關(guān)系求通項公式
例1　(1)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若2Sn＝3an－3，則a4等于A.27 B.81 C.93 D.243
根據(jù)2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，兩式相減得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，當(dāng)n＝1時，2S1＝2a1＝3a1－3，解得a1＝3，所以數(shù)列{an}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以a4＝a1q3＝34＝81.
(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，則an＝____________.
由已知，可得當(dāng)n＝1時，a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②由①－②，得nan＝2n－2n－1＝2n－1，
an與Sn的關(guān)系問題的求解思路(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解.(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(2023·濰坊統(tǒng)考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sm＋Sn＝Sm＋n，若a1＝2，則a20等于A.2 B.4 C.20 D.40
方法一　a20＝S20－S19＝S18＋S2－(S18＋S1)＝S2－S1＝S1＝a1＝2.方法二　令m＝1，∴Sn＋S1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝S1＝2，∴an＋1＝2，∴a20＝2.
(2)(2023·深圳模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝3且當(dāng)n≥2時，2an＝Sn·Sn－1，則{an}的通項公式an＝______________________.
當(dāng)n≥2時，由2an＝Sn·Sn－1可得
又因為a1＝3，不符合上式，
題型二　由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式
所以a100－a99＝lg 100－lg 99，…a3－a2＝lg 3－lg 2，a2－a1＝lg 2－lg 1，以上99個式子累加得a100－a1＝lg 100，所以a100＝lg 100＋1＝3.
當(dāng)n＝1時，a1＝2滿足上式.
(1)形如an＋1－an＝f(n)的數(shù)列，利用累加法，即可求數(shù)列{an}的通項公式.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N＋)，則數(shù)列{an}的通項公式為__________.
由題意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，以上各式相加，得
∵當(dāng)n＝1時，a1＝1也滿足此式，
(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，(n＋1)an＋1＝2(n＋2)an，則數(shù)列{an}的通項公式為______________________.
an＝(n＋1)·2n－1(n∈N＋)
∵(n＋1)an＋1＝2(n＋2)an，
當(dāng)n＝1時，a1＝2滿足上式，∴an＝(n＋1)·2n－1(n∈N＋).
命題點1　數(shù)列的單調(diào)性例4　已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－3λn，則“λ0，即3λS23C.S21>S23>S22 D.S23>S22>S21
因為an＋an＋4＝0，所以an＋4＝－an，所以an＋8＝－an＋4＝an，所以{an}是以8為周期的周期數(shù)列，又a1＝a2＝1，a3＝a4＝2，所以a6＝－a2＝－1，a7＝－a3＝－2，所以S22－S21＝a22＝a6＝－1a2 022，故A正確；
三、填空題9.若an＝－2n2＋29n＋3，則數(shù)列{an}的最大項是第________項.
由題意得，an＝－2n2＋29n＋3，其對應(yīng)的二次函數(shù)為y＝－2x2＋29x＋3，
因為n為正整數(shù)，所以當(dāng)n＝7時，an取得最大值.
11.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，(n－1)an＝n·2nan－1(n∈N＋，n≥2)，則數(shù)列{an}的通項公式為_______________.
當(dāng)n≥2時，有(n－1)an＝n·2nan－1，
因為a1＝1，所以an＝ ，而當(dāng)n＝1時，a1＝1×20＝1，也滿足上式，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝ .
12.(2024·重慶模擬)九連環(huán)是中國的一種古老智力游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，環(huán)環(huán)相扣，以解開為勝，趣味無窮.現(xiàn)假設(shè)有n個圓環(huán)，用an表示按照某種規(guī)則解下n個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，且數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＝an－2＋2n－1(n≥3，n∈N＋)，則解開九連環(huán)最少需要移動________次.
由題意，an＝an－2＋2n－1，故a3－a1＝22，a5－a3＝24，…a2n－1－a2n－3＝22n－2，以上各式相加，可得a2n－1－a1＝22＋24＋…＋22n－2＝41＋42＋…＋4n－1，
四、解答題13.已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且滿足a1＝1，an＋1＝2 ＋1.(1)求a2的值；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.
∵an>0，∴Sn>0，
∴Sn＝n2(n≥2)，又S1＝a1＝1，滿足上式，∴Sn＝n2.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又a1＝1適合上式，∴an＝2n－1.
得(an＋1－1)2＝4Sn，當(dāng)n≥2時，(an－1)2＝4Sn－1，∴(an＋1－1)2－(an－1)2＝4(Sn－Sn－1)＝4an.
即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0.∵an>0，∴an＋1－an＝2(n≥2).a2－a1＝2，∴{an}為等差數(shù)列，且公差為2，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
14.已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，其前n項和為Sn，且滿足2Sn＝(n＋1)an(n∈N＋).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
∵2Sn＝(n＋1)an，∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，即nan＋1＝(n＋1)an，
∴an＝n(n∈N＋).
∵bn＝3n－λn2，∴bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1).∵數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列，∴2·3n－λ(2n＋1)>0，
∴{cn}為遞增數(shù)列，∴λ

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