第六章　§6.7　子數(shù)列問題-【北師大版】2025年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（課件+講義+練習(xí)）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

子數(shù)列是數(shù)列問題中的一種常見題型.將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為子數(shù)列問題一般適用于某個數(shù)列是由幾個有規(guī)律的數(shù)列組合而成的，具體求解時，要搞清楚子數(shù)列的項在原數(shù)列中的位置，以及在子數(shù)列中的位置，即項不變化，項數(shù)變化，它體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸以及分類討論、函數(shù)與方程的思想，能很好地考查學(xué)生的思維.
例1　(2023·新高考全國Ⅱ)已知{an}為等差數(shù)列，bn＝記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前n項和，S4＝32，T3＝16.(1)求{an}的通項公式；
題型一　奇數(shù)項與偶數(shù)項問題
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
則b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6，
解得a1＝5，d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n＋3，所以數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n＋3.
(2)證明：當(dāng)n>5時，Tn>Sn.
當(dāng)n為偶數(shù)時，bn－1＋bn＝2(n－1)－3＋4n＋6＝6n＋1，
因此Tn>Sn.綜上，當(dāng)n>5時，Tn>Sn.
當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)
因此Tn>Sn，當(dāng)n為奇數(shù)時，若n≥3，
顯然T1＝b1＝－1滿足上式，
因此Tn>Sn，所以當(dāng)n>5時，Tn>Sn.
數(shù)列中的奇、偶項問題的常見題型(1)數(shù)列中連續(xù)兩項和或積的問題(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；(2)含有(－1)n的類型；(3)含有{a2n}，{a2n－1}的類型.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
因為{an}是等比數(shù)列，公比q≠－1，則a4＝a1q3，a5＝a1q4，a7＝a1q6，a8＝a1q7，
解得a1＝3，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n.
(2)已知bn＝求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝－(1＋3＋…＋n－1)＋(32＋34＋…＋3n)
例2　已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝，{bn}為等比數(shù)列，公比為2，且b1，b2＋1，b3為等差數(shù)列.(1)求{an}與{bn}的通項公式；
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，當(dāng)n＝1時，上式也成立，所以an＝3n－1.依題意，b1＋b3＝2(b2＋1)，b1＋b1·22＝2(b1·2＋1)，解得b1＝2，所以bn＝2n.
(2)把數(shù)列{an}和{bn}的公共項由小到大排成的數(shù)列記為{cn}，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
數(shù)列{an}和{bn}的公共項從小到大依次為21,23,25,27，…，所以21,23,25,27，…構(gòu)成首項為2，公比為4的等比數(shù)列，所以cn＝2×4n－1，
兩個等差數(shù)列的公共項是等差數(shù)列，且公差是兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)，兩個等比數(shù)列的公共項是等比數(shù)列，公比是兩個等比數(shù)列公比的最小公倍數(shù).
跟蹤訓(xùn)練2　(2023·邵陽模擬)數(shù)列{2n－1}和數(shù)列{3n－2}的公共項從小到大構(gòu)成一個新數(shù)列{an}，數(shù)列{bn}滿足bn＝，則數(shù)列{bn}的最大項等于______.
數(shù)列{2n－1}和數(shù)列{3n－2}的公共項從小到大構(gòu)成的一個新數(shù)列為1,7,13，…，該數(shù)列是首項為1，公差為6的等差數(shù)列，
所以當(dāng)n≥2時，bn＋1－bnb3>b4>…，
例3　(2024·杭州模擬)設(shè)數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
因為an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以an＋1－an＝2an－2an－1，又a1＝1，a2＝2，所以數(shù)列{an＋1－an}為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以an＋1－an＝2n－1，所以當(dāng)n≥2，n∈N＋時，a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，an－an－1＝2n－2，
所以當(dāng)n≥2，n∈N＋時，an＝2n－1，又a1＝1也滿足上式，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1(n∈N＋).
(2)在數(shù)列{an}的任意ak與ak＋1項之間，都插入k(k∈N＋)個相同的數(shù)(－1)kk，組成數(shù)列{bn}，記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求T27的值.
則T27＝(1＋2＋22＋…＋25)＋(－12＋22－32＋42－52＋62)
對于數(shù)列的中間插項或減項構(gòu)成新數(shù)列問題，我們要把握兩點：先判斷數(shù)列之間共插入(減少)了多少項 (運用等差等比求和或者項數(shù)公式去看)，再對于題目給出的條件確定它包含了哪些項.
跟蹤訓(xùn)練3　已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n＋r，其中r為常數(shù).(1)求r的值；
因為Sn＝2n＋r，所以a1＝S1＝2＋r，a1＋a2＝S2＝4＋r，即a2＝2，a1＋a2＋a3＝S3＝8＋r，即a3＝4，
所以4＝(2＋r)×4，即r＝－1.此時Sn＝2n－1，a1＝2＋r＝1，當(dāng)n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，且a1＝1也適合該式，故an＝2n－1是等比數(shù)列，即r＝－1滿足題意.所以r＝－1.
(2)設(shè)bn＝2(1＋lg2an)，若數(shù)列{bn}中去掉與數(shù)列{an}相同的項后余下的項按原來的順序組成數(shù)列{cn}，求c1＋c2＋c3＋…＋c100的值.
bn＝2(1＋lg2an)＝2(1＋lg22n－1)＝2n，因為a1＝1，a2＝2＝b1，a3＝4＝b2，a4＝8＝b4，a5＝16＝b8，a6＝32＝b16，a7＝64＝b32，a8＝128＝b64，a9＝256＝b128.所以c1＋c2＋c3＋…＋c100＝(b1＋b2＋…＋b107)－(a2＋…＋a8)
1.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝ k∈N＋.(1)求a2，a3；設(shè)bn＝a2n－2，n∈N＋，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求其通項公式；
依題意，數(shù)列{an}滿足a1＝1，
bn＝a2n－2，a2n＝bn＋2，
bn＋1＝a2n＋2－2＝a2n＋1＋1－2
(2)求數(shù)列{an}前10項中所有奇數(shù)項的和.
2.(2023·無錫模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1＝2，公比為q(q為正整數(shù))，且滿足3a3是8a1與a5的等差中項；數(shù)列{bn}滿足2n2－(3＋bn)n＋＝0(n∈N＋).(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
由題意，可得6a3＝8a1＋a5，所以6q2＝8＋q4，解得q2＝4或q2＝2，又q為正整數(shù)，所以q＝2，又a1＝2，所以an＝2n.
(2)對每個正整數(shù)k，在ak與ak＋1之間插入bk個2，得到一個新數(shù)列{cn}.設(shè)Tn是數(shù)列{cn}的前n項和，試求T100.
因為b1＝2，所以a1與a2之間插入2個2，b2＝4，所以a2與a3之間插入4個2，b3＝6，所以a3與a4之間插入6個2，…則{cn}的前100項，由90個2及a1，a2，a3，…，a9，a10構(gòu)成，所以T100＝(a1＋a2＋…＋a10)＋2×90
3.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足2Sn－nan＝n，n∈N＋，且a2＝3.
由2Sn－nan＝n，得2Sn＋1－(n＋1)an＋1＝n＋1，將上述兩式相減，得2an＋1－(n＋1)an＋1＋nan＝1，即nan－(n－1)an＋1＝1.
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.若數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝3n－2，將數(shù)列{an}與{bn}的公共項按從小到大的順序排列得到數(shù)列{cn}，求{cn}的前n項和.
∴an＝2n－1(n≥2)，經(jīng)檢驗，當(dāng)n＝1時，an＝2n－1也適用，∴ an＝2n－1(n∈N＋)，∴數(shù)列{an}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，又?jǐn)?shù)列{bn}是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，∴這兩個數(shù)列的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列{cn}是以1為首項，6為公差的等差數(shù)列，
4.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N＋.(1)求{an}的通項公式；
由Sn＝(n－1)2n＋1＋2，得a1＝2，Sn－1＝(n－2)2n＋2(n≥2)，兩式相減得an＝n·2n(n≥2)，當(dāng)n＝1時，代入上式，求得a1＝2，所以an＝n·2n(n∈N＋).
(2)若bn＝，抽去數(shù)列{bn}中的第1項，第4項，第7項，…，第3n－2項，余下的項順序不變，組成一個新數(shù)列{cn}，求{cn}的前2 023項和T2 023.

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