?第2節(jié)　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
考試要求　1.了解平面向量基本定理及其意義；2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.


1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
2.平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，
|a|＝.
(2)向量坐標(biāo)的求法
①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
4.平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.

1.平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底，反之亦然.
2.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
3.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)系.兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)
(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底.(　　)
(2)設(shè)a，b是平面內(nèi)的一組基底，若實數(shù)λ1，μ1，λ2，μ2滿足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成＝.(　　)
(4)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
解析　(1)共線向量不可以作為基底.
(3)若b＝(0，0)，則＝無意義.
2. 若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是線段P1P2的一個三等分點(靠近點P1)，則點P的坐標(biāo)為(　　)
A.(2，2) B.(3，－1)
C.(2，2)或(3，－1) D.(2，2)或(3，1)
答案　A
解析　由題意得＝且＝(3，－3)，
設(shè)P(x，y)，則(x－1，y－3)＝(3，－3)，
所以x＝2，y＝2，則點P(2，2).
3.(2021·銀川質(zhì)檢)設(shè)向量a＝(－3，4)，向量b與向量a方向相反，且|b|＝10，則向量b的坐標(biāo)為(　　)
A. B.(－6，8)
C. D.(6，－8)
答案　D
解析　因為向量b與a方向相反，則可設(shè)b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ

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