第六章　§6.5　數(shù)列求和-【北師大版】2025年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（課件+講義+練習(xí)）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常用方法.
第一部分落實主干知識
第二部分探究核心題型
數(shù)列求和的幾種常用方法(1)公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和.①等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝＝ .
②等比數(shù)列的前n項和公式：
＝，q≠1.
(2)分組求和法與并項求和法①分組求和法若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減.②并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和.形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解.
(3)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的.(4)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比q不等于1，則其前n項和Sn＝(　　)(2)求數(shù)列{2n＋2n}的前n項和可用分組求和法.(　　)(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan時，只要把上式等號兩邊同時乘a即可根據(jù)錯位相減法求得.(　　)
4.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，則S17＝_____.
S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1×8＝9.
例1　(2023·重慶模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1(n∈N＋).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
題型一　分組求和與并項求和
因為Sn＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，又S1＋1＝a1＋1＝2，所以數(shù)列{Sn＋1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以Sn＋1＝2×2n－1＝2n，即Sn＝2n－1，當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2n－1－1，所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－1＋1＝2n－1，當(dāng)n＝1時，a1＝1成立，故an＝2n－1，n∈N＋.
(2)設(shè)bn＝anan＋1＋lg2(anan＋1)(n∈N＋)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
bn＝anan＋1＋lg2(anan＋1) ＝2n－1·2n＋lg2(2n－1·2n) ＝22n－1＋2n－1，所以數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝21＋23＋25＋…＋22n－1＋1＋3＋5＋…＋2n－1
(1)分組求和法常見題型①若數(shù)列{cn}的通項公式為cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項和.②若數(shù)列{cn}的通項公式為cn＝其中數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求{cn}的前n項和.
(2)并項求和法常見題型①數(shù)列{an}的通項公式為an＝(－1)nf(n)，求數(shù)列{an}的前n項和.②數(shù)列{an}是周期數(shù)列或ak＋ak＋1(k∈N＋)為定值，求數(shù)列{an}的前n項和.
跟蹤訓(xùn)練1　數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝an＋1－1，n∈N＋，且a1＝1.(1)求an；
因為Sn＝an＋1－1，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝a2－1，由a1＝1可得a2＝2，當(dāng)n≥2時，Sn－1＝an－1，作差得Sn－Sn－1＝an＋1－1－(an－1)，即2an＝an＋1，n≥2，
(2)設(shè)bn＝(－1)n(an－1)，求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n.
由(1)知bn＝(－1)n2n－1－(－1)n，所以b2n＝22n－1－1，b2n－1＝－22n－2＋1，所以b2n－1＋b2n＝4n－1，所以T2n＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2n－1＋b2n)
題型二　錯位相減法求和
例2　(12分)(2023·全國甲卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a2＝1，2Sn＝nan.(1)求{an}的通項公式；[切入點(diǎn)：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)找出an的遞推關(guān)系]
[思路分析](1)由an＝Sn－Sn－1(n≥2)→an與an－1的遞推關(guān)系→累乘法求an(2)求bn→錯位相減法求Tn
答題模板　規(guī)范答題不丟分
解　(1)因為2Sn＝nan，當(dāng)n＝1時，2a1＝a1，即a1＝0；(1分)當(dāng)n＝3時，2(1＋a3)＝3a3，即a3＝2，(2分)
①處利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)找an與an－1的遞推關(guān)系
當(dāng)n≥2時，2Sn－1＝(n－1)an－1，所以2Sn－2Sn－1＝nan－(n－1)an－1＝2an，化簡得(n－2)an＝(n－1)an－1，
因為a2＝1，所以an＝n－1，(5分)當(dāng)n＝1,2時都滿足上式，所以an＝n－1，n∈N＋.(6分)
(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法.(2)錯位相減法求和時，應(yīng)注意：①在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.
跟蹤訓(xùn)練2　(2023·鄭州質(zhì)檢)在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，a3＝7，且數(shù)列{an＋1－an}為等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
因為a1＝1，a2＝3，a3＝7，所以a2－a1＝2，a3－a2＝4，
所以數(shù)列{an＋1－an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＋1－an＝2n，所以當(dāng)n≥2時，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋21＋1＝2n－1，當(dāng)n＝1時上式也成立.所以an＝2n－1.
(2)令bn＝(2n－1)an，求{bn}的前n項和Sn.
因為an＝2n－1，所以bn＝(2n－1)an＝(2n－1)2n－(2n－1)，記數(shù)列{(2n－1)2n}的前n項和為Tn，則Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，兩式相減得－Tn＝1×21＋2×(22＋23＋…＋2n－1＋2n)－(2n－1)·2n＋1
所以Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6，所以Sn＝Tn－[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]
＝(2n－3)·2n＋1－n2＋6.
題型三　裂項相消法求和
裂項相消法的原則及規(guī)律(1)裂項原則一般是前面裂幾項，后面就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.(2)消項規(guī)律消項后前面剩幾項，后面就剩幾項，前面剩第幾項，后面就剩倒數(shù)第幾項.
跟蹤訓(xùn)練3　(2024·?？谀M)已知等差數(shù)列{an}，其前n項和Sn滿足Sn＝n2＋m，m為常數(shù).(1)求m及{an}的通項公式；
由題意，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝m＋1，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋m－(n－1)2－m＝2n－1，則a2＝3，a3＝5，因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a1＋a3＝2a2，即m＋1＋5＝2×3，解得m＝0，則a1＝1，滿足an＝2n－1，所以{an}的通項公式為an＝2n－1(n∈N＋).
由(1)可得Sn＝n2，
1.已知等差數(shù)列{an}的首項為1，且an>0，________.在①S11＝66；②a3，a9，9a3成等比數(shù)列；③Sn－nan＝，其中Sn是數(shù)列{an}的前n項和這三個條件中選擇一個，補(bǔ)充在橫線上，并進(jìn)行解答.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
若選擇①：設(shè){an}的公差為d，
解得d＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝n.若選擇②：因為a3，a9,9a3成等比數(shù)列，
又an>0，所以a9＝3a3，又a1＝1，設(shè){an}的公差為d (d>0)，所以1＋8d＝3(1＋2d)，解得d＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝n.
若選擇③：設(shè){an}的公差為d，
所以an＝a1＋(n－1)d＝n.
(2)若bn＝＋2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
由(1)知bn＝＋2an＝3n＋2n.所以Tn＝(3＋2)＋(32＋4)＋…＋(3n＋2n)，所以Tn＝3＋32＋…＋3n＋2＋4＋…＋2n，
2.(2024·棗莊模擬)已知數(shù)列{an}的首項a1＝3，且滿足an＋1＋2an＝2n＋2.(1)證明：數(shù)列{an－2n}為等比數(shù)列；
由an＋1＋2an＝2n＋2可得an＋1－2n＋1＝2n＋1－2an＝－2(an－2n).又a1－21＝1≠0，所以數(shù)列{an－2n}是以1為首項，－2為公比的等比數(shù)列.
由(1)可得an－2n＝(－2)n－1，即an＝2n＋(－2)n－1.當(dāng)n為奇數(shù)時，bn＝an＝2n＋(－2)n－1＝3×2n－1；當(dāng)n為偶數(shù)時，bn＝lg2an＝lg2[2n＋(－2)n－1]＝lg22n－1＝n－1.所以T10＝(b1＋b3＋b5＋b7＋b9)＋(b2＋b4＋b6＋b8＋b10)＝(3＋3×22＋3×24＋3×26＋3×28)＋(1＋3＋5＋7＋9)
3.(2023·遂寧模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2Sn＝3an－1.(1)求{an}的通項公式；
由已知得2Sn＝3an－1，①當(dāng)n＝1時，2S1＝3a1－1，即2a1＝3a1－1，解得a1＝1，當(dāng)n≥2時，2Sn－1＝3an－1－1，②①－②得2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1，所以數(shù)列{an}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以an＝3n－1.
4.(2023·邢臺模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝2n＋1－2，等差數(shù)列{bn}滿足b2＝a2＋2，b3＝S2＋3.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝22－2＝2，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2)＝2n，當(dāng)n＝1時，上式也成立，所以an＝2n.由題意得b2＝a2＋2＝22＋2＝6，b3＝2＋4＋3＝9，設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，則d＝b3－b2＝3，b1＝b2－d＝3，故bn＝b1＋(n－1)d＝3n.綜上，an＝2n，bn＝3n.
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn.
由(1)知anbn＝3n·2n，所以Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＋anbn＝3×21＋6×22＋9×23＋…＋3(n－1)·2n－1＋3n·2n，①2Tn＝3×22＋6×23＋9×24＋…＋3(n－1)·2n＋3n·2n＋1，②
所以Tn＝(3n－3)·2n＋1＋6.
所以an＝2n(n＋1)，n≥2，a1＝4也滿足an＝2n(n＋1)，故an＝2n(n＋1)(n∈N＋).
6.(2024·洛陽模擬)已知數(shù)列{an}滿足數(shù)列{an＋1－an}為等比數(shù)列，a1＝1，a2＝2，且對任意的n∈N＋，an＋2＝λan＋1－2an(λ≠1).(1)求實數(shù)λ的值及{an}的通項公式；
設(shè){an＋1－an}的公比為q.∵an＋2＝λan＋1－2an，
又a2－a1＝1，∴an＋1－an＝2n－1.
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
當(dāng)n＝1時，符合上式，∴{an}的通項公式為an＝2n－1.
(2)當(dāng)n∈[ak，ak＋1)時，bn＝k(k∈N＋)，求數(shù)列{bn}的前2n項和.
當(dāng)bm＝k＝1時，m∈[1,2)，共2－1＝1項，當(dāng)bm＝k＝2時，m∈[2,4)，共4－2＝2項，當(dāng)bm＝k＝3時，m∈[4,8)，共8－4＝4項，…當(dāng)bm＝k＝n時，m∈[2n－1，2n)，共2n－2n－1＝2n－1項，又＝n＋1，∴{bn}的前2n項和為1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1＋n＋1.記Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1，

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