?第3節(jié)　用樣本估計(jì)總體
考試要求　1.了解分布的意義和作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn)；2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差；3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并作出合理的解釋；4.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想；5.會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.


1.頻率分布直方圖
(1)頻率分布表的畫法：
第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝；
第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；
第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表.
(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)

橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示，每個(gè)小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的頻率.
2.莖葉圖
統(tǒng)計(jì)中一種被用來(lái)表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù).
3.樣本的數(shù)字特征
(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
(2)中位數(shù)：把n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
(3)平均數(shù)：把稱為a1，a2，…，an這n個(gè)數(shù)的平均數(shù).
(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是
s＝，
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].

1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系
(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).
(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的.
(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.
2.平均數(shù)、方差的公式推廣
(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是m＋a.
(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.
①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；
②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).(　　)
(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)越集中.(　　)
(3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大.(　　)
(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
解析　(2)錯(cuò)誤.方差越大，這組數(shù)據(jù)越離散.
(4)錯(cuò)誤.在莖葉圖中，相同的數(shù)據(jù)葉要重復(fù)記錄，故(4)錯(cuò)誤.
2.(2021·天津卷)從某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計(jì)其評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得400個(gè)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)分為8組：[66，70)，[70，74)，…，[94，98]，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評(píng)分在區(qū)間[82，86)內(nèi)的影視作品數(shù)量是(　　)

A.20 B.40 C.64 D.80
答案　D
解析　由頻率分布直方圖可知，評(píng)分在區(qū)間[82，86)內(nèi)的影視作品數(shù)量為400×0.05×4＝80.
3.若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分莖葉圖如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是(　　)

A.91.5和91.5 B.91.5和92
C.91和91.5 D.92和92
答案　A
解析　這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87，89，90，91，92，93，94，96，
∴中位數(shù)是＝91.5，
平均數(shù)＝
＝91.5.
4.(易錯(cuò)題)已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖，則眾數(shù)是________，平均數(shù)是________.

答案　65　67
解析　因?yàn)樽罡咝￠L(zhǎng)方形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為65，
所以眾數(shù)為65；
平均數(shù)＝(55×0.030＋65×0.040＋75×0.015＋85×0.010＋95×0.005)×10＝67.
5.(2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷改編)下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的所有正確編號(hào)有________.
①樣本x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差；
②樣本x1，x2，…，xn的中位數(shù)；
③樣本x1，x2，…，xn的極差；
④樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù).
答案?、佗?br /> 解析　由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).故①③正確.
6.(易錯(cuò)題)若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)＝5，方差s2＝2，則數(shù)據(jù)3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的平均數(shù)和方差分別為________.
答案　16，18
解析　∵x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為5，
∴3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的平均數(shù)是3×5＋1＝16，
∵x1，x2，x3，…，xn的方差為2，
∴3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.

考點(diǎn)一　頻率分布直方圖
例1 某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分，得到A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表.
A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖

圖①
B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表
滿意度評(píng)分分組
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
頻數(shù)
2
8
14
10
6
(1)在圖②中作出B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可)；
B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖

圖②
(2)根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶和滿意度分為三個(gè)等級(jí)：
滿意度評(píng)分
低于70分
70分到89分
不低于90分
滿意度等級(jí)
不滿意
滿意
非常滿意
估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大？說(shuō)明理由.
解　(1)作出頻率分布直方圖如圖：

通過兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散.
(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.
記CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”；
CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”.
由直方圖得P(CA)的估計(jì)值為
(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，
P(CB)的估計(jì)值為(0.005＋0.02)×10＝0.25.
所以A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.
感悟提升　1.頻率分布直方圖的性質(zhì).
(1)小長(zhǎng)方形的面積＝組距×＝頻率；
(2)各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1；
(3)小長(zhǎng)方形的高＝.
2.要理解并記準(zhǔn)頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的關(guān)系.
訓(xùn)練1 (2021·江西省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體于2021年進(jìn)行了一次校際數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過評(píng)判，這100名參賽者的得分都在[40，90]之間，其得分的頻率分布直方圖如圖，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　)

A.得分在[40，60)之間的共有40人
B.從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在[60，80)的概率為0.5
C.這100名參賽者得分的中位數(shù)為65
D.可求得a＝0.005
答案　C
解析　對(duì)于A，得分在[40，60)之間的有100×[1－(0.030＋0.020＋0.010)×10]＝40(人)，故A正確；
對(duì)于B，從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在[60，80)的概率為(0.030＋0.020)×10＝0.5，故B正確；
對(duì)于D，由(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，故D正確；
對(duì)于C，得分在[40，60)的頻率為(0.005＋0.035)×10＝0.4，
得分在[60，70)的頻率為0.030×10＝0.3，
∴這100名參賽者得分的中位數(shù)為60＋×10≈63.3，故C錯(cuò)誤.
　考點(diǎn)二　統(tǒng)計(jì)圖表及應(yīng)用
角度1　扇形圖
例2 (2022·鄭州模擬)某高中為了解學(xué)生課外知識(shí)的積累情況，隨機(jī)抽取200名同學(xué)參加課外知識(shí)測(cè)試，測(cè)試共5題道，每答對(duì)一題得20分，答錯(cuò)得0分.已知每名同學(xué)至少能答對(duì)2道題，得分不少于60分記為及格，不少于80分記為優(yōu)秀，測(cè)試成績(jī)百分比分布圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是(　　)

A.該次課外知識(shí)測(cè)試及格率為90%
B.該次課外知識(shí)測(cè)試得滿分的同學(xué)有30名
C.該次測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)大于測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)
D.若該校共有3 000名學(xué)生，則課外知識(shí)測(cè)試成績(jī)能得優(yōu)秀的同學(xué)大約有1 440名
答案　C
解析　由題圖可知及格率為1－8%＝92%，故A錯(cuò)誤.
該次課外知識(shí)測(cè)試得滿分同學(xué)占的百分比為1－8%－32%－48%＝12%，則得滿分的同學(xué)有12%×200＝24(名)，故B錯(cuò)誤.
中位數(shù)為80分，平均數(shù)為40×8%＋60×32%＋80×48%＋100×12%＝72.8分，故C正確.
3 000×(48%＋12%)＝1 800(名)，故D錯(cuò)誤.
角度2　折線圖
例3 (2021·昆明診斷)“搜索指數(shù)”是網(wǎng)民通過搜索引擎，以每天搜索關(guān)鍵詞的次數(shù)為基礎(chǔ)所得到的統(tǒng)計(jì)指標(biāo).搜索指數(shù)越大，表示網(wǎng)民搜索該關(guān)鍵詞的次數(shù)越多，對(duì)該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度也越高.如圖是2019年9月到2020年2月這半年來(lái)某個(gè)關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)變化的統(tǒng)計(jì)圖.

根據(jù)該統(tǒng)計(jì)圖判斷，下列結(jié)論正確的是(　　)
A.這半年來(lái)，網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度呈周期性變化
B.這半年來(lái)，網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度不斷減弱
C.從該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來(lái)看，2019年10月的方差小于11月的方差
D.從該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來(lái)看，2019年12月的平均值大于2020年1月的平均值
答案　D
解析　由統(tǒng)計(jì)圖可知，這半年來(lái)，該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)變化的周期性并不顯著，排除A；由統(tǒng)計(jì)圖可知，這半年來(lái)，該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)的整體減弱趨勢(shì)不顯著，排除B；由統(tǒng)計(jì)圖可知，2019年10月該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)波動(dòng)較大，11月的波動(dòng)較小，所以2019年10月的方差大于11月的方差，排除C；由統(tǒng)計(jì)圖可知，2019年12月該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)大多高于10 000，該月平均值大于10 000，2020年1月該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)大多低于10 000，該月平均值小于10 000，選D.
角度3　莖葉圖
例4 (2022·西安模擬)中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主辦，是全國(guó)中學(xué)生級(jí)別最高、規(guī)模最大、最具影響力的數(shù)學(xué)競(jìng)賽.某重點(diǎn)高中為參加中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克做準(zhǔn)備，對(duì)該校數(shù)學(xué)集訓(xùn)隊(duì)進(jìn)行一次選拔賽，所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，則該集訓(xùn)隊(duì)考試成績(jī)的眾數(shù)與中位數(shù)分別為(　　)

A.85，75 B.85，76
C.74，76 D.75，77
答案　B
解析　由莖葉圖知，出現(xiàn)的數(shù)據(jù)最多的是85，故眾數(shù)為85；
由于數(shù)據(jù)總數(shù)為14個(gè)，故中位數(shù)為排序后第七個(gè)和第八個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即＝76，故選B.
感悟提升　1.通過扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚的表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.
2.折線圖可以顯示隨時(shí)間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢(shì).
3.莖葉圖的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一.
(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏.
(3)給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，估計(jì)數(shù)字特征，莖上的數(shù)字由小到大排列，一般“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小.
訓(xùn)練2 (1)由于受疫情的影響，學(xué)校停課，同學(xué)們通過三種方式在家自主學(xué)習(xí)，現(xiàn)學(xué)校想了解同學(xué)們對(duì)假期學(xué)習(xí)方式的滿意程度，收集如圖1所示的數(shù)據(jù)；教務(wù)處通過分層抽樣的方法抽取4%的同學(xué)進(jìn)行滿意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)

A.樣本容量為240
B.若m＝50，則本次自主學(xué)習(xí)學(xué)生的滿意度不低于四成
C.總體中對(duì)方式二滿意的學(xué)生約為300人
D.樣本中對(duì)方式一滿意的學(xué)生為24人
(2)(2022·南昌測(cè)試)愛美之心，人皆有之，健身減肥已成為很多肥胖者業(yè)余選擇的項(xiàng)目.為了了解運(yùn)動(dòng)健身減肥的效果，某健身房調(diào)查了40名肥胖者，健身之前他們的體重(單位：kg)情況如柱狀圖1所示，經(jīng)過四個(gè)月的健身后，他們的體重情況如柱狀圖2所示，對(duì)比健身前后，關(guān)于這40名肥胖者，下面結(jié)論不正確的是(　　)


A.他們健身后，體重在區(qū)間[90，100)內(nèi)的人數(shù)增加了4
B.他們健身后，體重在區(qū)間[100，110)內(nèi)的人數(shù)沒有改變
C.因?yàn)榻∩砬昂篌w重在區(qū)間[100，110)內(nèi)的人數(shù)所占的比例沒有發(fā)生變化，所以健身對(duì)體重沒有任何影響
D.他們健身后，原來(lái)體重在區(qū)間[110，120)內(nèi)的肥胖者的體重都有減少
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)選項(xiàng)A，樣本容量為6 000×4%＝240，該選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)B，根據(jù)題意得自主學(xué)習(xí)的滿意率為≈0.358s，
∴甲更穩(wěn)定，故最佳人選應(yīng)是甲.
感悟提升　1.平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，而方差、標(biāo)準(zhǔn)差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.
2.用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來(lái)描述總體的數(shù)字特征.
訓(xùn)練3 (1)(2020·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為(　　)
A.0.01 B.0.1 C.1 D.10
(2)(2022·成都診斷)構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系是我國(guó)教育一直以來(lái)努力的方向.某中學(xué)積極響應(yīng)黨的號(hào)召，開展各項(xiàng)有益于德智體美勞全面發(fā)展的活動(dòng).如圖所示的是該校高三(1)(2)班兩個(gè)班級(jí)在某次活動(dòng)中的德智體美勞的評(píng)價(jià)得分對(duì)照?qǐng)D(得分越高，說(shuō)明該項(xiàng)教育越好).下列說(shuō)法正確的是(　　)

A.高三(2)班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的極差為1.5
B.除體育外，高三(1)班的各項(xiàng)評(píng)價(jià)得分均高于高三(2)班對(duì)應(yīng)的得分
C.高三(1)班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的平均數(shù)比高三(2)班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的平均數(shù)要高
D.各項(xiàng)評(píng)價(jià)得分中，這兩班的體育得分相差最大
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)10x1，10x2，…，10xn的方差為102×0.01＝1.故選C.
(2)高三(2)班德智體美勞各項(xiàng)得分依次為9.5，9，9.5，9，8.5，
所以極差為9.5－8.5＝1，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，兩班的德育分相等，B錯(cuò)誤；
對(duì)于D，兩班的勞育得分相差最大，D錯(cuò)誤.故選C.


1.一個(gè)容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25，則該組樣本的頻數(shù)為(　　)
A.4 B.8 C.12 D.16
答案　B
解析　設(shè)頻數(shù)為n，則＝0.25，
∴n＝32×0.25＝8.
2.(2021·洛陽(yáng)模擬)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示.為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為(　　)

A.200，20 B.100，20
C.200，10 D.100，10
答案　A
解析　由圖①得樣本容量為(3 500＋2 000＋4 500)×2%＝10 000×2%＝200，
抽取的高中生人數(shù)為2 000×2%＝40(人)，
則近視人數(shù)為40×0.5＝20(人)，故選A.
3.從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高(單位：厘米)分布情況匯總?cè)缦拢?br /> 身高
[100，110]
(110，120]
(120，130]
(130，140]
(140，150]
頻數(shù)
5
35
30
20
10
由此表估計(jì)這100名小學(xué)生身高的中位數(shù)為(結(jié)果保留4位有效數(shù)字)(　　)
A.119.3 B.119.7 C.123.3 D.126.7
答案　C
解析　由題意知身高在[100，110]，(110，120]，(120，130]的頻率依次為0.05，0.35，0.3，前兩組頻率和為0.4，組距為10，設(shè)中位數(shù)為x，則(x－120)×＝0.1，解得x≈123.3.故選C.
4.(2021·貴陽(yáng)診斷)如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員9場(chǎng)比賽所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)

A.甲所得分?jǐn)?shù)的極差為22
B.乙所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為18
C.兩人所得分?jǐn)?shù)的眾數(shù)相等
D.甲所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)低于乙所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)
答案　D
解析　甲所得分?jǐn)?shù)的極差為33－11＝22，A正確；
乙所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為18，B正確；
甲所得分?jǐn)?shù)的眾數(shù)為22，乙所得分?jǐn)?shù)的眾數(shù)為22，C正確，故選D.
5.某運(yùn)動(dòng)健康A(chǔ)pp可以記錄跑步(里程數(shù))或行走情況(步數(shù))，用戶通過該App可查看自己某時(shí)間段的運(yùn)動(dòng)情況.某人根據(jù)2022年1月至2022年11月期間每月跑步的里程(單位：十公里)的數(shù)據(jù)繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論不正確的是(　　)

A.月跑步里程逐月增加
B.月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月
C.月跑步里程的中位數(shù)為5月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)
D.相對(duì)6月至11月，1月至5月的月跑步里程波動(dòng)性更小、變化比較平穩(wěn)
答案　A
解析　由折線圖可知，月跑步里程并不是逐月增加，A錯(cuò)誤；月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月，B正確；月跑步里程的中位數(shù)為5月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)，C正確；相對(duì)6月至11月，1月至5月的月跑步里程波動(dòng)性更小、變化比較平穩(wěn)，D正確.
6.(2022·銀川質(zhì)檢)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)組成的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了一次小組競(jìng)賽，共測(cè)試了5道題，每位同學(xué)各題得分情況如下表所示：
題目
學(xué)生　　
第1題
第2題
第3題
第4題
第5題
甲
10
10
10
20
0
乙
10
10
5
15
10
丙
10
10
15
15
10
丁
0
10
10
20
20
下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.甲的平均得分比丙的平均得分高
B.乙的得分極差比丁的得分極差大
C.對(duì)于這4位同學(xué)，因?yàn)榈?題的平均得分比第2題的平均得分高，所以第4題相關(guān)知識(shí)一定比第2題相關(guān)知識(shí)掌握的好
D.對(duì)于這4位同學(xué)，第3題得分的方差比第5題得分的方差小
答案　D
解析　選項(xiàng)A中，甲的平均得分為＝10，丙的平均得分為＝12，故甲的平均得分比丙的平均得分低，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B中，乙的得分極差為15－5＝10，丁的得分極差為20－0＝20，故乙的得分極差比丁的得分極差小，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C中，不清楚兩題的具體分值是否相同，所以不能通過平均分判斷這4位同學(xué)第4題相關(guān)知識(shí)一定比第2題相關(guān)知識(shí)掌握的好，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D中，第3題得分的平均分為＝10，
故方差為

＝12.5，
第5題得分的平均分為＝10，
故方差為

＝50，
所以對(duì)于這4位同學(xué)，第3題得分的方差比第5題得分的方差小.
7.我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為________.
答案　0.98
解析　經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為
＝＝0.98.
8.某班的全體學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是____________.

答案　50
解析　由頻率分布直方圖，知低于60分的頻率為(0.010＋0.005)×20＝0.3.
∴該班學(xué)生人數(shù)n＝＝50.
9.若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為________.
答案　16
解析　依題意，x1，x2，x3，…，x10的方差s2＝64.則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差為22s2＝22×64，所以其標(biāo)準(zhǔn)差為＝2×8＝16.
10.(2022·哈爾濱調(diào)研節(jié)選改編)某城市交通部門為了對(duì)該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了100人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問卷調(diào)查，并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評(píng)分值(百分制)按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求圖中x的值；
(2)估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù).
解　(1)由頻率分布直方圖得
(0.005＋x＋0.035＋0.030＋0.010)×10＝1，解得x＝0.020.
(2)因?yàn)樽罡咝￠L(zhǎng)方形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為75，
所以估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75.
估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
＝55×0.005×10＋65×0.020×10＋75×0.035×10＋85×0.030×10＋95×0.010×10＝77.
滿意度評(píng)分值在[50，70)內(nèi)的頻率為(0.005＋0.020)×10＝0.25，滿意度評(píng)分值在[70，80)內(nèi)的頻率為0.035×10＝0.35，
∴中位數(shù)為70＋×10＝.
11.(2021·全國(guó)乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：
舊設(shè)備
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新設(shè)備
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為s和s.
(1)求，，s，s；
(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果－≥2，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).
解　(1)由表格中的數(shù)據(jù)易得：
＝＋10.0＝10.0，
＝＋10.0＝10.3，
s＝×[(9.7－10.0)2＋2×(9.8－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋2×(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036，
s＝×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.6－10.3)2]＝0.04.
(2)由(1)中數(shù)據(jù)可得－＝10.3－10.0＝0.3，
而2＝＝，
顯然有－>2成立，
所以認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

12.(2021·綿陽(yáng)診斷)對(duì)全班45名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到平均數(shù)為80，方差為25，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)收集時(shí)有兩個(gè)錯(cuò)誤，其中一個(gè)95分記錄成了75分，另一個(gè)60分記錄成了80分.糾正數(shù)據(jù)后重新計(jì)算，得到平均數(shù)為，方差為s2，則(　　)
A.＝80，s225 D.25.
13.已知樣本容量為200，在樣本的頻率分布直方圖中，共有n個(gè)小矩形，若中間一個(gè)小矩形的面積等于其余(n－1)個(gè)小矩形面積和的，則該組的頻數(shù)為________.
答案　50
解析　設(shè)除中間一個(gè)小矩形外的(n－1)個(gè)小矩形面積的和為p，
則中間一個(gè)小矩形面積為p，p＋p＝1，p＝，
則中間一個(gè)小矩形的面積等于p＝，200×＝50，即該組的頻數(shù)為50.
14.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：
質(zhì)量指
標(biāo)值分組
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125]
頻數(shù)
6
26
38
22
8
(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；
(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%的規(guī)定？
解　(1)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示：


(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為
＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為
s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計(jì)值為100，方差的估計(jì)值為104.
(3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計(jì)值為0.38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于該估計(jì)值小于0.8，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定.

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