1.通過生活中的實例，理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義.2.掌握等比數(shù)列前n項和公式，理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系.3.能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.4.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
1.等比數(shù)列有關(guān)的概念(1)如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比值都是 ，那么稱這樣的數(shù)列為等比數(shù)列，稱這個常數(shù)為等比數(shù)列的 ，通常用字母 表示(q≠0).(2)等比中項：如果在a與b之間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么稱 為a與b的等比中項，此時，G2＝ab.
2.等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：an＝ .(2)前n項和公式：Sn＝________________________________
a1qn－1(a1≠0，q≠0)
3.等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)若m＋n＝p＋q，則 ，其中m，n，p，q∈N＋.特別地，若2w＝m＋n，則 ，其中m，n，w∈N＋.(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為 (k，m∈N＋).(3)若數(shù)列{an}，{bn}是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列{ban}，{pan·qbn}和 也是等比數(shù)列(b，p，q≠0).
4.等比數(shù)列前n項和的常用性質(zhì)若等比數(shù)列{an}的公比q≠－1, 前n項和為Sn，則Sn， ，________仍成等比數(shù)列，其公比為qn.
1.等比數(shù)列{an}的通項公式可以寫成an＝cqn，這里c≠0，q≠0.2.等比數(shù)列{an}的前n項和Sn可以寫成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0).3.設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和.(1)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)等比數(shù)列的公比q是一個常數(shù)，它可以是任意實數(shù).(　　)(2)三個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2＝ac.(　　)(3)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列.(　　)(4)對有窮等比數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積.(　　)
2.設(shè)a，b，c，d是非零實數(shù)，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
若a，b，c，d成等比數(shù)列，則ad＝bc，數(shù)列－1，－1,1,1滿足－1×1＝－1×1，但數(shù)列－1，－1，1,1不是等比數(shù)列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的必要不充分條件.
由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q－2＋q－1＋1)，得q－2＋q－1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，
4.數(shù)列{an}的通項公式是an＝an(a≠0)，則其前n項和為Sn＝______________________.
因為a≠0，an＝an，所以{an}是以a為首項，a為公比的等比數(shù)列.當(dāng)a＝1時，Sn＝n；
例1　(1)(2023·全國甲卷)設(shè)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，則S4等于
題型一　等比數(shù)列基本量的運算
方法一　若該數(shù)列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1.
化簡得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1或q2＝4，因為此數(shù)列各項均為正數(shù)，
方法二　由題知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由題知q>0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.
(2)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若a5－a3＝12，a6－a4＝24，則 等于A.2n－1 B.2－21－nC.2－2n－1 D.21－n－1
方法一　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，易知q≠1，
方法二　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，易知q≠1，
等比數(shù)列基本量的運算的解題策略(1)等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求解.(2)解方程組時常常利用“作商”消元法.(3)運用等比數(shù)列的前n項和公式時，一定要討論公比q＝1的情形，否則會漏解或增解.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(2023·天津)已知{an}為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，an＋1＝2Sn＋2，則a4的值為A.3　　　B.18　　　C.54　　　D.152
由題意可得，當(dāng)n＝1時，a2＝2a1＋2，即a1q＝2a1＋2，①當(dāng)n＝2時，a3＝2(a1＋a2)＋2，即a1q2＝2(a1＋a1q)＋2，②
(2)(2023·青島模擬)云岡石窟，古稱為武州山大石窟寺，是世界文化遺產(chǎn).若某一石窟的某處“浮雕像”共7層，每一層的“浮雕像”個數(shù)是其下一層的2倍，共有1 016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上每一層的“浮雕像”的個數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，則lg2(a3a5)的值為A.8　　　B.10　　　C.12　　　D.16
從最下層往上每一層的“浮雕像”的個數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，則{an}是以2為公比的等比數(shù)列，
解得a1＝8，∴an＝8×2n－1，∴l(xiāng)g2(a3a5)＝lg2(8×22×8×24)＝12.
例2　(2023·長沙模擬)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝2，a2＝－1，且an＋2＋an＋1－6an＝0(n∈N＋).(1)證明：{an＋1＋3an}為等比數(shù)列；
題型二　等比數(shù)列的判定與證明
由an＋2＋an＋1－6an＝0，可得an＋2＋3an＋1＝2(an＋1＋3an)，
∴{an＋1＋3an}是以a2＋3a1＝5為首項，2為公比的等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列{an}的通項公式an及前n項和Sn.
由(1)可知an＋1＋3an＝5·2n－1(n∈N＋)，∴an＋1－2n＝－3(an－2n－1)，
∴{an－2n－1}是以a1－20＝1為首項，－3為公比的等比數(shù)列，∴an－2n－1＝1×(－3)n－1，∴an＝2n－1＋(－3)n－1，
等比數(shù)列的四種常用判定方法(1)定義法：若 ＝q(q為非零常數(shù)，且n≥2，n∈N＋)，則{an}是等比數(shù)列.(2)等比中項法：若在數(shù)列{an}中，an≠0且 ＝anan＋2(n∈N＋)，則{an}是等比數(shù)列.(3)通項公式法：若數(shù)列{an}的通項公式可寫成an＝cqn－1(c，q均為非零常數(shù)，n∈N＋)，則{an}是等比數(shù)列.(4)前n項和公式法：若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝kqn－k(k為常數(shù)，且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列.
跟蹤訓(xùn)練2　(2024·濰坊模擬)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝3，b1＝2，an＋1＝an＋2bn，bn＋1＝2an＋bn.(1)證明：{an＋bn}和{an－bn}都是等比數(shù)列；
因為an＋1＝an＋2bn，bn＋1＝2an＋bn，所以an＋1＋bn＋1＝3(an＋bn)，an＋1－bn＋1＝－(an－bn)，又由a1＝3，b1＝2得a1－b1＝1，a1＋b1＝5，所以數(shù)列{an＋bn}是首項為5，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列{an－bn}是首項為1，公比為－1的等比數(shù)列.
(2)求{anbn}的前n項和Sn.
由(1)得an＋bn＝5×3n－1，an－bn＝(－1)n－1，
命題點1　項的性質(zhì)例3　(1)(2023·全國乙卷)已知{an}為等比數(shù)列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，則a7＝________.
題型三　等比數(shù)列的性質(zhì)
方法一　{an}為等比數(shù)列，∴a4a5＝a3a6，∴a2＝1，又a2a9a10＝a7a7a7，∴1×(－8)＝(a7)3，∴a7＝－2.
方法二　設(shè){an}的公比為q(q≠0)，則a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，顯然an≠0，則a4＝q2，即a1q3＝q2，則a1q＝1，∵a9a10＝－8，則a1q8·a1q9＝－8，則q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，則q5＝－2，則a7＝a1q·q5＝q5＝－2.
下標(biāo)和相等的等差(比)性質(zhì)的推廣(1)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且m1＋m2＋…＋mn＝k1＋k2＋…＋kn，則 ·…· ＝ ·…· .(2)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且m1＋m2＋…＋mn＝k1＋k2＋…＋kn，則 ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ .
典例　已知等差數(shù)列{an}，Sn為前n項和，且a9＝5，S8＝16，則S11＝______.
又∵a9＋a1＋a8＝3a6，∴a6＝3，故S11＝11a6＝33.
(2)已知數(shù)列{an}滿足lg2an＋1＝1＋lg2an(n∈N＋)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，則lg2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.
因為lg2an＋1＝1＋lg2an，可得lg2an＋1＝lg2(2an)，所以an＋1＝2an，所以數(shù)列{an}是以a1為首項，2為公比的等比數(shù)列，又a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)×2100＝2100，所以lg2(a101＋a102＋…＋a110)＝lg22100＝100.
命題點2　和的性質(zhì)例4　(1)已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為－240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比q＝______.
(2)已知Sn是正項等比數(shù)列{an}的前n項和，S10＝20，則S30－2S20＋S10的最小值為________.
依題意，S10，S20－S10，S30－S20成等比數(shù)列，且S10＝20，不妨令其公比為q(q>0)，則S20－S10＝20q，S30－S20＝20q2，
(1)在解決與等比數(shù)列有關(guān)的問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是“若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq”，可以減少運算量，提高解題速度.(2)在應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當(dāng)變形.此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運用.
(2)(2023·長春統(tǒng)考)在等比數(shù)列{an}中，q＝ ，S100＝150，則a2＋a4＋a6＋…＋a100的值是________.
設(shè)T1＝a1＋a3＋a5＋…＋a99，T2＝a2＋a4＋a6＋…＋a100，
所以S100＝T1＋T2＝2T2＋T2＝3T2＝150，所以T2＝a2＋a4＋a6＋…＋a100＝50.
設(shè)1，b2，b3，b4，4的公比為q，
3.(2023·濟寧模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項和.若Sn＝126，則n等于A.5　　　B.6　　　C.7　　　D.8
∵a1＝2，an＋1＝2an，∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.又Sn＝126，
由{an}為等比數(shù)列，得a2a6＝a3a5＝6，又a3＋a5＝5，∴a3，a5為方程x2－5x＋6＝0的兩個根，解得a3＝2，a5＝3或a3＝3，a5＝2，由{an}為遞減數(shù)列得an>an＋1，∴a3＝3，a5＝2，
5.(2024·揭陽模擬)在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”.其大意是有人要去某關(guān)口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此人后三天所走的里程數(shù)為A.6　　　B.12　　　C.18　　　D.42
設(shè)第n(n∈N＋)天走an里，其中1≤n≤6，
6.(2023·新高考全國Ⅱ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若S4＝－5，S6＝21S2，則S8等于A.120　　　B.85　　　C.－85　　　D.－120
方法一　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，首項為a1，若q＝1，則S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，不符合題意，所以q≠1.由S4＝－5，S6＝21S2，
由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，
方法二　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否則S4＝0，從而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比數(shù)列，所以(－5－S2)2＝S2(21S2＋5)，
當(dāng)S2＝－1時，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即為－1，－4，－16，S8＋21，易知S8＋21＝－64，即S8＝－85；
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2>0，與S4＝－5矛盾，舍去.綜上，S8＝－85.
二、多項選擇題7.(2023·太原模擬)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，以下結(jié)論正確的是A. 是等比數(shù)列B.若a3＝2, a7＝32，則a5＝±8C.若a1an，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，故C正確；
8.記等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，前n項積為Tn，且滿足a1>1，a2 022>1，a2 023

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