數(shù)列的綜合運(yùn)算問(wèn)題以及數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識(shí)的交匯問(wèn)題，是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.一般圍繞等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)命題，涉及數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等.
例1　已知公差不為0的等差數(shù)列{an}滿足a2＝6，a1，a3，a7成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
題型一　等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合運(yùn)算
根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，由于a2＝6，a1，a3，a7成等比數(shù)列，
(2)設(shè)bn＝n· ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
由bn＝n·22n＝n·4n，則Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)·4n－1＋n·4n，①4Sn＝1×42＋2×43＋3×44＋…＋(n－1)·4n＋n·4n＋1，②
數(shù)列的綜合運(yùn)算問(wèn)題常將等差、等比數(shù)列結(jié)合，兩者相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，解答這類問(wèn)題的方法：尋找通項(xiàng)公式，利用性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
跟蹤訓(xùn)練1　(2024·無(wú)錫模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差d≠0，a3是a1，a13的等比中項(xiàng)，S5＝25.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)若數(shù)列{bn}滿足b1＝－1，bn＋bn＋1＝Sn，求b20.
bn＋1＋bn＋2＝(n＋1)2，②②－①得，bn＋2－bn＝2n＋1，∵b1＝－1，∴b2＝2.∴b20＝b20－b18＋b18－b16＋…＋b4－b2＋b2＝37＋33＋29＋…＋5＋2
題型二　數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題
命題點(diǎn)1　數(shù)列與不等式的交匯例2　(1)(2022·全國(guó)乙卷)嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星.為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列{bn}：b1＝1＋ ，b2＝1＋ ，b3＝1＋ ，…，依此類推，其中αk∈N＋(k＝1,2，…).則A.b1b5>b7>…，故A不正確；
同理可得b40時(shí)，f(x)>0; 當(dāng)x0.再根據(jù)a1＋a2 023＝2a1 012>0，所以a1>－a2 023，
則f(a1)>f(－a2 023)＝－f(a2 023)，所以f(a1)＋f(a2 023)>0.同理可得f(a2)＋f(a2 022)>0，f(a3)＋f(a2 021)>0，…，所以f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 022)＋f(a2 023)＝[f(a1)＋f(a2 023)]＋[f(a2)＋f(a2 022)]＋…＋[f(a1 011)＋f(a1 013)]＋f(a1 012)>0.
數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題關(guān)鍵在于通過(guò)函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式，再利用數(shù)列或數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)解決最值、范圍問(wèn)題，通過(guò)放縮進(jìn)行不等式的證明.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)分形的數(shù)學(xué)之美，是以簡(jiǎn)單的基本圖形，凝聚擴(kuò)散，重復(fù)累加，以迭代的方式而形成的美麗的圖案.自然界中存在著許多令人震撼的天然分形圖案，如鸚鵡螺的殼、蕨類植物的葉子、孔雀的羽毛、菠蘿等.如圖為正方
形經(jīng)過(guò)多次自相似迭代形成的分形圖形，且相鄰的兩個(gè)正方形的對(duì)應(yīng)邊所成的角為15°.若從外往里最大的正方形邊長(zhǎng)為9，則第5個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為
設(shè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為an，則由已知可得an＝an＋1sin 15°＋an＋1cs 15°，
則數(shù)列{xn}是等差數(shù)列，公差為4，且f(xn)＝－2，n∈N＋ ，因此A＝2，函數(shù)f(x)的最小正周期是4，
一、單項(xiàng)選擇題1.(2023·廣州模擬)已知f(x)＝2x2，數(shù)列{an}滿足a1＝2，且對(duì)一切n∈N＋，有an＋1＝f(an)，則A.{an}是等差數(shù)列B.{an}是等比數(shù)列C.{lg2an}是等比數(shù)列D.{lg2an＋1}是等比數(shù)列
所以lg2an＋1＝1＋2lg2an，所以lg2an＋1＋1＝2(lg2an＋1)，n∈N＋，所以{lg2an＋1}是等比數(shù)列，又lg2a1＋1＝2，所以lg2an＋1＝2n，所以lg2an＝2n－1，故A，B，C錯(cuò)誤，D正確.
2.(2024·銅仁模擬)為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推進(jìn)科普宣傳教育，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍，不斷提高學(xué)生對(duì)科學(xué)、法律、健康等知識(shí)的了解，某學(xué)校組織高一10個(gè)班級(jí)的學(xué)生開(kāi)展“紅色百年路·科普萬(wàn)里行”知識(shí)競(jìng)賽.統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，10個(gè)班級(jí)的平均成績(jī)恰好成等差數(shù)列，最低平均成績(jī)?yōu)?0，公差為2，則這10個(gè)班級(jí)的平均成績(jī)的40%分位數(shù)為A.76　　　B.77　　　C.78　　　D.80
記10個(gè)班級(jí)的平均成績(jī)形成的等差數(shù)列為{an}，則an＝70＋2(n－1)＝2n＋68，
3.(2023·岳陽(yáng)模擬)在等比數(shù)列{an}中，a2＝－2a5，1an＋1，故{an}要單調(diào)遞減，所以00，所以等比數(shù)列{bn}為正項(xiàng)單調(diào)數(shù)列，
所以T2 023＝b1＋b2＋…＋b2 023>2 023b1 012＝2 023a1 012＝S2 023.
二、多項(xiàng)選擇題7.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an＋1＝ln( －an)(n∈N＋)，則Sn的取值可能是
因?yàn)閍n＋1＝ln( －an)，所以 ＝ －an，即an＝ － ，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝( － )＋( － )＋…＋( － )＝ － ＝e－ .因?yàn)閍1＝1，所以an>0，所以Sn>1.因?yàn)? >an＋1，所以 －an>1，所以an＋1>0，所以Sn

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