第15講 點線面之間的位置關(guān)系【必備知識】一、平面的基本性質(zhì)：(點與直線、平面: ;直線與平面:;線線、線面、面面相交時:)1.公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).直線.2.公理2:過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面.三點不共線,確定平面.推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面.   與確定平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.    與確定平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.    與確定平面.3.公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線. 二、空間點、線、平面之間的位置關(guān)系:1.1空間中直線與直線的位置關(guān)系:相交直線,平行直線,異面直線.【前兩種統(tǒng)稱為共面直線.】 1.2異面直線所成的角:通過平移轉(zhuǎn)化為求相交直線所成的銳角或直角,范圍:.常用方法有:平移法和向量法. (或其補角) 為異面直線A B與E F所成的角 (或夾角). 1.3兩條異面直線垂直的定義:如果兩條異面直線a, b所成的角為直角,就稱這兩條直線a, b垂直.記作. 因此,兩直線垂直有兩種情形:異面垂直、相交垂直. 2.1空間中直線與平面的位置關(guān)系:直線在平面內(nèi),直線與平面相交,直線與平面平行.【后兩種統(tǒng)稱為直線在平面外】2.2直線與平面所成的角:主要掌握斜線與平面所成的角(即斜線和它在該平面上的射影所夾的銳角).范圍.【為P A與平面所成的角】 2.3 直線與平面垂直的定義:如果一條直線和一個平面內(nèi)任何一條直線都垂直,那么這條直線和這個平面垂直.記作.(1) 定義:,則; (2) (2)性質(zhì):若,則. 3.1空間中平面與平面的位置關(guān)系:兩個平面平行,兩個平面相交.3.2二面角的平面角: 二面角的大小是用其平面角來度量的.范圍.確定平面角的方法: (1)定義法, (2)垂面法, (3)三垂線定理法.【是二面角的平面角.】3.3兩個平面互相垂直的定義:如果兩個相交平面所成的二面角為直二面角,則稱這兩個平面互相垂直. 記作.該定義可用于證明面面垂直, 即證明二面角的平面角為直角(平面角為直角常用勾股定理證明).  【典例剖析】題型一:平面基本定理的性質(zhì)及辨析題型二:證明空間的點線共面問題題型三:證明空間的點共線問題題型四:空間中的線共點問題題型五:作幾何體截面題型六:點線面位置關(guān)系的辨析題型七:異面直線所成角 題型一:平面基本定理的性質(zhì)及辨析1．下列命題中是真命題的是（       ）A．三點確定一個平面B．一條直線和一個點確定一個平面C．兩條直線確定一個平面D．兩兩相交且不共點的三條直線，確定一個平面 2．在空間四邊形中，在上分別取E，F，G，H四點，如果交于一點P，則（       ）A．P一定在直線上B．P一定在直線上C．P在直線或上D．P既不在直線上，也不在直線上 3．如圖，平面平面，直線，過三點確定的平面為，則平面的交線必過（       ） A．點       B．點        C．點，但不過點   D．點和點 4．已知，是不同的點，，，是不同的直線，，是不同的平面，則下列數(shù)學(xué)符號表示的不是基本事實（公理）的選項為（          ）A．，，，B．，存在唯一直線，，且C．，D．確定一個平面且， 題型二:證明空間的點線共面問題5．如圖，四棱錐，， 是 的中點，直線交平面 于點 ，則下列結(jié)論正確的是A． 四點不共面 B． 四點共面C． 三點共線 D． 三點共線 6．如圖所示，在正方體中，E，F分別是AB和的中點．求證：E，C，，F四點共面．  7．在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點，E，F分別邊AB，BC上的點，且； 求證：（1）點E，F，G，H四點共面；（2）直線EH，BD，FG相交于同一點．  8．如圖，在三棱錐中，，分別為與的重心，，分別為，的中點.求證：，，三線共面.   題型三:證明空間的點共線問題9．空間中五點不共面，已知在同一平面內(nèi)，在同一平面內(nèi)，那么三點（       ）A．一定構(gòu)成三角形 B．一定共線 C．不一定共線 D．與共面 10．在正方體中，，分別為，的中點改為“，分別為，上的點，且，求證：點，，三點共線.  11．已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點共線. 12．如圖，在正方體中，為正方形的中心，為直線與平面的交點．求證：，，三點共線．   題型四:空間中的線共點問題13．在空間四邊形各邊、、、上分別取點、、、，若直線、相交于點，則（       ）A．點必在直線上 B．點必在直線上C．點必在平面內(nèi) D．點必在平面內(nèi) 14．如圖，，直線三點確定的平面為γ，則平面γ、β的交線必過（ ）A．點A B．點BC．點C，但不過點D D．點C和點D 15．如圖，在三棱錐中，分別是的中點，點在上，點在上，且有.試判定直線的位置關(guān)系.   16．已知正方體中，G，H分別是，的中點，求證：，，延長后相交于一點.   題型五:作幾何體截面17．正方體中，分別是的中點.那么過三點的截面圖形是（       ）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形 18．P，Q，R三點分別在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，試畫出過P，Q，R三點的截面作法．   19．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是CC1和AA1的中點，畫出平面BED1F與平面ABCD的交線并說明理由.    題型六:點線面位置關(guān)系的辨析20．兩條異面直線指的是（　?。?/span>A．在空間內(nèi)不相交的兩條直線B．分別位于兩個不同平面內(nèi)的直線C．不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線D．某一個平面內(nèi)的一條直線和這個平面外的一條直線 21．若直線，平面滿足，則下列結(jié)論正確的是（       ）A．直線一定與平面平行 B．直線一定與平面相交C．直線一定與平面平行或相交 D．直線一定與平面內(nèi)所有直線異面 22．已知，為兩個不同的平面，，為兩條不同的直線，設(shè)，，則是的（       ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 23．若直線是異面直線，且，則直線與平面的位置關(guān)系是（       ）A． B． C．b與相交 D．以上都有可能 24．已知是不同的直線，是不同的平面，則下列命題中正確的是（       ）A．若是異面直線，，，，，則B．若，，，，則C．若，，，則D．若，，則 題型七:異面直線所成角25．如圖，在正方體中，，，，分別為，，，的中點，則異面直線與所成的角等于（       ）A． B． C． D． 26．，分別是正方體的棱和的中點，則和所成角的大小為（       ）A． B． C． D． 27．如圖，已知空間四邊形ABCD的四條邊及對角線的長均為1，M?N分別是BC與AD的中點，設(shè)AM和CN所成角為，則的值為（       ）A． B． C． D．  【過關(guān)檢測】1．已知：空間四邊形ABCD如圖所示，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別是BC、CD上的點，且，，則直線FH與直線EG（       ）A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直 2．已知直線，平面，，且，，，則下列結(jié)論一定成立的是（       ）A．，是異面直線 B．C．內(nèi)所有直線與平行 D．，沒有公共點 3．設(shè)，為兩個不同的平面，則的一個充分條件是（       ）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．，垂直于同一個平面C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一條直線4．已知經(jīng)過圓柱旋轉(zhuǎn)軸的給定平面，A，B是圓柱側(cè)面上且不在平面上的兩點，則下列判斷正確的是（       ）A．不一定存在直線l，且l與AB異面 B．一定存在直線l，且C．不一定存在平面，且 D．一定存在平面，且 5．在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F，G，H四點，若EF∩HG=P，則點P（       ）A．一定在直線BD上B．一定在直線AC上C．在直線AC或BD上D．不在直線AC上，也不在直線BD上 6．在三棱錐的邊、、、上分別取、、、四點，如果，則點（       ）A．一定在直線上 B．一定在直線上C．在直線或上 D．不在直線上，也不在直線上 7．如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點D是線段的中點，點E在底面圓的圓周上，且的長度是長度的兩倍，則異面直線與AC所成角的余弦值是（       ）A． B． C． D． 8．在正方體中，為棱的一個三等分點（靠近點），分別為棱，的中點，過三點作正方體的截面，則下列說法正確的是（       ）A．所得截面是六邊形B．截面過棱的中點C．截面不經(jīng)過點D．截面與線段相交，且交點是線段的一個五等分點 9．如圖，在正方體中，對角線與平面交于點O，AC與BD交于點M，E為AB的中點，F為的中點．求證：(1)，O，M三點共線；(2)E，C，，F四點共面．      10．如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點，，分別在，上，且．求證：（1）、、、四點共面；（2）與的交點在直線上．    11．如圖，正四棱柱．(1)請在正四棱柱中，畫出經(jīng)過、、三點的截面（無需證明）；(2)若、分別為、中點，證明：、、三線共點．    12．如圖，已知正方體的棱長為1．(1)寫出所有與是異面直線的棱；(2)若M、N分別是、的中點，求MN與BC所成角的大?。?/span>     13．如圖，點A在平面外，△BCD在平面內(nèi)，E、F、G、H分別是線段BC、AB、AD、DC的中點．(1)求證：E、F、G、H四點在同一平面上；(2)若AC＝6，BD＝8，異面直線AC與BD所成的角為60°，求EG的長．
 

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