第14講立體幾何初步(九種求外接球與內(nèi)切球模型)-2023-2024高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)分類培優(yōu)講義(蘇教版必修第二冊(cè))-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第14講九種求外接球與內(nèi)切球模型【必備知識(shí)】模型一:墻角模型墻角模型是三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直角三角形模型,用構(gòu)造法(構(gòu)造長方體)解決.外接球的直徑等于長方體的體對(duì)角線長.使用范圍: 3組或3條棱兩兩垂直;或可在長方體中畫出該圖且各頂點(diǎn)與長方體的頂點(diǎn)重合推導(dǎo)過程:長方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑公式:找三條兩兩垂直的線段,直接用公式,即2R,求出. 【典例剖析】1．四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，兩兩垂直，且，，，則球的表面積為（）A． B． C． D． 2．在邊長為2的正方形ABCD中，E，F分別為線段AB，BC的中點(diǎn)，連接DE，DF，EF，將 ADE，CDF，BEF分別沿DE，DF，EF折起，使三點(diǎn)重合，得到三棱錐O-DEF，則該三棱錐外接球的表面積為（）A．3 B． C．6 D．243．已知P，A，B，C為球O的球面上的四個(gè)點(diǎn)，若平面，，，，則球O的表面積為（）A． B． C． D． 4．如圖，在矩形中，，E為中點(diǎn)，把和分別沿折起，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)P，若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A． B． C． D． 5．將一個(gè)邊長為的正三角形沿其中線折成一個(gè)直二面角，則所得三棱錐的外接球的體積為_________. 模型二:對(duì)棱相等模型使用范圍:對(duì)棱相等的三棱錐推導(dǎo)過程:通過對(duì)棱相等,可以將其補(bǔ)全為長方體,補(bǔ)全的長方體體對(duì)角線為外接球直徑,設(shè)長方體的長寬高為別為【典例剖析】1．如圖，在中，，D，E，F分別為三邊中點(diǎn)，將分別沿向上折起，使A，B，C重合為點(diǎn)P，則三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D． 2．在△ABC中，，將△ABC繞BC旋轉(zhuǎn)至△BCD的位置，使得，如圖所示，則三棱錐外接球的體積為_____________． 3．已知三棱錐的每條側(cè)棱與它所對(duì)的底面邊長相等，且，，則該三棱錐的外接球的表面積為______． 4．已知四面體ABCD的棱長滿足AB＝AC＝BD＝CD＝2，BC＝AD＝1，現(xiàn)將四面體ABCD放入一個(gè)軸截面為等邊三角形的圓錐中，使得四面體ABCD可以在圓錐中任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則圓錐側(cè)面積的最小值為________． 5．在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積是______．模型三:漢堡模型適用范圍:有一條側(cè)棱垂直于底面的柱體推導(dǎo)過程:如圖,直三棱柱內(nèi)接于球(同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形).第一步:確定球心的位置,是的外心,則平面.第二步:算出小圓的半徑也是圓柱的高).第三步:勾股定理:,求出.公式: 【典例剖析】1．已知某圓柱的高為，體積為，則該圓柱外接球的表面積為（）A． B． C． D． 2．已知三棱柱的各個(gè)側(cè)面均垂直于底面，底面為正三角形，側(cè)棱長與底面邊長之比為3：2，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，若三棱柱的側(cè)面積為162，則該球的表面積為（）A． B． C． D． 3．已知三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，，，則球的表面積是（）A． B． C． D．4．直三棱柱所有頂點(diǎn)都在球的表面上，且，，，則球的表面積為________． 5．在四面體中，，，且，，異面直線，所成角為，則該四面體外接球的表面積為______. 模型四:垂面模型適用范圍:有一條棱垂直于底面的椎體推導(dǎo)過程:第一步:將畫在小圓面上,為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn),作小圓的直徑,連接,則必過球心.第二步:為的外心,所以平面,算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法: 利用正弦定理.第三步:利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑:(1);(2) .公式: 【典例剖析】1．已知三棱錐，其中平面，，，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D． 2．已知四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，是正三角形，是等腰三角形，則球的體積為（）A． B．C． D． 3．已知四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，底面，，，，，且四邊形的面積為，則球O的表面積為___________. 模型五:斗笠模型使用范圍:正棱雉或頂點(diǎn)的投影在底面的外心上推導(dǎo)過程:取底面的外心, 連接頂點(diǎn)與外心,該線為空間幾何體的高,在上取一點(diǎn)作為球心0,根據(jù)勾股定理公式: 【典例剖析】1.已知一個(gè)圓錐的母線長為，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．2.在三棱錐中，側(cè)棱，，，則此三棱錐外接球的表面積為_______． 3.已知正四面體的棱長為4，則此四面體的外接球的表面積是為________ 類型六:切瓜模型使用范圍:有兩個(gè)平面互相垂直的棱雉推導(dǎo)過程:分別在兩個(gè)互相垂直的平面上取外心、過兩個(gè)外心做兩個(gè)垂面的垂線, 兩條垂線的交點(diǎn)即為球心0 ,取B C的中點(diǎn)為, 連接、、、為矩形由勾股可得公式: 【典例剖析】1.已知四棱錐中，底面為邊長為的正方形，側(cè)面底面，且為等邊三角形，則該四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D． 2.已知四棱錐的體積是，底面是正方形，是等邊三角形，平面平面，則四棱錐的外接球的體積為________.3.已知四面體ABCD中，△ABD和△BDC是等邊三角形，二面角A﹣BD﹣C為直二面角.若AB＝，則四面體ABCD外接球的表面積為 __________________. 4.已知在三棱錐中，平面平面和均是邊長為的正三角形，則該三棱錐的外接球體積為___________. 模型七:折疊模型使用范圍:兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折疊.推導(dǎo)過程:兩個(gè)全等的三角形或者等腰拼在一起,或者菱形折疊,設(shè)折疊的二面角 .如圖,作左圖的二面角剖面圖如右圖:和分別為外心,故 .公式: 【典例剖析】1.已知菱形中,,對(duì)角線與的交點(diǎn)為,把菱形沿對(duì)角線折起, 使得,則折得的幾何體的外接球的表面積為( )A. B. C. D. 2.在三棱雉中,,則三棱雉的外接球的表面積為( )A. B. C. D. 3.在邊長為的菱形中,,沿對(duì)角線折成二面角為的四面體,則此四面體的外接球表面積為________. 模型八:最值模型最值問題的解法有兩種方法:一種是幾何法,即在運(yùn)動(dòng)變化過?中得到最值,從而轉(zhuǎn)化為定值問題求解.另一種是代數(shù)方法,即建立目標(biāo)函數(shù),從而求目標(biāo)函數(shù)的最值. 【典例剖析】1．在邊長為6的菱形中，，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D． 2．在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，且，，底面ABCD是邊長為2的正方形，設(shè)P為該四棱錐外接球表面上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的最大體積為（）A． B． C． D． 3．已知，，，，都在同一個(gè)球面上，平面平面，是邊長為2的正方形，，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，該球的半徑為______． 4．，，，四點(diǎn)均在同一球面上，，是邊長為的等邊三角形，則面積的最大值為__________，四面體體積最大時(shí)球的表面積為___________．模型九:內(nèi)切球模型以三棱雉為例, 求其內(nèi)切球的半徑推導(dǎo)過程:等體積法,三棱雉體積等于內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱雉的體積之和.第一步:先求出四個(gè)表面的面積和整個(gè)雉體體積;第二步:設(shè)內(nèi)切球的半徑為,球心為,建立等式:第三步:解出.公式: 【典例剖析】1．已知點(diǎn)O到直三棱柱各面的距離都相等，球O是直三棱柱的內(nèi)切球，若球O的表面積為，的周長為4，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D． 2．在《九章算術(shù)·商功》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖在鱉臑中，平面，，，則鱉臑內(nèi)切球的表面積為（）A． B．C． D．4．《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD為矩形，，則四棱錐和三棱錐的內(nèi)切球半徑比為___________. 【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．如圖，在三棱錐中，，，，且直線AB與DC所成角的余弦值為，則該三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D． 2．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，若四棱錐為陽馬，側(cè)棱底面，且，，則該陽馬的外接球的表面積為（）A． B． C． D． 3．設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，且三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是（）A． B． C． D． 4．如圖所示，正方體的棱長為，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體為正八面體，那么該正八面體的內(nèi)切球表面積為（）A． B． C． D． 5．已知三棱錐中，，，D是的中點(diǎn)，平面ABC，點(diǎn)P，A，B，C在球心為O的球面上，若三棱錐的體積是，則球O的半徑為（）A． B．1 C． D． 6．已知三棱錐的棱底面，若，則其外接球的表面積為（）A． B． C． D． 7．在三棱錐P—ABC中， PA⊥平面ABC，BA=BC，∠PBC=90°，PA=2，若三棱錐P—ABC體積為6，則三棱錐P—ABC外接球的表面積為（）A．18π B．24π C．36π D．40π 8．已知三棱錐所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且平面，若，則球的表面積為（）A． B． C． D． 9．在三棱錐中，平面ABC，，與的外接圓圓心分別為，，若三棱錐的外接球的表面積為，設(shè)，，則的最大值是（）A． B． C． D． 10．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面滿足，，若該三棱錐體積的最大值為，則其外接球的半徑為（）．A．1 B．2 C．3 D．二、填空題11．四面體ABCD中，平面ABC，，，，∠BAC=90°．若A，B，C，D四點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球面面積等于______． 12．如圖，在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為___________. 13．在等腰直角三角形ABC中，，D為BC的中點(diǎn)，以AD為折痕進(jìn)行折疊，使折后的，則過A，B，C，D四點(diǎn)的球的表面積為_____________. 14．空間四面體中，，，，直線和所成的角為，則該四面體的外接球的表面積為 __. 15．已知，，，四點(diǎn)在半徑為的球面上，且，，，則三棱錐的體積是__________. 16．已知正三棱柱的底面積為，點(diǎn)為的中心，直線和底面所成角為60°，則正三棱柱的外接球的表面積為______． 17．已知三棱錐中，平面BCD，，，，則三棱錐的外接球的表面積為_____. 18.在正四面體中，，D，E，F分別為SA，SB，SC的中點(diǎn)，則該正四面體的外接球被平面所截的圓周長為______． 19.如圖，在四棱錐中，平面平面，是邊長為4的等邊三角形，四邊形是等腰梯形，，則四棱錐外接球的表面積是____________. 20．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積的最小值為________.

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