空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
一 、簡(jiǎn)單幾何體
㈠ 空間幾何體的類(lèi)型
1 多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。
2 旋轉(zhuǎn)體：把一個(gè)平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其中，這條直線稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體的軸。
㈡ 幾種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
1 棱柱的結(jié)構(gòu)特征
棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是
四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。
棱柱的分類(lèi)
棱柱的性質(zhì)

⑴ 側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；
⑵ 兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；
圖1-1 棱柱
⑶ 過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；
⑷ 直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等，側(cè)面的對(duì)角面是矩形。
長(zhǎng)方體的性質(zhì)
圖1-1 棱柱
⑴ 長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線的長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三 條棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12
⑵ 長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線AC1與過(guò)定點(diǎn)A的三條棱所成的角分別是α、β、γ，那么：
cs2α + cs2β + cs2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2
⑶ 長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線AC1與過(guò)定點(diǎn)A的相鄰三個(gè)面所組成的角分別為α、β、γ，則：
cs2α + cs2β + cs2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1

圖1-2 長(zhǎng)方體
棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖：正n棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是由n個(gè)全等矩形組成的以底面周長(zhǎng)和側(cè)棱為鄰邊的矩形。
棱柱的面積和體積公式
S直棱柱側(cè)面 = c·h (c為底面周長(zhǎng)，h為棱柱的高)
S直棱柱全 = c·h+ 2S底
V棱柱 = S底 ·h
2 圓柱的結(jié)構(gòu)特征
圖1-3 圓柱
2-1 圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱。
2-2 圓柱的性質(zhì)
⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圓；
⑵ 過(guò)軸的截面(軸截面)是全等的矩形。
2-3 圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是以底面周長(zhǎng)和母線長(zhǎng)為鄰邊的矩形。
2-4 圓柱的面積和體積公式
S圓柱側(cè)面 = 2π·r·h (r為底面半徑，h為圓柱的高)
S圓柱全 = 2π r h + 2π r2
V圓柱 = S底h = πr2h
3 棱錐的結(jié)構(gòu)特征
3-1 棱錐的定義
⑴ 棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。
⑵ 正棱錐：如果有一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的投影是底面的中心，
這樣的棱錐叫做正棱錐。
3-2 正棱錐的結(jié)構(gòu)特征
⑴ 平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；
⑵ 正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；
⑶ 正棱錐中的六個(gè)元素，即側(cè)棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、側(cè)棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面邊長(zhǎng)的一半(BH)，構(gòu)成四個(gè)直角三角形(三角形SOB、SOH、SBH、OBH均為直角三角形)。
3-3 正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖：正n棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是由n個(gè)全等的等腰三角形組成。
3-4 正棱錐的面積和體積公式
S正棱錐側(cè) = c h’ (c為底面周長(zhǎng)，h’為側(cè)面斜高)
S正棱錐全 = c h’ + S底面
V棱錐 = 1/3 S底面·h (h為棱錐的高)
圖1-4 棱錐
圖1-4 棱錐
4 圓錐的結(jié)構(gòu)特征
4-1 圓錐的定義：以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。
4-2 圓錐的結(jié)構(gòu)特征
⑴ 平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；
圖1-5 圓錐
⑵ 軸截面是等腰三角形；
⑶ 母線的平方等于底面半徑與高的平方和：
l2 = r2 + h2
4-3 圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是以頂點(diǎn)為圓心，以母線長(zhǎng)為半徑的扇形。
4-4 圓錐的面積和體積的公式
S圓錐側(cè) = π r·l (r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))
S圓錐全 = πr·(r + l)
V圓錐 = 1/3 πr2·h (h為圓錐高)
5 棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征
棱臺(tái)的定義：用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面和底面之間的部分稱(chēng)為棱臺(tái)。
正棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征
⑴ 各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；
⑵ 正棱臺(tái)的兩個(gè)底面和平行于底面的截面都是正多邊形；
⑶ 正棱臺(tái)的對(duì)角面也是等腰梯形；
圖1-6 棱臺(tái)
⑷ 棱臺(tái)經(jīng)常被補(bǔ)成棱錐，然后利用形似三角形進(jìn)行研究。
5-3 正棱臺(tái)的面積和體積公式
S棱臺(tái)側(cè)= n/2 (a + b)·h’ (a為上底邊長(zhǎng)，b為下底邊長(zhǎng)，h’為棱臺(tái)的斜高，n為邊數(shù))
S棱臺(tái)全 = S上底 + S下底 + S側(cè)
V棱臺(tái) =

6 圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征
6-1 圓臺(tái)的定義：用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間的部分稱(chēng)為圓臺(tái)。
6-2 圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征
圖1-7 圓臺(tái)
⑴ 圓臺(tái)的上下底面和平行于底面的截面都是圓；
⑵ 圓臺(tái)的截面是等腰梯形；
⑶ 圓臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成圓錐，然后利用相似三角形進(jìn)行研究。
6-3 圓臺(tái)的面積和體積公式
S圓臺(tái)側(cè) = π·(R + r)·l (r、R為上下底面半徑)
S圓臺(tái)全 = π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·l
V圓臺(tái) = 1/3 (π r2 + π R2 + π r R) h (h為圓臺(tái)的高)
7 球的結(jié)構(gòu)特征
圖1-8 球
7-1 球的定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體。空間中，與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體稱(chēng)為球體。
7-2 球的結(jié)構(gòu)特征
⑴ 球心與截面圓心的連線垂直于截面；
⑵ 截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離的平方差：r2 = R2 – d2
★7-3 球與其他多面體的組合體的問(wèn)題
球體與其他多面體組合，包括內(nèi)接和外切兩種類(lèi)型，解決此類(lèi)問(wèn)題的基本思路是：
⑴ 根據(jù)題意，確定是內(nèi)接還是外切，畫(huà)出立體圖形；
⑵ 找出多面體與球體連接的地方，找出對(duì)球的合適的切割面，然后做出剖面圖；
⑶ 將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形的問(wèn)題；
⑷ 注意圓與正方體的兩個(gè)關(guān)系：球內(nèi)接正方體，球直徑等于正方體對(duì)角線；
球外切正方體，球直徑等于正方體的邊長(zhǎng)。
7-4 球的面積和體積公式
S球面 = 4 π R2 (R為球半徑)
V球 = 4/3 π R3
㈢ 空間幾何體的視圖
1 三視圖：觀察者從三個(gè)不同的位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形。
正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖。
側(cè)視圖：光線從幾何體的左邊向右邊正投影，得到的投影圖。
俯視圖：光線從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖。
注意：⑴ 俯視圖畫(huà)在正視圖的下方，“長(zhǎng)度”與正視圖相等；側(cè)視圖畫(huà)在正視圖的右方，“高度”與正視圖相等，“寬度”與俯視圖相等。(正側(cè)一樣高，正俯一樣長(zhǎng)，俯側(cè)一樣寬)
⑵ 正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。
2 直觀圖
2-1 直觀圖的定義：是觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形，直觀圖通常是在平行投影下畫(huà)出的空間圖形。
2-2 斜二測(cè)法做空間幾何體的直觀圖
⑴ 在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy，即取∠x(chóng)Oy = 90°；
⑵ 畫(huà)直觀圖時(shí)，把它畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸O’x’、O’y，取∠x(chóng)’O’y’ = 45°或135°，它們確定的平面表示水平平面；
⑶ 在坐標(biāo)系x’’y’中畫(huà)直觀圖時(shí)，已知圖形中平行于數(shù)軸的線段保持平行性不變；平行于x軸的線段保持長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半。
結(jié)論：采用斜二測(cè)法作出的直觀圖的面積是原平面圖形的
2-3 解決關(guān)于直觀圖問(wèn)題的注意事項(xiàng)
⑴ 由幾何體的三視圖畫(huà)直觀圖時(shí)，一般先考慮“俯視圖”；
⑵ 由幾何體的直觀圖畫(huà)三視圖時(shí)，能看見(jiàn)的輪廓線和棱畫(huà)成實(shí)線，不能看見(jiàn)的輪廓線和棱畫(huà)成虛線。
二、 點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系
㈠ 平面的基本性質(zhì)
1 立體幾何中圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化
★2 平面的基本性質(zhì)
公理一：如果一條直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么直線在平面內(nèi)。
公理二：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面。
推論一：直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面。
推論二：兩條相交直線確定一個(gè)平面。
推論三：兩條平行直線確定一個(gè)平面。
公理三：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條直線(兩個(gè)平面的交線)。
㈡ 空間圖形的位置關(guān)系
1 空間直線的位置關(guān)系(相交、平行、異面)
平行線的傳遞公理：平行于同一直線的兩條直線相互平行。
即：a∥b，b∥c a∥c
等角定理：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。
異面直線
⑴ 定義：不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線稱(chēng)為異面直線。
⑵ 判定定理：連平面內(nèi)的一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面內(nèi)不過(guò)此點(diǎn)的直線為異面直線。
圖2-1 異面直線
即：

異面直線所成的角
⑴ 異面直線成角的范圍：(0°，90°].
⑵ 作異面直線成角的方法：平移法。

注意：找異面直線所成角時(shí)，經(jīng)常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點(diǎn)(如中點(diǎn)、端點(diǎn)等)，形成異面直線所成的角。
2 直線與平面的位置關(guān)系(直線在平面內(nèi)、相交、平行)
圖2-2 直線與平面的位置關(guān)系
3 平面與平面的位置關(guān)系(平行、斜交、垂直)
㈢ 平行關(guān)系(包括線面平行和面面平行)
1 線面平行
線面平行的定義：平面外的直線與平面無(wú)公共點(diǎn)，則稱(chēng)為直線和平面平行。
判定定理：
性質(zhì)定理：
判斷或證明線面平行的方法
⑴ 利用定義(反證法)：l ∩ α = ф ，l∥α (用于判斷)；
⑵ 利用判定定理：線線平行線面平行 (用于證明)；
圖2-3 線面角
⑶ 利用平面的平行：面面平行線面平行 (用于證明)；
⑷ 利用垂直于同一條直線的直線和平面平行(用于判斷)。
2 線面斜交和線面角：l ∩ α = A
直線與平面所成的角(簡(jiǎn)稱(chēng)線面角)：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角θ。
線面角的范圍：θ∈[0°，90°]
注意：當(dāng)直線在平面內(nèi)或者直線平行于平面時(shí)，θ=0°；
當(dāng)直線垂直于平面時(shí)，θ=90°
3 面面平行
面面平行的定義：空間兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱(chēng)為兩平面平行。
面面平行的判定定理：
圖2-4 面面平行
⑴ 判定定理1：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么兩個(gè)平面相互平行。 即：
推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面的兩條線段，那么這兩個(gè)平面平行。即：

⑵ 判定定理2：垂直于同一條直線的兩平面互相平行。即：
面面平行的性質(zhì)定理
⑴ (面面平行線面平行)
⑵
⑶ 夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。
圖2-5 判定2
㈣ 垂直關(guān)系(包括線面垂直和面面垂直)
1 線面垂直
線面垂直的定義：若一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于平面。
線面垂直的判定定理：
線面垂直的性質(zhì)定理：

⑴ 若直線垂直于平面，則它垂直于平面內(nèi)任意一條直線。
即：
⑵ 垂直于同一平面的兩直線平行。
即：
常用的判定或證明線面垂直的依據(jù)
⑴ 利用定義，用反證法證明。
⑵ 利用判定定理證明。
⑶ 一條直線垂直于平面而平行于另一條直線，則另一條直線也垂直與平面。
⑷ 一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則也垂直于另一個(gè)。
⑸ 如果兩平面垂直，在一平面內(nèi)有一直線垂直于兩平面交線，則該直線垂直于另一平面。
★ 三垂線定理及其逆定理
⑴ 斜線定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的所有線段中，斜線相等則射影相等，斜線越長(zhǎng)則射影越長(zhǎng)，垂線段最短。
圖2-6 斜線定理
如圖：
⑵ 三垂線定理及其逆定理

已知PO⊥α，斜線PA在平面α內(nèi)的射影為OA，a是平面α內(nèi)的一條直線。
① 三垂線定理：若a⊥OA，則a⊥PA。即垂直射影則垂直斜線。
② 三垂線定理逆定理：若a⊥PA，則a⊥OA。即垂直斜線則垂直射影。
⑶ 三垂線定理及其逆定理的主要應(yīng)用
圖2-7 三垂線定理
① 證明異面直線垂直；
② 作出和證明二面角的平面角；
③ 作點(diǎn)到線的垂線段。
2 面面斜交和二面角
二面角的定義：兩平面α、β相交于直線l，直線a是α內(nèi)的一條直線，它過(guò)l上的一點(diǎn)O且垂直于l，直線b是β內(nèi)的一條直線，它也過(guò)O點(diǎn)，也垂直于l，則直線a、b所形成的角稱(chēng)為α、β的二面角的平面角，記作∠α-l-β。
二面角的范圍：∠α-l-β ∈[0°,180°]
二面角平面角的作法：
⑴ 定義法：證明起來(lái)很麻煩，一般不用；
⑵ 三垂線法：常用方法；
圖2-8 面面垂直
⑶ 垂面法：常用于空間幾何體中的二面角。
3 面面垂直
面面垂直的定義：若二面角α-l-β的平面角為90°，則兩平面α⊥β。
判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。
即：

面面垂直的性質(zhì)定理
⑴ 若兩面垂直，則這兩個(gè)平面的二面角的平面角為90°；
⑵
⑶
⑷
三、 立體幾何主要難點(diǎn)
1 三種角的對(duì)比
第14章 統(tǒng)計(jì) 知識(shí)梳理
一、獲取數(shù)據(jù)的途徑
二、普查和抽查
三、總體和樣本
1．總體：一般地，在獲取數(shù)據(jù)時(shí)，把所考察對(duì)象(某一項(xiàng)指標(biāo)的數(shù)據(jù))的全體叫作總體．
2．個(gè)體：把組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象叫作個(gè)體．
3．樣本：從總體中所抽取的一部分個(gè)體叫作總體的一個(gè)樣本．
4．樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目叫作樣本容量．
四、用樣本估計(jì)總體
1.總體百分位數(shù)的估計(jì)
(1)第p百分位數(shù)的定義
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.
(2)計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟
第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).
第2步，計(jì)算i＝n×p%.
第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).
2.樣本的數(shù)字特征
(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
(2)中位數(shù)：把n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
(3)平均數(shù)：把eq \f(a1＋a2＋…＋an,n)稱(chēng)為a1，a2，…，an這n個(gè)數(shù)的平均數(shù).
(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq \(x,\s\up6(－))，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s＝
eq \r(\f(1,n)[（x1－\(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\(x,\s\up6(－))）2])，
s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq \(x,\s\up6(－)))2].
1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系
(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).
(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的.
(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.
2.平均數(shù)、方差的公式推廣
(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq \(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq \(x,\s\up6(－))＋a.
(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，那么
①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；
②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.
五、隨機(jī)抽樣、統(tǒng)計(jì)圖表
1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
分為放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.除非特殊聲明，本章簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣指不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.
(2)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本
通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.
(3)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的常用方法
實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法很多，抽簽法和隨機(jī)數(shù)法是比較常用的兩種方法.
2.總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)
3.分層隨機(jī)抽樣
(1)分層隨機(jī)抽樣的概念
一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱(chēng)為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱(chēng)為層.
(2)分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)計(jì)算
在分層隨機(jī)抽樣中，以層數(shù)是2層為例，如果第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n，第1層和第2層的樣本平均數(shù)分別為eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－))，樣本平均數(shù)為eq \(w,\s\up6(－))，則eq \(w,\s\up6(－))＝eq \f(M,M＋N)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(N,M＋N)eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(m,m＋n)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(n,m＋n)eq \(y,\s\up6(－)).
我們可以用樣本平均數(shù)eq \(w,\s\up6(－))估計(jì)總體平均數(shù)eq \(W,\s\up6(－)).
4.統(tǒng)計(jì)圖表
(1)常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻數(shù)分布直方圖、頻率分布直方圖等.
(2)頻率分布表、頻率分布直方圖的制作步驟及意義
常用結(jié)論：
1.不論哪種抽樣方法，總體中的每一個(gè)個(gè)體入樣的概率都是相同的.
2.分層隨機(jī)抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個(gè)體數(shù)為該層的個(gè)體數(shù)乘抽樣比.
第15章 概率 知識(shí)梳理
1.隨機(jī)試驗(yàn)
對(duì)某隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)、觀察,稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn),簡(jiǎn)稱(chēng)_______事件___________.
2.樣本空間
定義:①樣本點(diǎn):隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果.
②樣本空間:所有樣本點(diǎn)組成的集合.記作:Ω
3.隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件
(1)隨機(jī)事件:樣本空間的子集稱(chēng)為隨機(jī)事件,也簡(jiǎn)稱(chēng)事件.
表示:一般用大寫(xiě)英文字母A,B,表示.
(2)基本事件:當(dāng)一個(gè)事件僅包含單一樣本點(diǎn)時(shí),稱(chēng)該事件為基本事件.
(3)必然事件:Ω(全集)是必然事件.
(4)不可能事件:(空集)是不可能事件.
4. 古典概型
(1)定義:①樣本空間只含有有限個(gè)樣本點(diǎn);②每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的.我們將滿足上述條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱(chēng)為古典概型.
(2)本質(zhì):事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)有限;每個(gè)基本事件發(fā)生的概率相等.
5.古典概型的概率計(jì)算公式
在古典概型中,如果樣本空間(其中,為樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)),那么每一個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是,如果事件由其中k個(gè)等可能基本事件組合而成,即中包含k個(gè)樣本點(diǎn),那么事件發(fā)生的概率為P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(n（A）,n（Ω）)..
6.互斥事件的概念
(1)互斥事件:如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，稱(chēng)事件A與事件B互斥(或互不相容)
(2)對(duì)立事件:互斥事件,中必有一個(gè)發(fā)生,這時(shí),我們稱(chēng),為對(duì)立事件,記作或.
7. 互斥事件的概率
(1)互斥事件的概率:如果事件A,B互斥,那么事件A+B發(fā)生的概率,等于事件A,B分別發(fā)生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B).
(2)互斥事件概率的推廣
如果事件A1,A2,…,An中任何兩個(gè)事件都是互斥事件,那么稱(chēng)事件A1,A2,…,An兩兩互斥.如果事件A1,A2,…,An兩兩互斥,那么
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
8.隨機(jī)事件概率的性質(zhì)
(1);
(2) 當(dāng)A?B時(shí),P(A)≤P(B);
(3)當(dāng)A,B不互斥時(shí),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
9. 獨(dú)立事件
(1)定義:
一般地,如果事件A是否發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率,那么稱(chēng)A,B為相互獨(dú)立事件.
(2)獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式: A,B相互獨(dú)立?P(AB)=P(A)P(B).
說(shuō)明:若A,B相互獨(dú)立,則與B,A與也相互獨(dú)立.
名稱(chēng)
棱柱
棱錐
棱臺(tái)
圖形
底面
互相平行且全等
多邊形
互相平行且相似
側(cè)棱
平行且相等
相交于一點(diǎn)，但不一定相等
延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)
側(cè)面形狀
平行四邊形
三角形
梯形
名稱(chēng)
圓柱
圓錐
圓臺(tái)
球
圖形
母線
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一點(diǎn)
延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)
軸截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圓面
側(cè)面展開(kāi)圖
矩形
扇形
扇環(huán)
圖形語(yǔ)言
文字語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
點(diǎn)A在直線a上
點(diǎn)B在直線a外
A∈a
Ba
點(diǎn)A在平面α內(nèi)
點(diǎn)B在平面α外
A∈α
Bα
直線a在平面α內(nèi)
直線b在平面α外
aα
bα
直線a與平面α相交于點(diǎn)A
a∩α=A
直線a與直線b相交于點(diǎn)A
a∩b=A
平面α與平面β交于直線a
α∩β=a
角的類(lèi)型
范圍
解題步驟
異面直線
所成角
0°～90°
1找：利用平移法找出異面直線所成角；
⑴ 固定一條直線，平移另一條直線，
⑵ 將兩條直線都平移至一特殊位置。
2證：證明所作出的角就是異面直線所成角或其補(bǔ)角，常需證明線線平行；
3計(jì)算：通過(guò)解三角形，算出異面直線角的角度。
直線與平面
所成角
0°～90°
1找：作出斜線與其在平面內(nèi)射影的夾角，一般用三垂線定理；
2證：證明所作出的角就是直線與平面所成角或其補(bǔ)角，常證明線面垂直；
3計(jì)算：通過(guò)解三角形，求出線面角的角度。
二面角的
平面角
0～π
1作：根據(jù)二面角平面角的定義，作出這個(gè)平面角；
2證：證明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂線法和垂面法；
3計(jì)算：通過(guò)解三角形，求出二面角平面角的角度。
概念
數(shù)據(jù)名稱(chēng)
直接獲取
通過(guò)社會(huì)調(diào)查或觀察、試驗(yàn)等途徑獲取數(shù)據(jù)
直接數(shù)據(jù)或一手?jǐn)?shù)據(jù)
間接獲取
借助各種媒介，包括報(bào)紙雜志、統(tǒng)計(jì)報(bào)表和年鑒、廣播、電視或互聯(lián)網(wǎng)等獲取數(shù)據(jù)
間接數(shù)據(jù)或二手?jǐn)?shù)據(jù)
調(diào)查方法
概念、特點(diǎn)
普查
抽查
定義
為了掌握調(diào)查對(duì)象的整體情況，對(duì)全體調(diào)查對(duì)象進(jìn)行研究的一種調(diào)查方式
從全體調(diào)查對(duì)象中按照一定的方法抽取一部分對(duì)象作為代表進(jìn)行調(diào)查分析，并以此推斷全體調(diào)查對(duì)象的狀況的調(diào)查方式
優(yōu)點(diǎn)
①所取得的資料更加全面、系統(tǒng)；
②調(diào)查特定時(shí)段的社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體的信息
①迅速、及時(shí)；
②節(jié)約人力、物力、財(cái)力，對(duì)個(gè)體信息的了解更詳細(xì)
缺點(diǎn)
耗費(fèi)大量的人力、物力、財(cái)力、時(shí)間長(zhǎng)、任務(wù)重
獲取的信息不夠全面、系統(tǒng)，其結(jié)果具有不確定性
名稱(chēng)
定義
總體均值
(總體平均數(shù))
一般地，總體中有N個(gè)個(gè)體，它們的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，則稱(chēng)eq \(Y,\s\up6(－))＝eq \f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq \f(1,N)eq \(∑,\s\up6(N),\s\d4(i＝1))Yi為總體均值，又稱(chēng)總體平均數(shù).
如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(k≤N)個(gè)，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)fi(i＝1，2，…，k)，則總體均值還可以寫(xiě)成加權(quán)平均數(shù)的形式eq \(Y,\s\up6(－))＝eq \f(1,N)eq \(∑,\s\up6(k),\s\d4(i＝1))fiYi.
樣本均值(樣本平均數(shù))
如果從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，它們的變量值分別為y1，y2，…，yn，則稱(chēng)eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))yi為樣本均值，又稱(chēng)樣本平均數(shù).
說(shuō)明：(1)在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)eq \(y,\s\up6(－))去估計(jì)總體平均數(shù)eq \(Y,\s\up6(－))；
(2)總體平均數(shù)是一個(gè)確定的數(shù)，樣本平均數(shù)具有隨機(jī)性(因?yàn)闃颖揪哂须S機(jī)性)；
(3)一般情況下，樣本量越大，估計(jì)越準(zhǔn)確.

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