第13講立體幾何初步(幾何體的表面積與體積)-2023-2024高一數(shù)學下學期考點分類培優(yōu)講義(蘇教版必修第二冊)-試卷下載-教習網(wǎng)

第13講幾何體的表面積與體積【必備知識1】1.常見幾何體的面積與體積公式幾何體圖形側面積與表面積體積圓柱圓柱的側面展開是矩形,,表面積體積,(為底面面積,為高) 圓錐圓錐的側面展開是扇形,,表面積體積,(為底面面積,為高) 圓臺圓臺的側面展開圖是扇環(huán), ,表面積體積 (分別為上、下底面的面積, 為圓臺的高) 球半徑為的球的表面積半徑為的球的體積【典例剖析】1．已知一個圓臺的軸截面面積為6，軸截面的一個底角為30°，則這個圓臺的側面積是（）A． B． C． D． 2．《九章算術》中將正四棱臺體（棱臺的上下底面均為正方形）稱為方亭.如圖，現(xiàn)有一方亭，其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高，，方亭的四個側面均為全等的等腰梯形，已知方亭四個側面的面積之和，則方亭的體積為（）A． B． C． D． 3．如圖，一種棱臺形狀的無蓋容器（無上底面）模型其上、下底面均為正方形，面積分別為，，且，若該容器模型的體積為，則該容器模型的表面積為（）A． B．C． D． 4．下圖是一個圓臺的側面展開圖，若兩個半圓的半徑分別是1和2，則該圓臺的體積是（）A． B． C． D．【必備知識2】1.求體積的常見方法體積的求解與計算是立體幾何學習的重點,其方法靈活多樣,而分割、補形和等積變換是常見的三種求體積的方法.其中分割、補形也稱為“割補法”.(1)分割求和法求一個不規(guī)則幾何體的體積時,可將幾何體分割成若干個規(guī)則的小幾何體,求得小幾何體的體積后,求和即得原幾何體的體積,這就是分割法.(2)補形法把不規(guī)則形體補成規(guī)則形體,把不熟悉的形體補成熟悉的形體, 便于計算其體積.常用的補形法如下:將正四面體補為正方形將對棱長相等的三棱錐補成長方形將三條側棱兩兩垂直的三棱錐補成長方體或正方體將三棱錐補成三棱柱將三棱柱補成平行六面體將臺體補成椎體 (3)運用“等體積轉換法"求三棱錐的體積和點到面的距離當所給幾何體的體積不能直接套用公式或涉及的某個量(底面積或高)不易求解時,可以轉換一下幾何體中有關元素的相對位置進行計算.具體作法是選擇合適的底面, 使得底面面積和高易于計算.該方法適用于求三棱雉的體積,由于三棱雉是由4個三角形面圍成的四面體, 其中任何一個三角形面都可以看成其底面, 當已知三棱錐的體積和底面面積,三棱錐的高即是頂點到底面的距離可求,所以可通過此方法求點到底面的距離. 【典例剖析】方法一:分割求和法1．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且，均為正三角形，，，則該多面體的體積為（）A． B． C． D． 2．《九章算術》中將三條棱互相平行且有一個面為梯形的五面體稱為“羨除”．如圖所示，已知五面體為羨除，其中，，，，與的距離為，點到平面的距離為，則該羨除的體積為（）A． B． C． D．方法二:補型法1．已知正四面體的外接球表面積為，則正四面體的體積為（）A． B． C． D． 2．在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G，H分別為棱AB，BC，CD，DA的中點，將該正方體挖去兩個四分之一圓錐，得到如圖所示的幾何體，則該幾何體的體積為________．方法三:等體積轉換法1．已知正方體的棱長為1，為上一點，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D． 2．如圖，在棱長為1的正方體中，M是的中點，則點到平面MBD的距離是（）A． B． C． D． 3．直三棱柱中，若，，，是棱上的中點，則點到平面的距離是（）A．1 B． C． D．【過關檢測】1．若圓錐的表面積為，圓錐的高與母線長之比，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D． 2．正三棱柱的所有棱長均為2，則三棱錐的體積為（）A．3 B． C．1 D． 3．已知一圓錐的底面直徑與母線長相等，一球體與該圓錐的所有母線和底面都相切，則球與圓錐的體積之比為（）A． B． C． D． 4．若球的表面積擴大為原來的2倍，則體積是原來的（）.A．倍 B．倍 C．9倍 D．12倍 5．已知三棱錐P-BCD，，其余各棱長均為4，E為棱PB的中點，則三棱錐E-PCD的體積是（）A． B． C． D． 6．三棱錐的底面是邊長為3的正三角形，，則三棱錐的體積等于（）A． B． C． D． 7．半正多面體（semiregular solid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個正三角形和六個正方形構成（如圖所示），則二十四等邊體的體積與其外接球體積之比為（）A． B． C． D． 8．如圖，已知直四棱柱的底面ABCD為直角梯形，，，且，，P，O，E分別為，AD，PC的中點，為正三角形，則三棱錐E-POB的體積為（）A．4 B．3 C．2 D．1 9．如圖，已知是各條棱長均等于的正三棱柱，是側棱的中點，點到平面的距離為（）A． B． C． D． 10．如圖，已知正方體的棱長為2，的中點為E，則點到平面的距離為（）A． B． C． D．