專題13 統(tǒng)計（知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末?？伎键c精講精練（蘇教版必修第二冊）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（一）抽樣
1．簡單隨機抽樣
（1）定義：一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機樣本．
（2）常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法．
（3）隨機數(shù)法步驟：
①將總體中的個體編號.
②在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)作為開始．
③規(guī)定一個方向作為從選定的數(shù)讀取數(shù)字的方向.
④開始讀取數(shù)字，若不在編號中，則跳過，若在編號中則取出，依次取下去，直到取滿為止(相同的號只計一次)．
⑤根據(jù)選定的號碼抽取樣本.
2．分層抽樣
(1)在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．
(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍
當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．
（二）統(tǒng)計圖表
1．頻率分布直方圖
(1)縱軸表示eq \f(頻率,組距)，即小長方形的高＝eq \f(頻率,組距)；
(2)小長方形的面積＝組距×eq \f(頻率,組距)＝頻率；
(3)各個小方形的面積總和等于1.
2．頻率分布表的畫法
第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝eq \f(極差,組數(shù))；
第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；
第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表．
3．頻率分布直方圖中的常見結(jié)論
(1)眾數(shù)的估計值為最高矩形的中點對應(yīng)的橫坐標．
(2)平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．
(3)中位數(shù)的估計值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的．
4.莖葉圖
莖葉圖是統(tǒng)計中用來表示數(shù)據(jù)的一種圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù)．
①“葉”位置只有一個數(shù)字，而“莖”位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；
②莖葉圖上重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏.
5.條形圖：建立直角坐標系，用橫軸(橫軸上的數(shù)字)表示樣本數(shù)據(jù)類型，用縱軸上的單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)每個樣本(或某個范圍內(nèi)的樣本)的數(shù)量多少畫出長短不同的等寬矩形，然后把這些矩形按照一定的順序排列起來，這樣一種表達和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為條形圖．
6.折線圖：建立直角坐標系，用橫軸上的數(shù)字表示樣本值，用縱軸上的單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)樣本值和數(shù)量的多少描出相應(yīng)各點，然后把各點用線段順次連接，得到一條折線，用這種折線表示出樣本數(shù)據(jù)的情況，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為折線圖．
7.扇形圖：用一個圓表示總體，圓中各扇形分別代表總體中的不同部分，每個扇形的大小反映所表示的那部分占總體的百分比的大小，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為扇形圖．
（三）用樣本估計總體
1.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平；
2.中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)，（起到分水嶺的作用）中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平；
平均數(shù)：反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平；
3.方差：方差是和中心偏離的程度，用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大?。催@批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大?。┎阉凶鲞@組數(shù)據(jù)的方差．在樣本容量相同的情況下，方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定．方差的簡化計算公式：s2＝eq \f(1,n)[(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－n eq \x\t(x)2]或?qū)懗蓅2＝eq \f(1,n)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－eq \x\t(x)2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．
4.標準差是方差的算術(shù)平方根，意義在于反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度．
5.百分位：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（100-p%）的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.
題型一抽樣
【典例1】（2022春·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期末）工廠生產(chǎn)A，B，C，3種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量之比為3：2：7.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本，若樣本中B種型號的產(chǎn)品有12件，則樣本容量n=（）
A．72B．48C．24D．60
【答案】A
【分析】由分層抽樣的等比例原則，結(jié)合抽取樣本中B種型號容量求總樣本容量即可.
【詳解】由題設(shè)B種型號的產(chǎn)品占比為，
所以，可得.
故選：A
【典例2】（2022春·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）某工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號的產(chǎn)品，某月生產(chǎn)A，B，C這三種型號的產(chǎn)品的數(shù)量之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為60的樣本，已知B種型號的產(chǎn)品被抽取30件，則a的值為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)分層抽樣抽取的比例一定計算即可
【詳解】由題意，，解得
故選：C
【典例3】（2022春·江蘇蘇州·高一校聯(lián)考期末）某單位有青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍，老、中、青職工共有430人，為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數(shù)為（）
A．16B．18C．27D．36
【答案】B
【分析】先確定老年職工的人數(shù)，然后利用抽樣比可得答案.
【詳解】設(shè)老年職工有人，則，解得；
因為樣本中有青年職工32人，所以抽樣比為，
所以樣本中的老年職工人數(shù)為.
故選：B.
【典例4】（2022春·江蘇南京·高一江蘇省江浦高級中學(xué)校聯(lián)考期末）總體編號為01，02，…，29，30的30個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第3列和第4列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．02B．15C．16D．19
【答案】D
【分析】根據(jù)個體編號規(guī)則，隨機表法依次取出5個個體編號，即可確定第5個個體的編號.
【詳解】由題意，依次取到的編號為16、15、08、02、19，
所以第5個個體的編號為19.
故選：D
【總結(jié)提升】
1.不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率都是相同的．
2. 分層抽樣的前提和遵循的兩條原則
(1)前提：分層抽樣使用的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個體間差異較小，每層中所抽取的個體數(shù)可按各層個體數(shù)在總體的個體數(shù)中所占比例抽取．
(2)遵循的兩條原則：
①將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；
②分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比．
3.命題方向：
（1）抽樣的概念
（2）抽樣方案的設(shè)計.
題型二扇形圖、折線圖的應(yīng)用
【典例5】（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）黨的二十大報告指出：“全面提高人才自主培養(yǎng)質(zhì)量，著力造就拔尖創(chuàng)新人才，聚天下英才而用之.”某區(qū)域教育部門為提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，組織了200名學(xué)生參與研究性學(xué)習(xí)，每人僅參加1個課題組，參加各課題組的人數(shù)占比的扇形統(tǒng)計圖如圖所示，則參加數(shù)學(xué)類的人數(shù)比參加理化類的人數(shù)多（）
A．16B．30C．32D．62
【答案】C
【分析】由扇形圖計算參加數(shù)學(xué)類和理化類的人數(shù)，即可求得答案.
【詳解】由扇形統(tǒng)計圖可知參加數(shù)學(xué)類的人數(shù)為，
參加理化類的人數(shù)為，
故參加數(shù)學(xué)類的人數(shù)比參加理化類的人數(shù)多，
故選：C
【典例6】（2017·全國高考真題（理））某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)
【答案】A
【解析】
對于選項A，由圖易知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯；
對于選項B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確；
對于選項C，D，由圖可知顯然正確.故選A.
【典例7】（2018·全國高考真題（文））某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍．實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例．得到如下餅圖：
則下面結(jié)論中不正確的是
A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少
B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上
C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍
D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半
【答案】A
【解析】
首先設(shè)出新農(nóng)村建設(shè)前的經(jīng)濟收入為M，根據(jù)題意，得到新農(nóng)村建設(shè)后的經(jīng)濟收入為2M，之后從圖中各項收入所占的比例，得到其對應(yīng)的收入是多少，從而可以比較其大小，并且得到其相應(yīng)的關(guān)系，從而得出正確的選項.
詳解：
設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前的收入為M，而新農(nóng)村建設(shè)后的收入為2M，
則新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0.6M，而新農(nóng)村建設(shè)后的種植收入為0.74M，所以種植收入增加了，所以A項不正確；
新農(nóng)村建設(shè)前其他收入我0.04M，新農(nóng)村建設(shè)后其他收入為0.1M，故增加了一倍以上，所以B項正確；
新農(nóng)村建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為0.3M，新農(nóng)村建設(shè)后為0.6M，所以增加了一倍，所以C項正確；
新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的綜合占經(jīng)濟收入的，所以超過了經(jīng)濟收入的一半，所以D正確；
故選A.
【典例8】（2021秋·江蘇無錫·高一無錫市市北高級中學(xué)校考開學(xué)考試）在西安市開展的“雙城聯(lián)創(chuàng)”活動中，某校倡議七年級學(xué)生利用雙休日在各自社區(qū)參加義務(wù)勞動，為了解同學(xué)們勞動情況，學(xué)校隨機抽查了部分學(xué)生的勞動時間，并用得到的數(shù)據(jù)繪制成不完整的統(tǒng)計圖表，如圖所示：
(1)統(tǒng)計表中的___________，___________.補全條形統(tǒng)計圖：
(2)求所有被調(diào)查同學(xué)的平均勞動時間.
【答案】(1)，，條形統(tǒng)計圖如圖所示；
(2)1.32時
【分析】（1）利用頻數(shù)、總?cè)藬?shù)、頻率間的關(guān)系計算即可；
（2）算出總時間，除于總?cè)藬?shù)即可
【詳解】（1）題，，
∴，，條形統(tǒng)計圖如圖所示
（2）平均勞動時間時
【總結(jié)提升】
扇形統(tǒng)計圖直觀地反映了各個類別在總體中所占的比例，折線統(tǒng)計圖則可以看出變化趨勢．頻數(shù)直方圖既能夠反映分布狀況，又可以表示變化趨勢.
題型三頻率分布直方圖
【典例9】（2022春·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期末）某校高一年級1000名學(xué)生在一次考試中的成績的頻率分布直方圖如圖所示，現(xiàn)用分層抽樣的方法從成績40~70分的同學(xué)中共抽取80名同學(xué)，則抽取成績50~60分的人數(shù)是（）
A．20B．30C．40D．50
【答案】B
【分析】先求出三個分數(shù)段的的同學(xué)的頻率之比，從而求出抽取成績50~60分的人數(shù).
【詳解】從頻率分布直方圖可以看出三個分數(shù)段的的同學(xué)的頻率之比為，
所以抽取成績50~60分的人數(shù)為，
故選：B
【典例10】（2023春·江蘇南京·高二?？奸_學(xué)考試）某學(xué)校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)測試，某班成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為，，，.若不低于80分的人數(shù)是35人，且同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表，則下列說法中正確的是（）
A．該班的學(xué)生人數(shù)是50B．成績在的學(xué)生人數(shù)是12
C．估計該班成績的平均分為85D．成績的眾數(shù)一定落在區(qū)間內(nèi)
【答案】AC
【分析】根據(jù)頻率之和為1可求出，再結(jié)合相關(guān)概念逐項分析運算即可判斷.
【詳解】對A：由題圖可知，解得，
則不低于80分的頻率為，所以該班的學(xué)生人數(shù)是，所以A項正確；
對B：成績在的頻率為，所以成績在的學(xué)生人數(shù)是，所以B選項不正確；
對C：因為，所以C選項正確；
對D：因為在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)盡管頻率最大，但也可能數(shù)據(jù)分散，眾數(shù)不一定在區(qū)間內(nèi)，所以D選項不正確.
故選：AC.
【典例11】（2022春·江蘇蘇州·高一江蘇省木瀆高級中學(xué)）某公司針對新購買的50000個手機配件的重量隨機抽出1000臺進行檢測，如圖是根據(jù)抽樣檢測后的重量（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中配件重量的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為.用樣本估計總體，則下列說法錯誤的是（）
A．這批配件重量的平均數(shù)是（精確到0.01）
B．這批配件重量的中位數(shù)是在之間
C．
D．這批配件重量在范圍的有15000個
【答案】B
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，逐一算出判斷即可.
【詳解】由已知圖可知:，解得，
故C對，
則估計手機配件的重量的平均數(shù)為:，故A對，
設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故B錯，
這批配件重量在范圍的有個，故D對.
故選B.
【典例12】（2021·全國·高考真題（文））為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：
根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）
A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%
B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%
C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
【答案】C
【分析】根據(jù)直方圖的意義直接計算相應(yīng)范圍內(nèi)的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應(yīng)的頻率，然后求和即得到樣本的平均數(shù)的估計值，也就是總體平均值的估計值，計算后即可判定C.
【詳解】因為頻率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計值.
該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計值為,故A正確；
該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計值為,故B正確；
該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為,故D正確；
該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計值為(萬元)，超過6.5萬元，故C錯誤.
綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.
故選：C.
【總結(jié)提升】
1.兩個主要考查角度：
（1）利用頻率分布直方圖求頻率、頻數(shù)．
（2）利用頻率分布直方圖估計總體
2.熟記結(jié)論：(1)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，所有小長方形的面積的和等于1；
(2) eq \f(頻率,組距)×組距＝頻率；
(3)頻數(shù)/樣本容量＝頻率，此關(guān)系式的變形為頻數(shù)/頻率＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)
3.易錯防范：頻率分布直方圖的縱坐標是頻率組距，而不是頻率
題型四用樣本估計總體
【典例13】（2022春·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）某高校12名畢業(yè)生的起始月薪如下表所示：
則第85百分位數(shù)是（）
A．3325B．3130C．3050D．2950
【答案】B
【分析】將這12個數(shù)從小到大的順序排列，再找到第，即第 11個數(shù)即可.
【詳解】解：將這12個數(shù)從小到大的順序排列：2710，2755，2850，2880，2880，2890， 2920，2940，2950，3050，3130，3325.
又因為第，
所以第第85百分位數(shù)是第11個數(shù)據(jù)，為3130.
故選：B.
【典例14】（2022·江蘇·高一開學(xué)考試）關(guān)于用統(tǒng)計方法獲取數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯誤的是（）
A．某食品加工企業(yè)為了解生產(chǎn)的產(chǎn)品是否合格，合理的調(diào)查方式為抽樣調(diào)查
B．為了解高一學(xué)生的視力情況，現(xiàn)有高一男生480人，女生420人，按性別進行分層抽樣，樣本量按比例分配，若從女生中抽取的樣本量為63，則樣本容量為135
C．若甲?乙兩組數(shù)據(jù)的標準差滿足則可以估計乙比甲更穩(wěn)定
D．若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
【答案】C
【分析】對于A，根據(jù)普查的適用情形即可求解；
對于B，根據(jù)分層抽樣的抽樣比即可求解；
對于C，根據(jù)標準差的含義即可求解；
對于D，根據(jù)平均數(shù)的公式即可求解.
【詳解】對于A，了解生產(chǎn)的產(chǎn)品是否合格，合理的調(diào)查方式為抽樣調(diào)查，故A正確；
對于B，根據(jù)分層抽樣抽樣比可知，樣本容量為，故B正確；
對于C，因為，所以甲的數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，故C不正確；
對于D，因為數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
所以，
所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
，故D正確.
故選：C.
【典例15】（2022春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）已知數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為3，方差為1，那么數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為（）
A．3，1B．9，3C．10，9D．10，10
【答案】C
【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差公式直接求解即可
【詳解】因為數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為3，方差為1，
所以，，
所以數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為
，
方差為
，
故選：C
【典例16】【多選題】（2022春·江蘇無錫·高一輔仁高中校考期末）一組數(shù)據(jù)6，7，8，a，12的平均數(shù)為8，則此組數(shù)據(jù)的（）
A．眾數(shù)為7B．極差為6
C．中位數(shù)為8D．方差為
【答案】ABD
【分析】由平均數(shù)定義求得參數(shù)，然后再由眾數(shù)、極差、中位數(shù)、方差的定義求解．
【詳解】由題意，，
因此眾數(shù)是7，極差是，
5 個數(shù)從小到大排列為，中位數(shù)是7，
方差為，
故選：ABD．
【典例17】【多選題】（2023屆福建省福州市高三質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知互不相同的9個樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，則剩下的7個數(shù)據(jù)與原9個數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征中不變的是（）
A．中位數(shù)B．平均數(shù)
C．方差D．第40百分位數(shù)
【答案】AD
【分析】根據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)，方差及百分位數(shù)的定義，舉例說明即可.
【詳解】設(shè)這個數(shù)分別為，
且，
則中位數(shù)為，
去掉最大和最小的數(shù)據(jù)，得，中位數(shù)為，
故中位數(shù)一定不變；
由，得的第40百分位數(shù)為，
由，得的第40百分位數(shù)為，
故第40百分位數(shù)不變，
設(shè)這個數(shù)分別，
則平均數(shù)為，
去掉最大和最小的數(shù)據(jù)為，
此時平均數(shù)為，所以此時平均數(shù)改變了；
設(shè)這個數(shù)分別，
則平均數(shù)為，
方差為
，
去掉最大和最小的數(shù)據(jù)為，
則平均數(shù)為，
方差為，
所以此時方差都改變了.
故選：AD.
【典例18】（2022春·江蘇南通·高一金沙中學(xué)?？计谀┰O(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，若數(shù)據(jù)的平均數(shù)比方差大4，則的最大值是_________．
【答案】
【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解出．
【詳解】數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，所以，
，即，則，因為，所以，故當(dāng)時，的最大值是．
故答案為：．
【總結(jié)提升】
1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是刻畫數(shù)據(jù)特征的，但任何一個樣本數(shù)據(jù)改變都會引起平均數(shù)的改變，而眾數(shù)、中位數(shù)不具有這個性質(zhì)．所以平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，它是樣本數(shù)據(jù)的重心．
2.在樣本中出現(xiàn)極端值的情況下，眾數(shù)、中位數(shù)更能反映樣本數(shù)據(jù)的平均水平．
3.平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；
4.方差(標準差)越大，說明數(shù)據(jù)的離散性越大；方差(標準差)越小，說明數(shù)據(jù)的離散性越小，數(shù)據(jù)越集中、穩(wěn)定．
5．用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差，這些偏差是由樣本的隨機性引起的．雖然樣本的數(shù)字特征并不是總體真正的數(shù)字特征，而是總體的一個估計，但這種估計是合理的，特別是當(dāng)樣本容量很大時，樣本的數(shù)字特征穩(wěn)定于總體的數(shù)字特征．
題型五總體數(shù)字特征的實際應(yīng)用
【典例19】（2023春·廣東江門·高一鶴山市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某果園試種了A，B兩個品種的桃樹各10棵，并在桃樹成熟掛果后統(tǒng)計了這20棵桃樹的產(chǎn)量如下表，記A，B兩個品種各10棵產(chǎn)量的平均數(shù)分別為和，方差分別為和．
(1)分別求這兩個品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù)；
(2)求，，，；
(3)果園要大面積種植這兩種桃樹中的一種，依據(jù)以上計算結(jié)果分析選種哪個品種更合適，并說明理由．
【答案】(1)詳見解析；
(2)詳見解析；
(3)選A品種，理由見解析.
【分析】（1）利用極差和中位數(shù)定義即可求得這兩個品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù)；
（2）利用平均數(shù)和方差定義即可求得，，，；
（3）從平均產(chǎn)量和產(chǎn)量的穩(wěn)定程度綜合考慮選擇A品種.
【詳解】（1）A品種10棵產(chǎn)量由小到大排列為，
則A品種產(chǎn)量的極差為50，中位數(shù)為75；
B品種10棵產(chǎn)量由小到大排列為，
則B品種產(chǎn)量的極差為60，中位數(shù)為75.
（2）,
，
，
，
（3）由可得A，B兩個品種平均產(chǎn)量相等，
又，則A品種產(chǎn)量穩(wěn)定，故選擇A品種.
【典例20】（2022春·江蘇蘇州·高一?？计谀榱苏{(diào)查疫情期間物理網(wǎng)課學(xué)習(xí)情況，某校組織了高一年級學(xué)生進行了物理測試．根據(jù)測試成績（總分100分），將所得數(shù)據(jù)按照，，，，，分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示．
(1)求圖中a的值；
(2)試估計本次物理測試成績的平均分；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）
(3)該校準備對本次物理測試成績優(yōu)異（將成績從高到低排列，排在前13%的為優(yōu)異）的學(xué)生進行嘉獎，則受嘉獎的學(xué)生分數(shù)不低于多少？
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由直方圖區(qū)間頻率和為1求參數(shù)a；
（2）根據(jù)直方圖求物理測試成績的平均分即可；
（3）根據(jù)直方圖求出成績從高到低排列且頻率為對應(yīng)分數(shù)即可.
(1)
由，解得；
(2)
，
故本次防疫知識測試成績的平均分為；
(3)
設(shè)受嘉獎的學(xué)生分數(shù)不低于分，
因為，對應(yīng)的頻率分別為0.15，0.1，
所以，解得，
故受嘉獎的學(xué)生分數(shù)不低于分．
【規(guī)律方法】
1.明確樣本數(shù)字特征所反映樣本的特征，一般地，平均數(shù)反映的是樣本個體的平均水平，眾數(shù)和中位數(shù)則反映樣本中個體的“重心”，而標準差則反映了樣本的波動程度、離散程度，即均衡性、穩(wěn)定性、差異性等．因此，我們可以根據(jù)問題的需要選擇用樣本的不同數(shù)字特征來分析問題．
2.主要命題角度有三個：
（1）樣本的數(shù)字特征與頻率分布直方圖交匯
（2）樣本的數(shù)字特征與莖葉圖交匯
（3）樣本的數(shù)字特征與優(yōu)化決策問題交匯：利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)
= 1 \* GB3 ①標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小．標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．
= 2 \* GB3 ②用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征．
一、單選題
1．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知五個數(shù)的平均數(shù)為4，則（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)平均數(shù)的計算公式列式計算，即可求得答案.
【詳解】由題意可得，
故選：B
2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）為宣傳我國第三艘航空母艦“中國人民解放軍海軍福建艦”正式服役，增強學(xué)生的國防意識，某校組織1000名學(xué)生參加了“逐夢深藍，山河榮耀”國防知識競賽，從中隨機抽取20名學(xué)生的考試成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）
A．頻率分布直方圖中的值為0.004
B．估計這20名學(xué)生考試成績的第60百分位數(shù)為75
C．估計這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)為80
D．估計總體中成績落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為150
【答案】D
【分析】由頻率分布直方圖的性質(zhì)逐一計算即可
【詳解】由頻率分布直方圖可得：
，解得，故A錯誤；
前三個矩形面積為，即第60百分位數(shù)為80，故B錯誤；
估計這二十人的眾數(shù)為，故C錯誤；
總體中成績落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為：，故D正確.
故選：D
3．（2022·高一課時練習(xí)）小王于2015年底貸款購置了一套房子，根據(jù)家庭收入情況，小王選擇了10年期每月還款數(shù)額相同的還貨方式，且截止2019年底，他沒有再購買第二套房子.下圖是2016年和2019年家庭收入用于各項支出的比例分配圖，根據(jù)以上信息，判斷下列結(jié)論中正確的是（）
A．小王一家2019年用于飲食支出費用與2016年相同
B．小王一家2019年用于其他方面的支出費用是2016年的3倍
C．小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了一倍
D．小王一家2019年的房貸支出比2016年減少了
【答案】B
【分析】對于A，小王一家2019年用于飲食的支出費用比2016年多；對于B，設(shè)2016年收入為，則2019年收入為，由此能求出小王一家2019年用于其他方面的支出費用是2016年的3倍；對于C，設(shè)2016年收入為，則2019年收入為；對于D，小王一家2019年用于房貸的支出費用與2016年相同．
【詳解】對于A，小王一家2019年用于飲食的支出比例與跟2016年相同，但是由于2019年比2016年家庭收入多，小王一家2019年用于飲食的支出費用比2016年多，故A錯誤；
對于B，設(shè)2016年收入為，相同的還款數(shù)額在2016年占各項支出的，在2019年占各項支出的，年收入為：，小王一家2019年用于其他方面的支出費用為，小王一家2016年用于其他方面的支出費用為，
小王一家2019年用于其他方面的支出費用是2016年的3倍，故B正確；
對于C，設(shè)2016年收入為，則2019年收入為：，故C錯誤；
對于D，小王一家2019年用于房貸的支出費用與2016年相同，故D錯誤．
故選：B．
二、多選題
4．（2022·江蘇·高一開學(xué)考試）某校組織全體學(xué)生參加了主題為“奮斗百年路，啟航新征程”的知識競賽，隨機抽取了200名學(xué)生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法正確的是（）
A．在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生有80人
B．圖中x的值為0.020
C．估計全校學(xué)生成績的中位數(shù)為87
D．估計全校學(xué)生成績的分位數(shù)為95
【答案】ACD
【分析】由頻率和為1可求解x，再由頻率分布直方圖的頻率計算人數(shù)和中位數(shù)，根據(jù)百分數(shù)定義計算分位數(shù)，對選項逐個判斷.
【詳解】由題意，成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，A中說法正確；
由，得，B中說法錯誤；
設(shè)中位數(shù)為a，則，得，C中說法正確；
低于90分的頻率為，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為n，則，解得，D中說法正確.
故選：ACD.
5．（2022春·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）對于一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，6，6，8，8，則（）
A．極差為8B．平均數(shù)為5
C．方差為D．40百分位數(shù)是4
【答案】BCD
【分析】根據(jù)極差、平均數(shù)、方差及百分位數(shù)的計算方法分別判斷即可得出答案.
【詳解】對于A，因為這組數(shù)據(jù)的最大值為8，最小值為2，所以這組數(shù)據(jù)的極差為，故A不正確；
對于B，因為，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，故B正確；
對于C，因為
，故C正確；
對于D，由于，所以第40百分位數(shù)為第4個數(shù)即，故D正確.
故選：BCD.
6．（2023·江蘇南通·二模）已知甲種雜交水稻近五年的產(chǎn)量（單位：t/hm2）數(shù)據(jù)為：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙種雜交水稻近五年的產(chǎn)量（單位：t/hm2）數(shù)據(jù)為：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，則（）
A．甲種的樣本極差小于乙種的樣本極差
B．甲種的樣本平均數(shù)等于乙種的樣本平均數(shù)
C．甲種的樣本方差大于乙種的樣本方差
D．甲種的樣本60百分位數(shù)小于乙種的樣本60百分位數(shù)
【答案】ABD
【分析】根據(jù)極差判斷A，計算平均數(shù)判斷B，計算方差判斷C，分別計算甲乙的樣本60百分位數(shù)判斷D.
【詳解】對A，，故A對；
對B，，，故B對；
對C，因為甲、乙平均值都為，所以，
，
顯然甲種的樣本方差小于乙種的樣本方差，故C錯誤；
對D，為整數(shù)，故甲的60百分位數(shù)，
乙的60百分位數(shù)為，故D對.
故選：ABD
三、填空題
7．（貴州省畢節(jié)市2023屆高三診斷性考試（三）數(shù)學(xué)（文）試題）某學(xué)校為了解教師身體健康情況，從高考學(xué)科和非高考學(xué)科教師中采用分層抽樣的方法抽取部分教師體檢.已知該學(xué)校高考學(xué)科和非高考學(xué)科教師的比例是5：1，且被抽到參加體檢的教師中，高考學(xué)科教師比非高考學(xué)科教師多64人，則參加體檢的人數(shù)是___________.
【答案】96
【分析】設(shè)參加體檢的人數(shù)為，利用分層抽樣的定義列出方程，求解即可.
【詳解】設(shè)參加體檢的人數(shù)為，則，解得，所以參加體檢的人數(shù)是96人.
故答案為：96.
8．（2022春·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）某校從高一新生中隨機抽取了一個容量為20的身高樣本，數(shù)據(jù)從小到大排序如下（單位：）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，176，178，若樣本數(shù)據(jù)的85百分位數(shù)是173，則x的值為______．
【答案】175
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的意義求解.
【詳解】第85百分位數(shù)是173，因為，所以，
故答案為：175
9．（2022春·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）若數(shù)據(jù)3x1－2，3x2－2，…，3x10－2的方差為18，則數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為__________．
【答案】2
【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)公式，即可求解.
【詳解】設(shè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為，則數(shù)據(jù)3x1－2，3x2－2，…，3x10－2的方差為，根據(jù)條件可知，得.
故答案為：2
10．（2022春·江蘇蘇州·高一校聯(lián)考期末）一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，4，4，x，7，8（其中），若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是__________.
【答案】6
【分析】先求出眾數(shù)，進而求得中位數(shù)，解出，再由百分位數(shù)的求法求解即可.
【詳解】由題意知，眾數(shù)是4，則中位數(shù)為，則，解得，又，則第60百分位數(shù)是6.
故答案為：6.
11．（2021秋·江蘇南京·高二南京市第二十九中學(xué)校考期末）某科研課題組通過一款手機軟件，調(diào)查了某市1000名跑步愛好者平均每周的跑步量（簡稱“周跑量”），得到如下的頻數(shù)分布表：
根據(jù)跑步愛好者的周跑量，將跑步愛好者分成以上三段，不同類別的跑者購買的裝備價格不一樣.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計該市每位跑步愛好者購買裝備，平均需要花費__元.
【答案】3720
【分析】根據(jù)平均數(shù)的概念求解，利用樣本估計總計即可.
【詳解】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得，休閑跑者共有人，
核心跑者共有人，
精英跑者共有人，
所以估計該市每位跑步愛好者購買裝備，平均需要花費為：
元.
故答案為:3720.
12．（2022春·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期末）若的標準差為，則的標準差是___________.
【答案】
【分析】由方差的性質(zhì)可求得的方差，由此可得標準差.
【詳解】的標準差為，的方差；
的方差為，
的標準差為.
故答案為：.
13．（2022春·江蘇揚州·高一統(tǒng)考期末）已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為77和123，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為m和n，全部70個數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為74和138，則_____________，_____________．
【答案】 70 130
【分析】根據(jù)平均數(shù)與方差的公式列式求解即可
【詳解】由題意，，，故，故.又，即，，即，故，故
故答案為：70；130
四、解答題
14．（2022春·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期末）為了有效抗擊疫情，保衛(wèi)師生健康，某校鼓勵學(xué)生在食堂就餐，為了更好地服務(wù)學(xué)生，提升食堂的服務(wù)水平，學(xué)校采用了問卷調(diào)查的形式調(diào)研了學(xué)生對食堂服務(wù)的滿意程度，滿分是100分，將問卷回收并整理評分數(shù)據(jù)后，把得分分成了5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并繪制成如圖所示的頻率直方圖.
(1)計算a的值和樣本的平均分；
(2)為了更全面地了解師生對食堂服務(wù)水平的評價，求該樣本的50百分位數(shù)（精確到0.01）.
【答案】(1)，樣本平均分為分；
(2)分.
【分析】（1）由頻率和為1求參數(shù)a，根據(jù)直方圖求樣本平均分；
（2）首先判斷50百分位數(shù)所在區(qū)間，再由百分數(shù)求法求得50百分位數(shù).
（1）
由直方圖知：，可得，
樣本平均分為分.
（2）
由，
所以50百分位數(shù)在[60，70）區(qū)間內(nèi)，令50百分位數(shù)為，
則，可得分.
15．（2022春·江蘇無錫·高一輔仁高中?？计谀┪覈鞘澜缟蠂乐厝彼膰抑唬瑸樘岢?jié)約用水，我市為了制定合理的節(jié)水方案，對家庭用水情況進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了2021年 100個家庭的月均用水量（單位：t），將數(shù)據(jù)按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求全市家庭月均用水量不低于 6t的頻率；
(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點值代替，求全市家庭月均用水量平均數(shù)的估計值；
(3)求全市家庭月均用水量的75%分位數(shù)的估計值（精確到0.01）.
【答案】(1)0.3
(2)4.92（t）
(3)6.56
【分析】（1）直接由頻率分布直方圖計算；
（2）用每組區(qū)間的中點值乘以相應(yīng)的頻率再相加可得均值；
（3）由頻率分布直方圖分別求出前3組和前4組的頻率，得出75%分位數(shù)在第4組，求出頻率0.75對應(yīng)的值即可得．
【詳解】（1）全市家庭月均用水量不低于6t的頻率為.
（2）全市家庭月均用水量平均數(shù)的估計值為（t）；
（3）因為，，
所以全市家庭月均用水量的75％分位數(shù)為.
16．（2022·高一單元測試）已知A，B兩家公司的員工月均工資（單位：萬元）情況分別如圖1，圖2所示：
(1)以每組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點值為代表，根據(jù)圖1估計A公司員工月均工資的平均數(shù)、中位數(shù)，你認為用哪個數(shù)據(jù)更能反映該公司普通員工的工資水平？請說明理由．
(2)小明擬到A，B兩家公司中的一家應(yīng)聘，以公司普通員工的工資水平作為決策依據(jù)，他應(yīng)該選哪個公司？
【答案】(1)用中位數(shù)更能反映該公司普通員工的工資水平，理由見解析
(2)應(yīng)該選B公司
【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)的定義，由圖1扇形統(tǒng)計圖上讀取的數(shù)據(jù)，可得答案；
（2）求解出兩家公司的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，進行比較，可得答案.
【詳解】（1）A公司員工月均工資的平均數(shù)為
（萬元）．
由題圖1可知A公司員工月均工資在0.6萬元以下的比例為，
所以A公司員工月均工資的中位數(shù)約為0.6萬元．
用中位數(shù)更能反映該公司普通員工的工資水平，理由如下：
因為平均數(shù)受每一個數(shù)據(jù)的影響，越離群的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響越大，該公司少數(shù)員工的月收入很高，在這種情況下平均數(shù)并不能較好的反映普通員工的收入水平，而中位數(shù)不受少數(shù)極端數(shù)據(jù)的影響，可以較好的反映普通員工的收入水平．
（2）B公司員工月均工資的平均數(shù)為
（萬元）
由題圖2知，B公司員工月均工資在0.6萬元以下的頻率為，在0.8萬元以下的頻率為．
設(shè)B公司員工月均工資的中位數(shù)為x萬元，
則，得．
小明應(yīng)選擇B公司應(yīng)聘，理由如下：
B公司員工工資數(shù)據(jù)較為集中，月均工資的平均數(shù)和中位數(shù)均能反映該公司普通員工的平均收入水平，B公司員工月均工資平均數(shù)為0.69，中位數(shù)為0.7，均大于A公司員工月均工資的中位數(shù)0.62，所以以公司普通員工的工資水平作為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選B公司應(yīng)聘．
勞動時間（時）
頻數(shù)（人數(shù)）
頻率
12
1
30
2
18
合計
1
畢業(yè)生
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
起始月薪
2850
2950
3050
2880
2755
2710
2890
3130
2940
3325
2920
2880
A(單位kg)
60
50
40
60
70
80
80
80
90
90
B(單位kg)
40
60
60
80
80
50
80
80
70
100
周跑量
，
，
，
，
，
，
，
，
，
人數(shù)
100
120
130
180
220
150
60
30
10
周跑量
小于20公里
20公里到40公里
不小于40公里
類別
休閑跑者
核心跑者
精英跑者
裝備價格（單位：元）
2500
4000
4500

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