1．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

2.空間幾何體的表面積與體積公式
說明：
(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各面面積之和．
(2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和．
3.幾個有關(guān)球的結(jié)論
(1)設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為R，則
①正方體的外接球，則2R＝eq \r(3)a；
②正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；
③球與正方體的各棱相切，則2R＝eq \r(2)a.
(2)設(shè)長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.
典例剖析
題型一 簡單幾何體的表面積
例1 已知某幾何體的三視圖的正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰梯形，俯視圖是兩個同心圓，如圖所示，則該幾何體的表面積為________．
答案 26π
解析 由三視圖知該幾何體為上底直徑為2，下底直徑為6，高為2eq \r(3)的圓臺，則幾何體的表面積S＝π×1＋π×9＋π×(1＋3)×eq \r(?2\r(3)?2＋22)＝26π.
變式訓(xùn)練 某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是______．
答案 16＋16eq \r(2)
解析 由三視圖知，四棱錐是底面邊長為4，高為2的正四棱錐，∴四棱錐的表面積是16＋4×eq \f(1,2)×4×2eq \r(2)＝16＋16eq \r(2).
解題要點 對于這類給出三視圖求表面積、體積的題，應(yīng)先根據(jù)三視圖換原實物圖，然后再求解．
題型二 簡單幾何體的體積
例2 如下的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出(單位：cm)．
(1)在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；
(2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積．
解析 (1)如圖．
(2)所求多面體的體積
V＝V長方體－V正三棱錐＝4×4×6－eq \f(1,3)×(eq \f(1,2)×2×2)×2＝eq \f(284,3)(cm3)．
變式訓(xùn)練 某三棱錐的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是______．
答案 1
解析 由三棱錐的側(cè)視圖和俯視圖可知該三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，故其底面積為eq \r(3)；其側(cè)視圖也是邊長為2的正三角形，故側(cè)視圖中三角形的高即為三棱錐的高，可求出為eq \r(3)，所以三棱錐的體積V＝eq \f(1,3)×eq \r(3)×eq \r(3)＝1.
題型三 球體有關(guān)表面積和體積
例3 一個幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的表面積是________cm2.
答案 (1)4π＋12
解析 (1)由三視圖知該幾何體為一個四棱柱、一個半圓柱和一個半球的組合體，其中四棱柱上表面與半球重合部分之外的面積為1×2－eq \f(1,2)×π×12＝2－eq \f(π,2)，四棱柱中不重合的表面積為2－eq \f(π,2)＋1×2×2＋2×2＋1×2＝12－eq \f(π,2)，半圓柱中不重合的表面積為eq \f(1,2)×2π×2＋eq \f(1,2)π＝eq \f(5,2)π，半球的表面積為eq \f(1,2)×4π＝2π，所以該幾何體的表面積為4π＋12.
變式訓(xùn)練 (2015新課標(biāo)Ⅰ理)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝______．
答案 2
解析 由正視圖與俯視圖想象出其直觀圖，然后進行運算求解．如圖，該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S＝eq \f(1,2)×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2.
例4 已知底面邊長為1，側(cè)棱長為eq \r(2)的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為______．
答案 eq \f(4π,3)
解析 正四棱柱的外接球的球心為上下底面的中心連線的中點，
所以球的半徑r＝ eq \r(?\f(\r(2),2)?2＋?\f(\r(2),2)?2)＝1，
球的體積V＝eq \f(4π,3)r3＝eq \f(4π,3).
解題要點
1．球的表面積公式：S＝4πR2；球的體積公式V＝eq \f(4,3)πR3
2.注意掌握一些典型的球的切、接問題，以及相關(guān)的結(jié)論．如長方體外接球的半徑為R＝eq \f(1,2)\r(a2＋b2＋c2).對于一些問題，將球放到某個長方體(或正方體)中，然后利用相關(guān)結(jié)論問題便迎刃而解．
當(dāng)堂練習(xí)
1．(2015安徽文)一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是______．
答案 2＋eq \r(3)
解析 由幾何體的三視圖可知空間幾何體的直觀圖如圖所示．
∴其表面積S表＝2×eq \f(1,2)×2×1＋2×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2))2＝2＋eq \r(3).
2．(2015北京理)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是______．

答案 2＋2eq \r(5)
解析 該三棱錐的直觀圖如圖所示：

過D作DE⊥BC，交BC于E，連接AE，則BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2＋eq \f(1,2)×eq \r(5)×1＋eq \f(1,2)×eq \r(5)×1＋eq \f(1,2)×2×eq \r(5)＝2＋2eq \r(5).
3. (2015新課標(biāo)Ⅱ文)已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點．若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為______．
答案 144π
解析 如圖，要使三棱錐OABC即COAB的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點C到平面OAB的距離，即三棱錐COAB底面OAB上的高最大，其最大值為球O的半徑R，則VOABC最大＝VCOAB最大＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)S△OAB×R＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×R2×R＝eq \f(1,6)R3＝36，所以R＝6，得S球O＝4πR2＝4π×62＝144π.
4．(2015四川文)在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊的長為1的等腰直角三角形，設(shè)點M，N，P分別是AB，BC，B1C1的中點，則三棱錐PA1MN的體積是________．
答案 eq \f(1,24)
解析 由題意知還原后的幾何體是一個直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角邊長為1的等腰直角三角形，高為1的直三棱柱，
∵VPA1MN＝VA1PMN，
又∵AA1∥平面PMN，∴VA1PMN＝VAPMN，
∴VAPMN＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,24)，
故VPA1MN＝eq \f(1,24).
5．(2015浙江文)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是______．
答案 eq \f(32,3)
解析 由三視圖可知該幾何體是由棱長為2 cm的正方體與底面為邊長為2 cm正方形、高為2 cm的四棱錐組成，V＝V正方體＋V四棱錐＝8 cm3＋eq \f(8,3) cm3＝eq \f(32,3) cm3.
課后作業(yè)
選擇題
1．(2015陜西文)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為____________．
答案 3π＋4
解析 由三視圖可知原幾何體為半圓柱，底面半徑為1，高為2，則表面積為：
S＝2×eq \f(1,2)π×12＋eq \f(1,2)×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.
2．(2015福建文)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于______________．
答案 11＋2eq \r(2)
解析 由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示．
直角梯形斜腰長為eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，所以底面周長為4＋eq \r(2)，側(cè)面積為2×(4＋eq \r(2))＝8＋2eq \r(2)，兩底面的面積和為2×eq \f(1,2)×1×(1＋2)＝3，所以該幾何體的表面積為8＋2eq \r(2)＋3＝11＋2eq \r(2).
3．(2015山東文)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為______．
答案 eq \f(4\r(2)π,3)
解析 如圖，設(shè)等腰直角三角形為△ABC，∠C＝90°，AC＝CB＝2，則AB＝2eq \r(2).
設(shè)D為AB中點，則BD＝AD＝CD＝eq \r(2).
∴所圍成的幾何體為兩個圓錐的組合體，其體積V＝2×eq \f(1,3)×π×(eq \r(2))2×eq \r(2)＝eq \f(4\r(2)π,3).
4．若某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個半圓，則該幾何體的表面積為___________．
答案 eq \f(3,2)π＋eq \r(3)
解析 由三視圖可知該幾何體為一個半圓錐，即由一個圓錐沿中軸線切去一半而得．
∴S＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＋eq \f(1,2)×π＋eq \f(1,2)×2π×1＝eq \f(3,2)π＋eq \r(3).
5．若一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為___________．
答案 75＋4eq \r(10)
解析 由三視圖可知該幾何體是一個四棱柱．兩個底面面積之和為2×eq \f(4＋5,2)×3＝27，四個側(cè)面的面積之和是(3＋4＋5＋eq \r(10))×4＝48＋4eq \r(10)，故表面積是75＋4eq \r(10).
6．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為______．
答案 3π
解析 方法一：由三視圖畫出幾何體，如圖所示，該幾何體的體積V＝2π＋π＝3π.
方法二：V＝eq \f(1,2)·π·12·(2＋4)＝3π.
7．一個空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的全面積為______．
答案 eq \f(3,2)π
解析 由題意可得，該幾何體是一個底面半徑為eq \f(1,2)，高為1的圓柱，
∴其全面積S＝2π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋2π×eq \f(1,2)×1＝eq \f(3,2)π.
8．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為______．
答案 12
解析 由三視圖可知，該幾何體是一個如圖所示的四棱錐P－ABCD，其中，底面ABCD為矩形，AB＝3，BC＝4，PA⊥面ABCD，PA＝3，
∴VP－ABCD＝eq \f(1,3)SABCD·PA＝eq \f(1,3)×3×4×3＝12.
9．(2015天津文)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.
答案 eq \f(8,3)π
解析 由所給三視圖可知，該幾何體是由相同底面的兩圓錐和一圓柱組成，底面半徑為1 m，圓錐的高為1 m，圓柱的高為2 m，因此該幾何體的體積V＝2×eq \f(1,3)×π×12×1＋π×12×2＝eq \f(8,3)π m3.
10．某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為______．
答案 3π
解析 由三視圖可知，該幾何體是一個半徑為1的半球，∴S表＝2πR2＋πR2＝3πR2＝3π.
11．一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.
答案 eq \f(20π,3)
解析 根據(jù)三視圖知，該幾何體上部是一個底面直徑為4，高為2的圓錐，下部是一個底面直徑為2，高為4的圓柱．
故該幾何體的體積V＝eq \f(1,3)π×22×2＋π×12×4＝eq \f(20π,3) (m2).
二、解答題
12． (2015湖南文)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點．
(1)證明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
(2)若直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°，求三棱錐FAEC的體積．
解析 (1)證明 ∵△ABC為正三角形，E為BC中點，∴AE⊥BC，
∴又B1B⊥平面ABC，AE?平面ABC，
∴B1B⊥AE，∴由B1B∩BC＝B知，AE⊥平面B1BCC1，又由AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B1BCC1.
(2)解 設(shè)AB中點為M，連接CM，則CM⊥AB，
由平面A1ABB1⊥平面ABC且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB知，CM⊥面A1ABB1，
∴∠CA1M即為直線A1C與平面A1ABB1所成的角．
∴∠CA1M＝45°，易知CM＝eq \f(\r(3),2)×2＝eq \r(3)，
在等腰Rt△CMA中，AM＝CM＝eq \r(3)，
在Rt△A1AM中，A1A＝eq \r(A1M2－AM2)＝eq \r(2).∴FC＝eq \f(1,2)A1A＝eq \f(\r(2),2)，
又S△AEC＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),4)×4＝eq \f(\r(3),2)，∴V三棱錐FAEC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6),12).
13．(2015新課標(biāo)Ⅰ文)如圖，四邊形ABCD為菱形，G是AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD.
(1)證明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐EACD的體積為eq \f(\r(6),3)，求該三棱錐的側(cè)面積．
解析 (1)證明 因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.
因為BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.
又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.
(2)解 設(shè)AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq \f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq \f(x,2).
因為AE⊥EC，所以在Rt △AEC中，可得EG＝eq \f(\r(3),2)x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形，可得BE＝eq \f(\r(2),2)x.
由已知得，三棱錐EACD的體積VEACD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)AC·GD·BE＝eq \f(\r(6),24)x3＝eq \f(\r(6),3).
故x＝2.
從而可得AE＝EC＝ED＝eq \r(6).
所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為eq \r(5).
故三棱錐EACD的側(cè)面積為3＋2eq \r(5).側(cè)面展開圖
側(cè)面積
圓柱
S側(cè)＝2πrl
圓錐
S側(cè)＝πrl
圓臺
S側(cè)＝π(r1＋r2)l
直棱柱
S側(cè)＝ch
正棱錐
S側(cè)＝eq \f(1,2)ch′
正棱臺
S側(cè)＝eq \f(1,2)(c＋c′)h′
名稱
幾何體
表面積
體積
柱體(棱柱和圓柱)
S表面積＝S側(cè)＋2S底
V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐)
S表面積＝S側(cè)＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
臺體(棱臺和圓臺)
S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3

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