專題11 空間圖形的表面積與體積（知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末?？伎键c(diǎn)精講精練（蘇教版必修第二冊）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

幾何體的表面積
1．柱體、錐體、臺體的側(cè)面積，就是各個(gè)側(cè)面面積之和；表面積是各個(gè)面的面積之和，即側(cè)面積與底面積之和.
2．把柱體、錐體、臺體的面展開成一個(gè)平面圖形，稱為它的展開圖，圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形它的表面積就是展開圖的面積.
3．計(jì)算公式
圓柱的側(cè)面積
圓柱的表面積
圓錐的側(cè)面積
圓錐的表面積
圓臺的側(cè)面積
圓臺的表面積
球體的表面積
幾何體的體積
圓柱的體積
圓錐的體積
圓臺的體積
球體的體積
正方體的體積
正方體的體積
（三）球的內(nèi)切、外接
幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論
(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，
①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq \r(3)a；
②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；
③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq \r(2)a.
(2)若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.
題型一幾何體的面積
【典例1】（河南省鄭州市2023屆高三第二次質(zhì)量預(yù)測文科數(shù)學(xué)試題）攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑.如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，設(shè)正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為60°，則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由側(cè)面為等邊三角形，結(jié)合面積公式求解即可..
【詳解】設(shè)底面棱長為，正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為60°，則側(cè)面為等邊三角
形，則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為.
故選：D
【典例2】（2021·全國高考真題（文））已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為________.
【答案】
【解析】
利用體積公式求出圓錐的高，進(jìn)一步求出母線長，最終利用側(cè)面積公式求出答案.
【詳解】
∵
∴
∴
∴.
故答案為：.
【典例3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，斜三棱柱中，底面是邊長為1的正三角形，側(cè)棱長為2，，則該斜三棱柱的側(cè)面積是_________．
【答案】##
【分析】過點(diǎn)作于，證出≌，得出，證得平面，得出，結(jié)合再證明出，得出平行四邊形為矩形，即可計(jì)算出斜三棱柱的側(cè)面積．
【詳解】過點(diǎn)作于，如圖所示，
，，，
≌，
，
，即，
又，
平面，
又平面，
，
又，
，
∴平行四邊形為矩形，
∴該斜三棱柱的側(cè)面積為：，
故答案為：．
【總結(jié)提升】
幾類空間幾何體表面積的求法
(1)多面體：其表面積是各個(gè)面的面積之和．
(2)旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和．
(3)簡單組合體：應(yīng)搞清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的刪、補(bǔ)．
(4)若以三視圖形式給出，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖，想象出原幾何體及幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．
題型二幾何體的體積
【典例4】（2018·全國高考真題（文））在長方體中，，與平面所成的角為，則該長方體的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
在長方體中，連接，
根據(jù)線面角的定義可知，
因?yàn)?，所以，從而求得?br>所以該長方體的體積為，故選C.
【典例5】（2023·高一單元測試）已知正三棱錐的側(cè)面積為，高為，則它的體積為___________.
【答案】
【分析】正三棱錐的底面是正三角形，求出高與側(cè)高之間關(guān)系，根據(jù)條件求出底面的面積即可.
【詳解】如圖：正三角形ABC，邊長為a，內(nèi)切圓的半徑為r，下面推導(dǎo)a與r的關(guān)系：
E為BC的中點(diǎn)，O是內(nèi)切圓的圓心，則，，；
設(shè)正三棱錐的底面邊長為，斜高為，底面內(nèi)切圓半徑為，
因?yàn)檎忮F的側(cè)面積為，高為，所以，
又，所以，解得，
所以底面積，所以它的體積為；
故答案為： .
【典例6】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知一個(gè)圓臺內(nèi)部的球與圓臺的上、下底面以及每條母線均相切，設(shè)球與圓臺的表面積分別為，，體積分別為，，若，則______．
【答案】
【分析】找到球半徑與圓臺上、下底面半徑之間的關(guān)系，用，表示出圓臺和球的表面積，
由條件求出，之間的關(guān)系，結(jié)合球的體積公式求.
【詳解】第一步：找到球半徑與圓臺上、下底面半徑之間的關(guān)系
設(shè)圓臺的母線長為，高為，上、下底面圓心分別為，，半徑分別為，，球的球心為，半徑為，作出該組合體的軸截面如圖所示，連接，易知點(diǎn)為的中點(diǎn)，則．設(shè)為球與圓臺側(cè)面的一個(gè)切點(diǎn)，連接，根據(jù)切線長定理可得，（切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等）
所以（勾股定理的應(yīng)用）所以，
第二步：用，表示出圓臺和球的表面積
則，，（圓臺的表面積公式）
第三步：根據(jù)得到，之間的關(guān)系
故，
第四步：求出
所以．
故答案為：.
【總結(jié)提升】
（1）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．
（2）規(guī)則幾何體：若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．其中，求三棱錐的體積常用等體積轉(zhuǎn)換法
（3）不規(guī)則幾何體：若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解.
提醒：處理高線問題時(shí)，經(jīng)常利用的方法就是“等積法”．
題型三幾何體的展開、折疊、截問題
【典例7】（2023·全國·高一專題練習(xí)）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.
【詳解】解：設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，
則，所以，
又，則，所以，
所以甲圓錐的高，
乙圓錐的高，
所以.
故選：A.
【典例8】（2023春·福建三明·高一三明一中?？茧A段練習(xí)）如圖是一個(gè)圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧、所在圓的半徑分別是3和9，且，則該圓臺的高為______；側(cè)面積為______.
【答案】
【分析】利用圓臺的性質(zhì)、扇形的弧長公式、勾股定理以及扇環(huán)的面積公式進(jìn)行求解.
【詳解】
因?yàn)閮蓚€(gè)圓弧、所在圓的半徑分別是3和9，且，
所以的長為，即圓臺上底面的周長為，設(shè)上底面半徑為，
則，解得，
同理可得，的長為，即圓臺下底面的周長為，設(shè)下底面半徑為，
則，解得，
又因?yàn)閳A臺母線長，如圖，圓臺的高為，
所以圓臺的高為，側(cè)面積為.
故答案為：，.
【典例9】（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考一模）將3個(gè)6cm×6cm的正方形都沿其中的一對鄰邊的中點(diǎn)剪開，每個(gè)正方形均分成兩個(gè)部分，如圖（1）所示，將這6個(gè)部分接入一個(gè)邊長為的正六邊形上，如圖（2）所示.若該平面圖沿著正六邊形的邊折起，圍成一個(gè)七面體，則該七面體的體積為______.
【答案】108
【分析】根據(jù)平面圖形折起后得到七面體，由七面體為正方體被平面所截，由對稱性可得其體積.
【詳解】將平面圖形折疊并補(bǔ)形得到如圖所示的正方體，
該七面體為正方體沿著圖中的六邊形截面截去一部分后剩下的另一部分，由對稱性知其體積為正方體體積的一半，即.
故答案為：
【典例10】（2023春·河南鄭州·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方體的棱長為 3 ，以為球心，為半徑的球被該正方體的表面所截，則所截得的曲線總長為_________
【答案】.
【分析】先得出球被由正方體的表面所截曲面，再由弧長公式得出所截得的曲線總長.
【詳解】如下圖所示，易知球被由正方體的表面所截曲面為，
由，即，故.
球被面，面，面所截的曲線長均為，
故在此三面上所截得的曲線長為，
球在面，面，面所截得的曲線長均為，
故在這三面上所截得的曲線長的和為，
故所截得的曲線總長為.
故答案為：.
【總結(jié)提升】
有關(guān)折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變．
研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題．
題型四幾何體的外接球
【典例11】（四川省樂山市2023屆高三下學(xué)期第二次調(diào)查研究考試數(shù)學(xué)（理）試題）在菱形中，，，將繞對角線所在直線旋轉(zhuǎn)至，使得，則三棱錐的外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如圖，取的中點(diǎn)，連接的，利用勾股定理證明，則有平面平面，設(shè)點(diǎn)為的外接圓的圓心，則在上，設(shè)點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，外接球的半徑為，利用勾股定理求出外接球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可得解.
【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，
在菱形中，，則都是等邊三角形，
則，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以即為二面角的平面角，
因?yàn)?，所以，即?br>所以平面平面，
如圖，設(shè)點(diǎn)為的外接圓的圓心，則在上，且，
設(shè)點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，則平面
外接球的半徑為，設(shè)，
則，解得，
所以，
所以三棱錐的外接球的表面積為.
故選：B.
【典例12】（2023春·遼寧朝陽·高二北票市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在直三棱柱的側(cè)面展開圖中，B，C是線段AD的三等分點(diǎn)，且．若該三棱柱的外接球O的表面積為12π，則_______________．
【答案】
【分析】根據(jù)正三棱柱得性質(zhì)，確定外接球的球心，利用球的表面積公式以及勾股定理，可得答案.
【詳解】由該三棱柱的外接球O的表面積為12π，設(shè)外接球得半徑為，則，解得，
由題意，取上下底面三角形得中心，分別為，得中點(diǎn)即為外接圓圓心，作圖如下：
則，平面，，
平面，，
在等邊中，，
在中，，
.
故答案為：.
【典例13】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考一模）在三棱錐中，已知平面，且是邊長為的正三角形，三棱錐的外接球的表面積為，則三棱錐的體積為___________.
【答案】
【分析】根據(jù)等邊三角形以及三棱錐的性質(zhì)找外接球的球心，根據(jù)勾股定理即可求解高，進(jìn)而由體積公式即可的體積.
【詳解】取,,的中點(diǎn),,，連結(jié),,，交于點(diǎn)，
則，
設(shè)三棱錐的外接球的半徑
由外接球表面積為可得
設(shè)三棱錐的外接球的球心為，
連結(jié)，則平面，
過作，交于，，
，故
所以,故三棱錐的體積為
故答案為：
【總結(jié)提升】
1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題．
2．若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題．
3.一個(gè)多面體的頂點(diǎn)都在球面上即為球的外接問題，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.
題型五幾何體的內(nèi)切球
【典例14】（2023春·河南濮陽·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在正三棱錐中，，若球與三棱錐的六條棱均相切，則球的表面積為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】作出輔助線，找到球心的位置，求出三棱錐的高，設(shè)出棱切球的半徑，求出，由半徑相等列出方程，求出半徑，進(jìn)而求出球的表面積.
【詳解】取的中心，連接，
則平面，且與棱均相切的球的球心在上，
連接并延長交于，則為的中點(diǎn)，，
連接，易證，
過作，交于點(diǎn)，
設(shè)球的半徑為，則，
由題意易求得，
由勾股定理得，
在中，，所以，
設(shè)，則，
因?yàn)?，從而，所以?br>所以，
故球的表面積為.
【典例15】（2023春·浙江寧波·高一余姚中學(xué)校考階段練習(xí)）已知某圓錐的內(nèi)切球的體積為，則該圓錐的表面積的最小值為__________．
【答案】
【分析】由球的體積公式求出內(nèi)切球的半徑，設(shè)底面半徑為，結(jié)合圖形利用表示母線，根據(jù)圓錐表面積公式求其表面積的解析式，利用基本不等式求其最小值.
【詳解】設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，則，解得，
設(shè)圓錐頂點(diǎn)為，底面圓周上一點(diǎn)為，底面圓心為，
內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球切母線于，
底面半徑，
則，又，
由已知為直角三角形，
又，，
所以，
所以，
所以，
故，
又，
故，
故該圓錐的表面積為，
令則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號．
故答案為：.
【規(guī)律方法】
1. 求解多面體的內(nèi)切球問題，一般是將多面體分割為以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，多面體的各側(cè)面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑.
2．解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：
題型六空間幾何體面積、體積的綜合問題
【典例16】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知正三棱錐S﹣ABC的底面邊長為2，正三棱錐的高SO＝1．
(1)求正三棱錐S﹣ABC的體積；
(2)求正三棱錐S﹣ABC表面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意分別確定三棱錐的底面積和三棱錐的高即可確定其體積；
（2）連接CO延長交AB于E，連接SE，則E為AB的中點(diǎn)，分別求得底面積和側(cè)面積，然后計(jì)算其表面積即可．
【詳解】（1）在正三棱錐S﹣ABC中，,
所以.
（2）連接CO延長交AB于E，連接SE，則E為AB的中點(diǎn)，如圖所示，
所以，
在直角三角形SOE中，，
在△ABS中，SA＝SB，所以SE⊥AB，
所以，
則表面積為：．
【典例17】（2023·高一單元測試）已知是底面邊長1的正四棱柱，為與的交點(diǎn)．
(1)設(shè)與底面所成的角為，求該棱柱的側(cè)面積；
(2)若點(diǎn)到平面的距離為，求四棱柱的體積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)正四棱柱的高為，由題知是與底面所成的角，進(jìn)而得，再計(jì)算側(cè)面積；
（2）連接，取中點(diǎn)，連接，進(jìn)而證明得點(diǎn)到平面的距離是，再根據(jù)得，進(jìn)而計(jì)算體積即可.
【詳解】（1）解：設(shè)正四棱柱的高為，
因?yàn)槭堑酌孢呴L1的正四棱柱，
所以平面，
所以，是與底面所成的角，
因?yàn)榕c底面所成的角為
所以，即，
所以，該棱柱的側(cè)面積
（2）解：連接，取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)樵谡睦庵?，?br>所以，四邊形為平行四邊形，
所以，
因?yàn)闉榕c的交點(diǎn)，中點(diǎn)，
所以，
所以，四邊形是平行四邊形，
所以
因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離是，中點(diǎn)，
所以，點(diǎn)到平面的距離是，
所以，點(diǎn)到平面的距離是，
因?yàn)樵谡睦庵?，，為與的交點(diǎn)，
所以，
所以
所以，，
因?yàn)椋?br>所以，解得，
所以，四棱柱的體積為
一、單選題
1．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知一個(gè)圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個(gè)圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積公式求解即可.
【詳解】設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為，
因?yàn)閳A錐的軸截面是等邊三角形，所以圓錐的母線長為，
則圓錐和圓柱的高為，
所以圓錐的側(cè)面積為，
圓柱的側(cè)面積為，
所以圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為,
故選:C.
2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課中，小華進(jìn)行了如下探究：如圖1，水平放置的正方體容器中注入了一定量的水；現(xiàn)將該正方體容器其中一個(gè)頂點(diǎn)固定在地面上，使得DA，DB，DC三條棱與水平面所成角均相等，此時(shí)水平面為HJK，如圖2所示．若在圖2中，則在圖1中（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)出正方體的邊長，利用水的體積相等建立方程求解
【詳解】當(dāng)DA，DB，DC三條棱與水平面所成角均相等時(shí)，三棱錐為正三棱錐，設(shè)正方體的棱長為3，
則，
所以，則題圖1中，
則，所以.
故選：B
3．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正四面體的各棱長均為，各頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】正四面體的外接球球心在正四面體的高上，由可構(gòu)建外接球半徑與棱長的關(guān)系，求出半徑．
【詳解】
如圖，是正四面體的高，是外接球球心，設(shè)外接球半徑為，
∵正四面體棱長為，∴，，，，
由得，
解得，∴．
故選：D．
4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為2，棱的中點(diǎn)為S，則三棱錐的外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)的外接圓的圓心為，半徑為r，求出，設(shè)三棱錐的外接球球心為O，半徑為R，由題意可得，代入化簡求出，由外接球表面積公式代入即可得出答案.
【詳解】解：設(shè)的外接圓的圓心為，半徑為r．因?yàn)槭侵苯侨切危?br>所以為AC的中點(diǎn)，．設(shè)三棱錐的外接球球心為O，半徑為R．
如圖，連接，OS，則平面ABC，．
過作于點(diǎn)H，連接SH．在四邊形中，
易得，即，解得，
所以三棱錐的外接球的表面積為．
故選:A．
二、多選題
5．（2023·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）如圖甲，在矩形中，，，為上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且滿足將沿折起后，點(diǎn)在平面上的射影總在棱上，如圖乙，則下列說法正確的有（）
A．翻折后總有
B．當(dāng)時(shí)，翻折后異面直線與所成角的余弦值為
C．當(dāng)時(shí)，翻折后四棱錐的體積為
D．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長度為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)線面垂直得出線線垂直，可判斷A，作于，可得異面直線所成的角，判斷B，作，設(shè)，，利用三角形相似可得，利用函數(shù)性質(zhì)求出的范圍判斷D，求出棱錐的高，再由四棱錐體積公式計(jì)算可判斷C.
【詳解】在圖乙中，因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的射影在棱上，所以平面，
又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；
如圖，
在圖乙中作于，連接，則，所以與所成角即為與所成角，又由平面可得平面，所以而，，則，即與所成角余弦值為，故B錯(cuò)誤；
如上圖，在圖乙中作于，連接，則由平面可得，又，平面，所以平面，
又平面，則，在圖甲中，如圖，
作，則，，三點(diǎn)共線，設(shè)，，則由可得，即，又在圖乙中有，
所以，所以，而，所以，，故D正確；
當(dāng)時(shí)，，則，所以，
則，故C正確.
故選：ACD.
三、填空題
6.（2021秋·陜西渭南·高一?？茧A段練習(xí)）已知圓柱上下底面圓周均在球面上，且圓柱底面直徑和高相等，則該球與圓柱的體積之比為________．
【答案】##
【分析】設(shè)圓柱底面圓的半徑，外接球的半徑為，得到，結(jié)合圓柱和球的體積公式，即看求解.
【詳解】如圖所示，作出圓柱與外接球的組合體的軸截面，
設(shè)圓柱底面圓的半徑，外接球的半徑為，則，
所以，可得，
所以外接球的體積，
圓柱的體積為，
所以該球與圓柱的體積之比為.
故答案為：.
7．（2021春·陜西漢中·高一?？计谥校┮阎蚴撬睦忮F的外接球，四邊形是邊長為1的正方形，點(diǎn)在球面上運(yùn)動(dòng)且，則當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，球的表面積是___________.
【答案】
【分析】設(shè)與平面夾角為，求得四棱錐的體積為，得到四棱錐的體積最大時(shí)，滿足平面，將四棱錐補(bǔ)成一個(gè)正四棱柱，結(jié)合正四棱柱的性質(zhì)和球的表面積公式，即可求解.
【詳解】設(shè)與平面夾角為，
則四棱錐的體積為，
當(dāng)時(shí)，四棱錐的體積最大，即，此時(shí)平面，
將四棱錐補(bǔ)成一個(gè)正四棱柱，如圖所示，
此時(shí)四棱錐和該正四棱柱有相同的外接球，設(shè)球的半徑為，
則，可得，
所以球的表面積為.
故答案為：
8．（2023·高一單元測試）足球起源于中國古代的蹴鞠游戲，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng).已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)，滿足，平面，，若三棱錐的體積為，則該“鞠”的體積的最小值為______.
【答案】
【分析】根據(jù)三棱錐的外接球的球心到所有頂點(diǎn)距離相等，且都為球半徑，即可找到球心的位置，然后在直角三角形中，根據(jù)基本不等式即可求解最小值，進(jìn)而可得球半徑的最小值.
【詳解】取中點(diǎn)為,過作交于，則,即為中點(diǎn).
因?yàn)槠矫?所以平面.
因?yàn)?所以,
所以，,
所以，是三棱錐外接球球心,為球的半徑.
由,
又,當(dāng)且僅當(dāng),等號成立,此時(shí),
所以球半徑,故,
該“鞠”的體積最小值為
故答案為：
9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）直三棱柱的所有棱長均為2，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為______．
【答案】##
【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，再根據(jù)題意結(jié)合正三棱柱的性質(zhì)和球的性質(zhì)即可求解即可.
【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，則，，
又因?yàn)槊婷?，且面面面?br>所以面，
所以題中所求交線即為以為圓心，為半徑的一段圓弧，
設(shè)該圓弧與的交點(diǎn)分別為，
球與側(cè)面的交線如圖所示，則，
易知，
所以該圓弧所對的圓心角為，
故所求弧長為.
故答案為：.
10．（2021春·陜西渭南·高一校考階段練習(xí)）已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)的高為6，則球O的表面積為__________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可得當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積最大，即可求得半徑，代入計(jì)算即可求得球O的表面積.
【詳解】如下圖所示，
易知三棱錐的底面積為定值，當(dāng)其體積最大時(shí)只需三棱錐的高取最大即可；
設(shè)球O的半徑為，所以高的最大值為，
所以球O的表面積為.
故答案為：
11．（2023·高一課前預(yù)習(xí)）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是圓柱的一條母線，已知，，，求該圓柱的側(cè)面積___________；表面積______________.
【答案】
【分析】由已知求圓柱的底面半徑，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式和表面積公式求解.
【詳解】因?yàn)樗倪呅问菆A柱的軸截面，
所以為底面圓的直徑，
又點(diǎn)為底面圓上異于點(diǎn)的點(diǎn)，
所以，
因?yàn)?，?br>所以，即底面圓的半徑，
因?yàn)椋詧A柱的母線長，
所以圓柱的側(cè)面積，設(shè)圓柱的表面積為，
則．
故答案為：；.
四、解答題
12. （2023·高一課時(shí)練習(xí)）若圓柱底面直徑和高都等于球的直徑，求圓柱與球的表面積之比.
【答案】3∶2
【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，求出圓柱的表面積，再由球的表面積公式，即可求解.
【詳解】設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.
∴，，
∴，
即圓柱與球的表面積之比為3:2.
13．（2023春·河北邯鄲·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，底面半徑為1，高為1的圓柱中有一內(nèi)接長方體，設(shè)矩形的面積為S，長方體的體積為V，，
(1)將S表示為x的函數(shù)；
(2)求V的最大值．
【答案】(1)；
(2)2.
【分析】（1）連接，求出，即得解；
（2）求出V的解析式，再利用二次函數(shù)圖象性質(zhì)求解.
【詳解】（1）連接，因?yàn)榫匦蜛BCD內(nèi)接于⊙O，
所以AC為⊙O的直徑．
因?yàn)?，?br>所以，
所以，
（2）因?yàn)殚L方體的高，
所以，
因?yàn)?，所以?br>故當(dāng)即時(shí)，V取得最大值，此時(shí).
14．（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1，在中，，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．現(xiàn)將沿翻折到，如圖2．
(1)證明：．
(2)已知，求四棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件，證明平面，再由線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直即可；
（2）根據(jù)條件，求出四棱錐的底面面積和高，再求出四棱錐的體積即可.
【詳解】（1）證明：在中，，
∴，，
∵，平面,平面,
∴平面,又平面，
∴.
（2）作交于,
∵平面，平面，∴，
又,平面，平面，
∴平面.
在中，，，
，，又為的中點(diǎn)，，
，又， .
四邊形的面積,
四棱錐的體積.
15．（2023春·安徽阜陽·高一阜陽市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，由上下兩部分組成，如圖所示，上部分的形狀是正四棱錐，下部分的形狀是正四棱柱，正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍．
(1)若，，則倉庫的容積（含上下兩部分）是多少？
(2)若上部分正四棱錐的側(cè)棱長為6m，當(dāng)為多少時(shí)，下部分的正四棱柱側(cè)面積最大，最大面積是多少？
【答案】(1)
(2)當(dāng)時(shí)，正四棱柱側(cè)面積最大，最大為
【分析】（1）利用柱體和錐體的體積公式計(jì)算；
（2）設(shè)，正四棱柱側(cè)面積用x表示，利用基本不等式求最大值.
【詳解】（1）∵，正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍，∴．
所以倉庫的容積
（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為6m，設(shè)，
則，，．
∴正四棱柱側(cè)面積，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，．
所以當(dāng)時(shí)，正四棱柱側(cè)面積最大，最大為．
16. （2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，是圓柱的母線，線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在圓柱的兩個(gè)底面圓周上，它與圓柱的軸所成的角為，且，軸到平面的距離為3，求此圓柱的側(cè)面積及體積.
【答案】，
【分析】由題意求出圓柱的高和底面半徑，根據(jù)圓柱的側(cè)面積及體積.公式，即可求得答案.
【詳解】由題意知異面直線與軸所成的角為，
又，故直線與所成的角為，
連接,由題意知底面,底面,
故，
∵，故在中，，
作,垂足為D，則D為的中點(diǎn)，
又平面,則平面底面，
底面,平面底面，故平面,
又因?yàn)槠矫?平面,故平面，
所以為軸到平面的距離，即，
則，
即圓柱的底面半徑為5，高為，
故圓柱的側(cè)面積,
體積為.

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