類型一：棱柱的表面積與體積
類型二：棱錐的表面積與體積
類型三：棱臺(tái)的表面積與體積
類型四：圓柱的表面積與體積
類型五：圓錐的表面積與體積
類型六：圓臺(tái)的表面積與體積
類型七：球的表面積與體積
類型八：幾何體的表面積（體積）的最值問題
類型九：內(nèi)切球問題
類型十：外接球問題
類型十一：內(nèi)切球與外接球的綜合問題
類型十二：新定義題
類型一：棱柱的表面積與體積
典型例題
例題1．（2022秋·上海黃浦·高二?？茧A段練習(xí)）若長方體的對(duì)角線的長為，其長、寬、高的和是，則長方體的全面積是______．
例題2．（2022秋·四川成都·高三成都七中?？奸_學(xué)考試）如圖一個(gè)正六棱柱的茶葉盒，底面邊長為，高為，則這個(gè)茶葉盒的表面積為______.
例題3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知直三棱柱，其底面是等腰直角三角形，且，.
(1)求該幾何體的表面積；
(2)若把兩個(gè)這樣的直三棱柱拼成一個(gè)大棱柱，求拼得的棱柱表面積的最小值.
同類題型演練
1．（2022·高一單元測(cè)試）側(cè)面均為面積為4的正方形的正三棱柱的表面積為______．
2．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，底面半徑為3，高為的圓錐有一個(gè)內(nèi)接的正四棱柱．
(1)設(shè)正四棱柱的底面邊長為x，試將棱柱的高h(yuǎn)表示成x的函數(shù)；
(2)當(dāng)x取何值時(shí)，此正四棱柱的表面積最大，并求出最大值．
3．（2022秋·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為（）．用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情況中，全面積最小的是一個(gè)四棱柱，則的取值范圍是_______．
類型二：棱錐的表面積與體積
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正四棱錐中，，若正四棱錐的體積是8，則該四棱錐的側(cè)面積是（ ）
A．B．C．4D．
例題2．（2022春·江西九江·高一校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)·商功》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩壍堵（qiàn ）．斜解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑（biē nà）．”這里所謂的“鱉臑”，就是在對(duì)長方體進(jìn)行分割時(shí)所產(chǎn)生的四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐．已知三棱錐是一個(gè)“鱉臑”，其中平面，，三棱錐的外接球的半徑為2， 則、的面積之和的最大值為_____________．
例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在中，，．若平面外的點(diǎn)和線段上的點(diǎn)，滿足，，則四面體的體積的最大值是______．
同類題型演練
1．（2022秋·河南商丘·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在體積為16的斜三棱柱中，P為棱上一點(diǎn)，三棱錐P-ABC的體積為4，則三棱錐的體積為（ ）
A．B．2C．3D．4
2．（2022秋·山西·高二校聯(lián)考期末）已知在菱形中，，平面外一點(diǎn)P滿足，，則四棱錐體積的最大值為___________.
3．（2022春·河北滄州·高一校考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，已知，，則當(dāng)最大時(shí)，求三棱錐的表面積.
類型三：棱臺(tái)的表面積與體積
典型例題
例題1．（2022春·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知某個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面邊長和高的比為，若側(cè)棱長為，則該棱臺(tái)的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中將正四棱臺(tái)體（棱臺(tái)的上下底面均為正方形）稱為方亭.如圖，現(xiàn)有一方亭，其中上底面與下底面的面積之比為，，方亭的四個(gè)側(cè)面均為全等的等腰梯形，已知方亭四個(gè)側(cè)面的面積之和為，則方亭的體積為______.
同類題型演練
1．（2022秋·廣東揭陽·高二普寧市華僑中學(xué)校考期中）在正四棱臺(tái)中， ，則該四棱臺(tái)的體積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）一個(gè)幾何體共有六個(gè)側(cè)面且都是全等的等腰梯形，等腰梯形的上底長為10cm，下底長為15cm，腰為9cm，上、下底面都是正六邊形，求該幾何體的全面積．
類型四：圓柱的表面積與體積
典型例題
例題1．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）早在一萬多年前的新石器時(shí)代，生活在金麗衢地區(qū)古人就開始制作各種石器，今天在浦江上山遺址、水康湖西遺址、義烏橋頭遺址等還可以見到各種當(dāng)時(shí)的石器，現(xiàn)在農(nóng)村還在使用的石磨就是從古代的石器演變而來的.如果一個(gè)石磨近似看作兩個(gè)圓柱體拼合而成，每個(gè)圓柱體的底面直徑是80cm，每個(gè)圓柱體的高為30cm，那么這兩個(gè)圓柱體的表面積之和為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖，半徑為的半球內(nèi)接一個(gè)圓柱，這個(gè)圓柱表面積的最大值為____________.
例題3．（2022秋·上海虹口·高二上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬北郊高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知一個(gè)圓錐的底面半徑為2，高為2，且在這個(gè)圓錐中有一個(gè)高為的圓柱.
(1)當(dāng)時(shí)，求圓柱的體積；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，此圓柱的側(cè)面積最大，并求出此最大值.
同類題型演練
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示的建筑物是號(hào)稱“神州第一圓樓”的福建土樓——二宜樓，其外形是圓柱形，圓樓直徑為73.4m，忽略二宜樓頂部的屋檐，若二宜樓的外層圓柱墻面的側(cè)面積略小于底面直徑為40m，高為10m的圓錐的側(cè)面積的，則二宜樓外層圓柱墻面的高度可能為（ ）
A．16mB．17mC．18mD．19m
2．（2022·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是，則圓柱的體積為________．
3．（2022春·河北邢臺(tái)·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，母線長為.
(1)求圓錐的底面積；
(2)在該圓錐內(nèi)按如圖所示放置一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，求圓柱的高.
類型五：圓錐的表面積與體積
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若一個(gè)圓錐的軸截面是邊長為3的正三角形，則這個(gè)圓錐的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積為，若其左視圖為正三角形，則該圓錐的體積為________.
例題3．（2022春·吉林長春·高一長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，圓錐的底面半徑為2，為母線的中點(diǎn)，側(cè)面展開圖是一個(gè)中心角為的扇形．
(1)求圓錐的表面積和體積；
(2)若圓錐的底面圓周和和頂點(diǎn)都在球的球面上，求球的表面積；
(3)若一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓錐側(cè)面爬行，穿過母線，繞圓錐側(cè)面爬行一周后來到母線的中點(diǎn)，試求螞蟻爬行的最短路程．
同類題型演練
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若圓錐的表面積為，圓錐的高與母線長之比，則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的頂點(diǎn)為A，過母線AB，AC的截面面積是.若AB，AC的夾角是，且AC與圓錐底面所成的角是，則該圓錐的表面積為________.
3．（2022秋·上海浦東新·高二上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在底面半徑為1，高為的圓錐中，O是底面圓心，P為圓錐頂點(diǎn)，A，B是底面圓周上的兩點(diǎn)，，C為母線PB的中點(diǎn).
(1)求該圓錐的表面積；
(2)求在該圓錐的側(cè)面上，從A到C的最短路徑的長.
類型六：圓臺(tái)的表面積與體積
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某圓錐的側(cè)面積為1，用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截該圓錐得到一個(gè)圓臺(tái)，若圓臺(tái)上底面和下底面半徑之比為，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2022·云南昆明·高三昆明一中?？奸_學(xué)考試）某圓臺(tái)上底面圓的半徑為1，下底面圓半徑為2，側(cè)面積為，則該圓臺(tái)的體積為（ ）
A．B．C．D．
同類題型演練
1．（2022秋·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓臺(tái)上?下底面圓的圓周都在一個(gè)半徑為5的球面上，其上?下底面圓的周長分別為和，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·四川·高二?？茧A段練習(xí)）若圓臺(tái)的高是3，一個(gè)底面半徑是另一個(gè)底面半徑的2倍，母線與下底面成角，則這個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積是（ ）
A．B．
C．D．
類型七：球的表面積與體積
典型例題
例題1．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)實(shí)心銅質(zhì)的圓錐形材料的底面半徑為4，圓錐母線長，現(xiàn)將它熔化后鑄成一個(gè)實(shí)心銅球，不計(jì)損耗，則銅球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)校考期末）已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，圓柱的體積為，則球的表面積為______．
例題3．（2022秋·上海黃浦·高二?？茧A段練習(xí)）已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為、，且兩個(gè)截面之間的距離是9，則球的表面積為______，體積為______．
同類題型演練
1．（2022春·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）已知球 的表面積為 ， 則它的體積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·江蘇徐州·高三學(xué)業(yè)考試）已知一個(gè)實(shí)心銅質(zhì)的圓錐形材料的底面半徑為4，側(cè)面積為，現(xiàn)將它熔化后鑄成一個(gè)實(shí)心銅球，不計(jì)損耗，則銅球的半徑為（ ）
A．2B．C．D．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知球的一個(gè)截面面積為，若球上的點(diǎn)到該截面的最大距離為3，則球的表面積為__________．
類型八：幾何體的表面積（體積）的最值問題
典型例題
例題1．（2022秋·四川樂山·高二四川省樂山沫若中學(xué)校考階段練習(xí)）（如圖）在底面半徑為2母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱．
(1)求圓錐的表面積和體積；
(2)為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？并求出最大值．
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，兩個(gè)相同的正四棱錐底面重合組成一個(gè)八面體，可放入一個(gè)底面為正方形的長方體內(nèi)，且長方體的正方形底面邊長為2，高為4，已知重合的底面與長方體的正方形底面平行，八面體的各頂點(diǎn)均在長方體的表面上．
(1)若點(diǎn)，，，恰為長方體各側(cè)面中心，求該八面體的體積；
(2)求該八面體表面積的取值范圍．
例題3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，直三棱柱有外接圓柱，點(diǎn)，分別在棱和上，.
(1)若，且三棱柱有一個(gè)內(nèi)切球，求三棱柱的體積；
(2)若，連接，，將三棱柱的側(cè)面和展開成一個(gè)平面圖形，求展開圖形中面積的取值范圍.

同類題型演練
1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖：圓錐底面半徑為1，高為3．
(1)求圓錐內(nèi)接圓柱（一底面在圓錐底面上，另一底面切于圓錐側(cè)面）側(cè)面積的最大值；
(2)圓錐內(nèi)接圓柱的表面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，用一塊鋼錠澆筑一個(gè)厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器，設(shè)容器的高為h米，蓋子的邊長為a米．
(1)求a關(guān)于h的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)h為何值時(shí)，容器的容積V最大？并求出V的最大值．
3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是長方形，底面周長為8，PD＝3，且PD是四棱錐的高．設(shè)AB＝x．
(1)當(dāng)x＝3時(shí)，求三棱錐A﹣PBC的體積；
(2)四棱錐外接球的表面積的最小值．
類型九：內(nèi)切球問題
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)到直三棱柱各面的距離都相等，球是直三棱柱的內(nèi)切球，若球的表面積為，的周長為4，則三棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）圖是棱長為2的正八面體（八個(gè)面都是全等的等邊三角形），球是該正八面體的內(nèi)切球，則球的表面積為
A．B．C．D．
例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中，，，，以為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
同類題型演練
1．（2022秋·安徽宣城·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，正四棱臺(tái)的上?下底面邊長分別為分別為，的中點(diǎn)，8個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的十面體恰有內(nèi)切球，則該內(nèi)切球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐的底面邊長為側(cè)棱長為，其內(nèi)切球與兩側(cè)面分別切于點(diǎn)，則的長度為___________.
3．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，若球的表面積等于圓柱的側(cè)面積，則球的體積與圓柱的體積之比為_________.

4．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如東高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓臺(tái)的內(nèi)切球與圓臺(tái)側(cè)面相切的切點(diǎn)位于圓臺(tái)高的處，若圓臺(tái)的上底面半徑為，則球的體積為______.
類型十：外接球問題
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正六棱柱的底面邊長為4，高為6，則它的外接球(正六棱柱的頂點(diǎn)都在此球面上)的表面積為____．
例題2．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知平行四邊形中，，，.若沿對(duì)角線將折起到的位置，使得，則此時(shí)三棱錐的外接球的體積大小是______.
例題3．（2023秋·江蘇南京·高二南京市第五高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎拿骟w中，為等邊三角形，，，若，則四面體外接球的表面積的最小值為______
例題4．（2023秋·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）在菱形中，，，將沿折起，使得．則得到的四面體的外接球的表面積為______．
例題5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知一個(gè)正四面體的棱長為2，則其外接球與以其一個(gè)頂點(diǎn)為球心，1為半徑的球面所形成的交線的長度為___________.
同類題型演練
1．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知正四棱臺(tái)的上下底面的邊長分別為和，高為3，則該正四棱臺(tái)的外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·廣西柳州·二模）“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”.若該多面體的棱長為2，則其外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）若三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，是邊長為3的正三角形，SC為球O的直徑，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知四棱錐的底面為矩形，，
則其外接球的表面積為________．
類型十一：內(nèi)切球與外接球的綜合問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若正三棱柱既有外接球，又有內(nèi)切球，記該三棱柱的內(nèi)切球和外接球的半徑分別為、，則（ ）
A．B．5C．D．
例題2．（2023·四川樂山·統(tǒng)考一模）在平面四邊形中，沿將折起，使得與全等.記四面體外接球球心到平面的距離為，四面體的內(nèi)切球球心到點(diǎn)的距離為，則的值為______.
例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體，其外接球與內(nèi)切球的表面積之和為，過點(diǎn)的平面與正方體的面相交，交線圍成一個(gè)正三角形.
(1)在圖中畫出這個(gè)正三角形（不必說明畫法和理由）；
(2)平面將該正方體截成兩個(gè)幾何體，求體積較大的幾何體的體積和表面積.
同類題型演練
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直三棱柱的底面ABC為等邊三角形，若該棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則其外接球與內(nèi)切球表面積之比為（ ）
A．25：1B．2：1C．5：1D．：1
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某個(gè)圓錐的母線長為，底面半徑為，若，則此圓錐的內(nèi)切球表面積與外接球的表面積之比為________．
類型十二：新定義題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作，書中記載有幾何體“芻甍”.現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，底面為正方形，平面，四邊形為兩個(gè)全等的等腰梯形，則該芻甍的外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，何尊是我國西周早期的青銅禮器，其造型渾厚，工藝精美，尊內(nèi)底鑄銘文中的“宅茲中國”為“中國”一詞最早的文字記載，何尊還是第一個(gè)出現(xiàn)“德”字的器物，證明了周王朝以德治國的理念，何尊的形狀可近似看作是圓臺(tái)和圓柱的組合體，組合體的高約為40cm，上口直徑約為28cm，經(jīng)測(cè)量可知圓臺(tái)的高約為16cm，圓柱的底面直徑約為18cm，則該組合體的體積約為（ ）（其中的值取3）
A．11280cm3B．12380cm3C．12680cm3D．12280cm3
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（ ）
A．26%B．34%C．42%D．50%
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）無窮符號(hào)在數(shù)學(xué)中是一個(gè)重要的符號(hào)，該符號(hào)的引入為微積分和集合論的研究帶來了便利，某校在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中以無窮符號(hào)為創(chuàng)意來源，設(shè)計(jì)了如圖所示的活動(dòng)標(biāo)志，該標(biāo)志由兩個(gè)半徑分別為15和20的實(shí)心小球相交而成，球心距，則該標(biāo)志的體積為___________.
附：一個(gè)半徑為的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高（記為），球缺的體積公式為.
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）詞語“塹堵”、“陽馬”、“鱉臑”等出現(xiàn)自中國數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》，是古代人對(duì)一些特殊錐體的稱呼．在《九章算術(shù)?商功》中，把四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”．現(xiàn)有如圖所示的“鱉臑”四面體PABC，其中平面，，，則四面體PABC的外接球的表面積為______．

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第1講 平面向量的概念及其運(yùn)算（練透重點(diǎn)題型）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期重點(diǎn)題型精講精練（人教A版必修第二冊(cè)）：

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數(shù)學(xué)必修 第一冊(cè)5.2 三角函數(shù)的概念練習(xí)：

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