（一）復(fù)數(shù)的概念
1.復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi(a、b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2＝－1.
全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.
2.復(fù)數(shù)的代數(shù)表示：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)，這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.
3.復(fù)數(shù)相等的充要條件
設(shè)a、b、c、d都是實(shí)數(shù)，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.
4.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要條件是a＝0且b＝0，a＝0是z為純虛數(shù)的必要不充分條件.
5.復(fù)數(shù)的分類
(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，z為實(shí)數(shù)?b＝0，z為虛數(shù)?b≠0，z為純虛數(shù)?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0,b≠0)).
(2)集合表示：
（二）復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
1.復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運(yùn)算法則
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
(1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；
(2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(3) ＝＋i (z2≠0)．
2. 復(fù)數(shù)的加、減法幾何意義及運(yùn)算律
3．復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律
對任意復(fù)數(shù)z1、z2、z3∈C，有
4.共軛復(fù)數(shù)：一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作．
5．共軛與模是復(fù)數(shù)的重要性質(zhì)，運(yùn)算性質(zhì)有：
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)；(6).
6．in(n∈N*)的性質(zhì)
計算復(fù)數(shù)的乘積要用到虛數(shù)的單位i的乘方，in有如下性質(zhì)：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝i，
從而對于任何n∈N*，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可證i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
這就是說，如果n∈N*，那么有
i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
（三）復(fù)數(shù)的幾何意義
1.復(fù)平面的定義
建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).
2.復(fù)數(shù)的幾何意義
(1)每一個復(fù)數(shù)都由它的實(shí)部和虛部唯一確定，當(dāng)把實(shí)部和虛部作為一個有序數(shù)對時，就和點(diǎn)的坐標(biāo)一樣，從而可以用點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，因此復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是一一對應(yīng)關(guān)系.
(2)若復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)，則其對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 (a，b)，不是(a，bi).
(3)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為始點(diǎn)的向量也可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.
如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)可以用點(diǎn)Z(a，b)或向量 表示.
復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)與點(diǎn)Z(a，b)和向量的一一對應(yīng)關(guān)系如下：
3.復(fù)數(shù)的模
復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)對應(yīng)的向量為，則的模叫做復(fù)數(shù)z的模，記作|z|且|z|＝
當(dāng)b＝0時，z的模就是實(shí)數(shù)a的絕對值.
4.復(fù)數(shù)模的幾何意義
復(fù)數(shù)模的幾何意義就是復(fù)數(shù)z＝a＋bi所對應(yīng)的點(diǎn)Z(a，b)到原點(diǎn)(0,0)的距離.
由向量的幾何意義知，|z1－z2|表示在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z1與z2對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.
（四）復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算
1．復(fù)數(shù)的三角表示式及復(fù)數(shù)的輻角和輻角的主值
一般地，任何一個復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以表示成r(cs θ＋isin θ)的形式，其中，r是復(fù)數(shù)z的模；θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角，我們規(guī)定在0≤θ＜2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作arg z．r(cs θ＋isin θ)叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角表示式，簡稱三角形式．a(chǎn)＋bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式．
2．復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運(yùn)算
若復(fù)數(shù)z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，則
(1)z1z2＝r1(cs θ1＋isin θ1)·r2(cs θ2＋isin θ2)=
r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
(2) ＝
＝[cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和．
兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.
題型一 復(fù)數(shù)的概念
【典例1】（2023·高一課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)（）的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則的取值不可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由實(shí)部和虛部互為相反數(shù)，結(jié)合二倍角公式可構(gòu)造關(guān)于csα的一元二次方程，解方程求得csα，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值和α的范圍可求得結(jié)果.
【詳解】由題意可得，
,
或
·
故選：B．
【總結(jié)提升】
(1)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：
若z＝a＋bi，只有當(dāng)a、b∈R時，a才是z的實(shí)部，b才是z的虛部，且注意虛部不是bi，而是b.
(2)不要將復(fù)數(shù)與虛數(shù)的概念混淆，實(shí)數(shù)也是復(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)和虛數(shù)是復(fù)數(shù)的兩大構(gòu)成部分.學(xué)習(xí)本章必須準(zhǔn)確理解復(fù)數(shù)的概念.
(3)虛數(shù)單位i的性質(zhì)
①i2＝－1.
②i與實(shí)數(shù)之間可以運(yùn)算，亦適合加、減、乘的運(yùn)算律.
③由于i2

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