（一）隨機(jī)事件和樣本空間
1．事件的相關(guān)概念
2．隨機(jī)事件的概率
對于給定的隨機(jī)事件，在相同的條件，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動并趨于穩(wěn)定，我們可以用這個常數(shù)來刻畫隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，并把這個常數(shù)稱為隨機(jī)事件的概率，記作.
3．頻率與概率
頻率是隨機(jī)的，不同的試驗(yàn)，得到頻率也可能不同，概率是頻率的穩(wěn)定值，反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小．
4.概率的性質(zhì)
（1）
（2）必然事件的概率：；不可能事件的概率：.
（二）古典概型
1.古典概型：具有以下兩個特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，即有限性．
②每個基本事件發(fā)生的可能性相等，即等可能性．
概率公式：P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù)).
2. 一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件,通常此試驗(yàn)中的某一事件A由幾個基本事件組成.如果一次試驗(yàn)的等可能基本事件有n個,即基本事件空間有n個樣本點(diǎn),那么每一個等可能基本事件發(fā)生的概率都是.如果某個事件A由其中m個等可能基本事件組合而成，即A包含m個樣本點(diǎn)，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=.
（三）互斥事件與對立事件
1.
注：對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件.
2.事件間的關(guān)系的判斷方法
(1)判斷事件間的關(guān)系時，可把所有的試驗(yàn)結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪幾個試驗(yàn)結(jié)果，從而斷定所給事件間的關(guān)系．
(2)對立事件一定是互斥事件，也就是說不互斥的兩個事件一定不是對立事件，在確定了兩個事件互斥的情況下，就要看這兩個事件的和事件是不是必然事件，這是判斷兩個事件是否為對立事件的基本方法．判斷互斥事件、對立事件時，注意事件的發(fā)生與否都是對于同一次試驗(yàn)而言的，不能在多次試驗(yàn)中判斷．
3. 互斥事件的概率加法公式：
①(互斥)，且有．
② (彼此互斥)．
= 3 \* GB3 ③ 對立事件的概率：．
（四）事件的相互獨(dú)立性
(1)對任意兩個事件，如果,則說事件相互獨(dú)立，簡稱獨(dú)立.
(2)若與相互獨(dú)立，則與，與，與也都相互獨(dú)立．
題型一 隨機(jī)事件和樣本空間
【典例1】（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）某高中共有30個班級，每班40人，每班選派2人參加反詐騙知識調(diào)查活動，在此次調(diào)查活動中樣本量是（ ）
A．40B．60C．80D．1200
【答案】B
【分析】由題意直接計算即可
【詳解】解：因?yàn)楣灿?0個班組，且每班選派2人參加反詐騙知識調(diào)查活動，
所以共選派60人參加反詐騙知識調(diào)查活動，
所以樣本容量為60，
故選：B
【典例2】（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）從，，，這個數(shù)中，任取個數(shù)求和，那么“這個數(shù)的和大于”為事件，“這個數(shù)的和為偶數(shù)” 為事件，則和包含的樣本點(diǎn)數(shù)分別為（ ）
A．;B．;
C．;D．;
【答案】C
【分析】運(yùn)用列舉法進(jìn)行列舉樣本點(diǎn)可得選項(xiàng).
【詳解】解：從1，2，3，4這4個數(shù)中，任取2個數(shù)求和，則試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4) }．
其中事件A包含的樣本點(diǎn)有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4個．
事件B包含的樣本點(diǎn)有：(1，3)，(2，4)，共2個．
所以事件A＋B包含的樣本點(diǎn)有：(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5個；
事件AB包含的樣本點(diǎn)有： (2，4)，共1個．
故選：C.
【典例3】（2022秋·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）為了加快新冠病毒檢測效率，某檢測機(jī)構(gòu)采取“k合1檢測法”，即將k個人的拭子樣本合并檢測，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的，若為陽性，則還需要對本組的每個人再單獨(dú)做檢測．該檢測機(jī)構(gòu)采用了“10合1檢測法”對2000人進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果為5人呈陽性，且這5個人來自4個不同的檢測組，則總檢測的次數(shù)是（ ）
A．210B．230C．240D．250
【答案】C
【分析】根據(jù)第一輪、第二輪檢測的次數(shù)求得總檢測的次數(shù).
【詳解】根據(jù)題意，采用“10合1檢測法”對2000人進(jìn)行檢測，
需要先將2000人按每組10人進(jìn)行分組，需要分200組，即需要檢測200次，
結(jié)果為5人呈陽性，且這5個人來自4個不同的檢測組，需要對這4組進(jìn)行第二輪檢測，需要檢測40次，
則一共需要檢測200+40=240次.
故選：C
題型二 頻率與概率
【典例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率是99.99%，這說明（ ）
A．該廠生產(chǎn)的10 000件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品一定有1件
B．該廠生產(chǎn)的10 000件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品一定有9 999件
C．該廠生產(chǎn)的10 000件產(chǎn)品中沒有不合格的產(chǎn)品
D．該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是99.99%
【答案】D
【分析】由概率的定義逐一分析即可.
【詳解】對于A：該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品不一定有1件，
可能是多件或者沒有，故A錯誤；
對于B：該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品不一定是9999件，故B錯誤；
對于C：該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中可能有不合格產(chǎn)品，故C錯誤；
對于D：該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是99.99%，故D正確；
故選：D.
【典例5】（2022春·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）某種彩票中獎的概率為，這是指
A．買10000張彩票一定能中獎
B．買10000張彩票只能中獎1次
C．若買9999張彩票未中獎，則第10000張必中獎
D．買一張彩票中獎的可能性是
【答案】D
【分析】彩票中獎的概率為，只是指中獎的可能性為
【詳解】彩票中獎的概率為，只是指中獎的可能性為，
不是買10000張彩票一定能中獎，
概率是指試驗(yàn)次數(shù)越來越大時，頻率越接近概率．所以選D.
【點(diǎn)睛】概率是反映事件發(fā)生機(jī)會的大小的概念，只是表示發(fā)生的機(jī)會的大小，是否中獎是隨機(jī)事件．
【典例6】（2021·高一單元測試）下列正確的結(jié)論是
A．事件A的概率的值滿足
B．如，則為必然事件
C．燈泡的合格率是，從一批燈泡中任取一個，這是合格品的可能性為
D．如，則為不可能事件
【答案】C
【分析】根據(jù)必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，利用排除法可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楸厝皇录母怕蕿?，
所以可排除選項(xiàng)；
因?yàn)椴豢赡苁录母怕蕿?，
所以可排除選項(xiàng)
根據(jù)概率的定義可知，燈泡的合格率是，從一批燈泡中任取一個是合格品的可能性為，故選C
【總結(jié)提升】
1.概率與頻率的關(guān)系
頻率反映了一個隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的．而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計值．
2．隨機(jī)事件概率的求法
利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會逐步趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率．
題型三 古典概型
【典例7】（2021·全國·高考真題）將3個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【詳解】解：將3個1和2個0隨機(jī)排成一行，可以是：
，
共10種排法，
其中2個0不相鄰的排列方法為：
，
共6種方法，
故2個0不相鄰的概率為，
故選：C.
【典例8】（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
【答案】B
【分析】算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數(shù)即可.
【詳解】由題意，第二天新增訂單數(shù)為，
，故至少需要志愿者名.
故選：B
【典例9】（2023·全國·高一專題練習(xí)）從5張分別寫有1，2，3，4，5的卡片中不放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率為___________.
【答案】/
【分析】利用列舉法寫出基本事件，再結(jié)合古典概型的計算公式即可求解.
【詳解】從5張卡片中無放回抽取2張，共有，
這10種情況，
其中數(shù)字之積為奇數(shù)的有共3種情況，
故所求概率為.
故答案為：.
【總結(jié)提升】
1.計算古典概型事件的概率可分三步
(1)判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是否是等可能的，設(shè)出所求的事件為A；(2)分別計算基本事件的總個數(shù)n和所求的事件A所包含的基本事件個數(shù)m；(3)利用古典概型的概率公式P(A)＝eq \f(m,n)求出事件A的概率．
2. 古典概型中基本事件的探求方法
(1)枚舉法：適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的．
(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同．有時也可以看成是無序的，如(1,2)(2,1)相同．
3.古典概型中的基本事件都是互斥的
4.解決與古典概型交匯命題的問題時，把相關(guān)的知識轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機(jī)事件的個數(shù)，然后利用古典概型的概率計算公式進(jìn)行計算.
題型四 互斥事件與對立事件的概率
【典例10】（2023春·江西南昌·高一南昌市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知事件A，B，C兩兩互斥，若，，，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)事件A，，兩兩互斥，求出，進(jìn)而利用求出答案.
【詳解】因?yàn)槭录嗀，，兩兩互斥，所以，
所以.
故選：B．
【典例11】【多選題】（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）下列說法錯誤的是（ ）
A．一對夫婦生2個小孩，恰好一男一女的概率為
B．?dāng)S一顆骰子2次，兩次向上的點(diǎn)數(shù)相同的概率為
C．若，為兩個任意事件，則事件對立事件是事件，都發(fā)生
D．試驗(yàn)次數(shù)足夠多，事件發(fā)生的頻率其實(shí)就是事件發(fā)生的概率
【答案】AD
【分析】由題意得出基本事件的個數(shù)由古典概型求概率可判斷AB，根據(jù)和事件、互斥事件、對立事件的概念判斷C，由頻率與概率的關(guān)系判斷D.
【詳解】對于A，一對夫婦生2個小孩，共有（男，男），（女，女），（男，女），（女，男）四個基本事件，由古典概型可知，恰好一男一女的概率為，故A錯；
對于B，擲一顆骰子2次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為基本事件，共36個，其中兩次點(diǎn)數(shù)相同的共有，6個基本事件，故由古典概型可知，故B正確；
對于C，和事件發(fā)生，就是，事件至少一個發(fā)生，它的對立事件就是，事件都不發(fā)生，即事件，都發(fā)生，故C正確；
對于D，試驗(yàn)次數(shù)足夠多，事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事件發(fā)生的概率附近，不一定是事件發(fā)生的概率，故D錯誤.
故選：AD
【典例12】（2022春·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)校考期中）為迎接2022年北京冬奧會，某工廠生產(chǎn)了一批雪車，這批產(chǎn)品中按質(zhì)量分為一等品、二等品、三等品.從這批雪車中隨機(jī)抽取一件雪車檢測，已知抽到不是三等品的概率為0.93，抽到一等品或三等品的概率為0.82，則抽到一等品的概率為___________.
【答案】/
【分析】由互斥事件的概率加法公式進(jìn)行求解即可．
【詳解】設(shè)抽到一等品，二等品，三等品的事件分別為，，，
則，解得，
所以抽到一等品的概率為.
故答案為：.
【總結(jié)提升】
1.對于互斥事件要抓住如下的特征進(jìn)行理解：
第一，互斥事件研究的是兩個事件之間的關(guān)系；
第二，所研究的兩個事件是在一次試驗(yàn)中涉及的；
第三，兩個事件互斥是從試驗(yàn)的結(jié)果不能同時出現(xiàn)來確定的
2．對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗(yàn)中有且僅有一個發(fā)生的兩個事件，事件的對立事件記作，從集合的角度來看，事件所含結(jié)果的集合正是全集中由事件所含結(jié)果組成集合的補(bǔ)集，即，，對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件.
事件的和記作，表示事件至少有一個發(fā)生.當(dāng)為互斥事件時，事件是由“發(fā)生而不發(fā)生”以及“發(fā)生而不發(fā)生”構(gòu)成的.
當(dāng)計算事件的概率比較困難時，有時計算它的對立事件的概率則要容易些，為此有.這不僅體現(xiàn)逆向思維，同時對培養(yǎng)思維的靈活性是非常有益的.求某些稍復(fù)雜的事件的概率時，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的對立事件的概率.
題型五 獨(dú)立事件的概率
【典例13】（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（ ）
A．甲與丙相互獨(dú)立B．甲與丁相互獨(dú)立
C．乙與丙相互獨(dú)立D．丙與丁相互獨(dú)立
【答案】B
【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率關(guān)系逐一判斷
【詳解】 ，
故選：B
【點(diǎn)睛】判斷事件是否獨(dú)立，先計算對應(yīng)概率，再判斷是否成立
【典例14】【多選題】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若則（ ）
A．B．事件A與B不互斥
C．事件A與B相互獨(dú)立D．事件A與B不一定相互獨(dú)立
【答案】BC
【分析】根據(jù)互斥與獨(dú)立事件的定義判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，所以與能同時發(fā)生，不是互斥事件，故B正確；
，所以，故A不正確；
又，故成立，
故事件A與B相互獨(dú)立，故C正確，D錯誤
故選：BC.
【典例15】（2022春·江蘇蘇州·高一?？计谀┎聼糁i又稱打燈謎，是我國從古代就開始流傳的元宵節(jié)特色活動.在一次元宵節(jié)猜燈謎活動中，共有20道燈謎，三位同學(xué)獨(dú)立競猜，甲同學(xué)猜對了12道，乙同學(xué)猜對了8道，丙同學(xué)猜對了道.假設(shè)每道燈謎被猜對的可能性都相等.
(1)任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對的概率；
(2)任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個人中至少有一個人猜對的概率為，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由題設(shè)求出甲、乙、丙猜對或錯的概率值，應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對的概率；
（2）利用對立事件的概率求法及獨(dú)立事件乘法公式列方程求.
(1)
設(shè)“任選一道燈謎甲猜對”，“任選一道燈謎乙猜對”，“任選一道燈謎丙猜對”.
則，，，故，，.
“甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對”，且與互斥.
每位同學(xué)獨(dú)立競猜，故，互相獨(dú)立，則與，與，與均相互獨(dú)立.
所以.
答：任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對的概率為.
(2)
設(shè)“甲，乙，丙三個人中至少有一個人猜對”，則.
所以.
解得.
【總結(jié)提升】
1.判斷事件是否相互獨(dú)立的方法
（1）定義法：事件A，B相互獨(dú)立?P(A∩B)＝P(A)·P(B)．
（2）由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響．
2.求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的步驟
(1)首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的；
(2)確定這些事件可以同時發(fā)生；
(3)求出每個事件的概率，再求積．
題型六 概率統(tǒng)計綜合問題
【典例16】（2022春·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)?？计谀┠承母呷昙墝W(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績，將其成績分成，，，，的組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求圖中的值；
(2)估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；
(3)若成績在內(nèi)的學(xué)生中男生占.現(xiàn)從成績在內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取人進(jìn)行分析，求人中恰有名女生的概率.
【答案】(1)
(2)77
(3)
【分析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合頻率分布直方圖中各小矩形面積和為1的特點(diǎn)列式計算即得.
(2)利用頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法直接列式計算即得.
(3)求出成績在內(nèi)的學(xué)生及男女生人數(shù)，再用列舉法即可求出概率.
(1)
由頻率分布直方圖得，解得，
所以圖中的值是0.020.
(2)
由頻率分布直方圖得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)：
，
所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為77.
(3)
數(shù)學(xué)成績在內(nèi)的人數(shù)為(人)，其中男生人數(shù)為(人)，則女生人數(shù)為人，
記名男生分別為，，名女生分別為，，，從數(shù)學(xué)成績在內(nèi)的人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行分析的基本事件為：
，共個不同結(jié)果，它們等可能，
其中人中恰有名女生的基本事件為，共種結(jié)果，
所以人中恰有名女生的概率為為.
【典例17】（2022春·江蘇蘇州·高一江蘇省昆山中學(xué)?？计谀┠吵鞘腥彼畣栴}比較嚴(yán)重，市政府計劃對居民生活用水費(fèi)用實(shí)施階梯式水價，為了解家庭用水量的情況，相關(guān)部分在某區(qū)隨機(jī)調(diào)查了戶居民的月平均用水量（單位：）
得到如下頻率分布表
（1）求上表中，，的值；
（2）試估計該區(qū)居民的月平均用水量；
（3）從上表月平均用水量不少于的戶居民中隨機(jī)抽取戶調(diào)查，求戶居民來自不同分組的概率．
【答案】（1），，；（2）；（3）.
【分析】（1）根據(jù)表中頻數(shù)和為，頻率和為，頻數(shù)總數(shù)頻率求解即可；（2）用各組組中值乘頻率再相加即可；（3）運(yùn)用列舉法列舉樣本空間和事件，利用概率公式求解即可.
【詳解】（1）由表可知，，
由頻數(shù)相加為可得得，
則.
（2）由表可得，所以該區(qū)居民的月平均用水量為
（3）上表月平均用水量不少于的戶居民人來自組，分別記為；人來自組，分別記為.
設(shè)“戶居民來自不同分組”為事件，
則，基本事件總數(shù)，
，包含的基本事件數(shù)，
故.
所以戶居民來自不同分組的概率為
【典例18】（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：
甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表
乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表
（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；
（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)?
【答案】（1）甲分廠加工出來的級品的概率為，乙分廠加工出來的級品的概率為；（2）選甲分廠，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)兩個頻數(shù)分布表即可求出；
（2）根據(jù)題意分別求出甲乙兩廠加工件產(chǎn)品的總利潤，即可求出平均利潤，由此作出選擇．
【詳解】（1）由表可知，甲廠加工出來的一件產(chǎn)品為級品的概率為，乙廠加工出來的一件產(chǎn)品為級品的概率為；
（2）甲分廠加工件產(chǎn)品的總利潤為元，
所以甲分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤為元每件；
乙分廠加工件產(chǎn)品的總利潤為
元，
所以乙分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤為元每件．
故廠家選擇甲分廠承接加工任務(wù)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用，以及平均數(shù)的求法，并根據(jù)平均值作出決策，屬于基礎(chǔ)題．
【總結(jié)提升】
求解以統(tǒng)計圖表為背景的隨機(jī)事件的頻率或概率問題的關(guān)鍵點(diǎn)
求解該類問題的關(guān)鍵是由所給頻率分布表、頻率分布直方圖或莖葉圖等圖表，計算出所求隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻數(shù)．
一、單選題
1．（2022·高一課時練習(xí)）中國農(nóng)歷的二十四節(jié)氣是中華民族的智慧與傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，二十四節(jié)氣歌是以春、夏、秋、冬開始的四句詩．在國際氣象界，二十四節(jié)氣被譽(yù)為“中國的第五大發(fā)明”．2016年11月30日，二十四節(jié)氣被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．某小學(xué)三年級共有學(xué)生500名，隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問二十四節(jié)氣歌，只能說出兩句的有45人，能說出三句及以上的有32人，據(jù)此估計該校三年級的500名學(xué)生中，對二十四節(jié)氣歌只能說出一句或一句也說不出的有（ ）
A．69人B．84人C．108人D．115人
【答案】D
【分析】首先求100名學(xué)生中只能說出一句或一句也說不出的學(xué)生人數(shù)，確定人數(shù)比例，再由等比例的性質(zhì)求500名學(xué)生中只能說出一句或一句也說不出的人數(shù)即可.
【詳解】由題意，隨機(jī)抽查的100名學(xué)生中，只能說出一句或一句也說不出的學(xué)生有（人），
∴只能說出一句或一句也說不出的學(xué)生占的比例為，
估計該校三年級的500名學(xué)生中，只能說出一句或一句也說不出的學(xué)生共有（人）．
故選：D．
2．（2020春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）下列敘述正確的是
A．頻率是穩(wěn)定的，概率是隨機(jī)的
B．互斥事件一定不是對立事件，但是對立事件一定是互斥事件
C．5張獎券中有1張有獎，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有獎獎券的可能性小
D．若事件A發(fā)生的概率為P(A)，則
【答案】D
【分析】根據(jù)概率的意義判斷，根據(jù)互斥事件和對立事件的定義判斷．
【詳解】頻率是隨機(jī)變化的，概率是頻率的穩(wěn)定值，A錯；
互斥事件也可能是對立事件，對立事件一定是互斥事件，B錯；
5張獎券中有1張有獎，甲先抽，乙后抽，那么乙、甲抽到有獎獎券的可能性一樣大，都是，C錯；
由概率的定義，隨機(jī)事件的概率在上，D正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查概率的意義，考查互斥事件和對立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．
3．（2021春·江蘇·高一校聯(lián)考期中）我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗(yàn)得米夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒夾谷28粒，則這批米谷約為（ ）
A．134石B．169石C．338石D．454石
【答案】B
【分析】根據(jù)條件“254粒夾谷28?！奔纯晒烙嬤@批米內(nèi)夾谷大約多少.
【詳解】由題意可知：這批米內(nèi)夾谷約為石，故選B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了用樣本估計總體，用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想，屬于容易題.
4．（2022春·江蘇南通·高一金沙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲乙兩運(yùn)動員進(jìn)行乒乓球比賽，采用7局4勝制．在一局比賽中，先得11分的運(yùn)動員為勝方，但打到10：10平后，先多得2分者為勝方．在10：10平后，雙方實(shí)行輪換發(fā)球法，每人每次只發(fā)1個球．若在某局比賽中，甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，在雙方10：10平后，甲先發(fā)球，則甲以13：11贏下此局的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意，分為乙分別在第一二場勝兩種情況，結(jié)合概率的乘法公式以及加法公式，可得答案.
【詳解】由題意，此局分兩種情況：
（1）后四球勝方依次為甲乙甲甲，概率為：；
（2）后四球勝方依次為乙甲甲甲，概率為：；
所以，所求事件概率為.
故選：C.
5．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）從甲袋中摸出1個紅球的概率是，從乙袋中摸出1個紅球的概率是，從兩袋中各摸出1個球，則可能是（ ）
A．2個球不都是紅球的概率B．2個球都是紅球的概率
C．至少有1個紅球的概率D．2個球中恰有1個紅球的概率
【答案】C
【分析】運(yùn)用概率計算公式分別計算四個選項(xiàng)中事件的概率即可.
【詳解】記4個選項(xiàng)中的事件依次分別為A，B，C，D，
則，故A錯誤；
，故B錯誤；
，故C正確；
．故D錯誤.
故選：C．
6．（2022春·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)?？计谥校S種人群中各種血型的人所占的比例見下表：
已知同種血型的人可以輸血，O型血可以給任何一種血型的人輸血，任何血型的人都可以給AB血型的人輸血，其他不同血型的人不能互相輸血，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．任找一個人，AB型血的人能為其輸血的概率是0.65
B．任找一個人，B型血的人能為其輸血的概率是0.29
C．任找一個人，其血可以輸給O型血的人的概率是1
D．任找一個人，其血可以輸給B型血的人的概率是0.64
【答案】D
【分析】根據(jù)輸血的規(guī)則，AB血型只能給AB血型人輸血，B型血能輸給B型、AB型，可以輸給B型血的人為B或O型，可以輸給O型血的人只能是O型.
【詳解】對于A，AB血型的人只能給AB型的輸血，故概率為0.08，錯誤；
對于B，B血型的人能給B型輸血，也可給AB血型輸血，故概率為，錯誤；
對于C，能給O型血輸血的只能是O型，故概率為0.35，錯誤；
對于D，O型、 B型血可以輸給B型血的人，故概率為，正確.
故選：D
二、多選題
7．（2020春·江蘇淮安·高一馬壩高中校考期中）下列說法正確的是（ ）
A．一個人打靶，打了10發(fā)子彈，有6發(fā)子彈中靶，因此這個人中靶的概率為0.6
B．某地發(fā)行福利彩票，其回報率為47%，有個人花了100元錢買彩票，一定會有47元回報
C．5張獎券中有一張有獎，甲先抽，乙后抽，則乙與甲中獎的可能性相同
D．大量試驗(yàn)后，可以用頻率近似估計概率.
【答案】CD
【分析】由概率統(tǒng)計的基本概念逐一核對四個選項(xiàng)得答案．
【詳解】解：、某人打靶，射擊10次，擊中6次，那么此人中靶的頻率為0.6，故錯誤；
、買這種彩票是一個隨機(jī)事件，中獎或者不中獎都有可能，但事先無法預(yù)料，故錯誤；
、根據(jù)古典概型的概率公式可知C正確；
、大量試驗(yàn)后，可以用頻率近似估計概率，故正確．
故選：CD．
8．（2022春·江蘇南京·高一南京市秦淮中學(xué)校考期中）從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋各摸出一個球，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．2個球都是紅球的概率為
B．2個球不都是紅球的概率為
C．至少有1個紅球的概率為
D．2個球中恰有1個紅球的概率為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式計算2個球都是紅球的概率，判斷A;利用對立事件的概率計算方法求得2個球不都是紅球的概率，判斷B;根據(jù)對立事件的概率計算判斷C;根據(jù)互斥事件的概率計算可判斷D.
【詳解】設(shè)“從甲袋中摸出一個紅球”為事件，從“乙袋中摸出一個紅球”為事件，
則，，
對于A選項(xiàng)，2個球都是紅球?yàn)椋涓怕蕿?，故A選項(xiàng)正確，
對于B選項(xiàng)，“2個球不都是紅球”是“2個球都是紅球”的對立事件，其概率為，故B選項(xiàng)錯誤，
對于C選項(xiàng)，2個球至少有一個紅球的概率為，故C選項(xiàng)正確，
對于D選項(xiàng)，2個球中恰有1個紅球的概率為，故D選項(xiàng)正確．
故選：ACD．
三、填空題
9．（2022春·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，互斥，則___________.
【答案】0
【分析】根據(jù)互斥事件的概念即可得結(jié)果.
【詳解】由于，互斥，即不可能同時發(fā)生，
所以，
故答案為：0.
10．（2021春·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)?？计谀┠车赜?000人參加自學(xué)考試，為了了解他們的成績，從中抽取一個樣本，若每個考生被抽到的概率都是0.04，則這個樣本的容量是__________.
【答案】40
【分析】每個考生被抽到的概率等于樣本容量與總體數(shù)目的比值.
【詳解】由題知，樣本容量.
故答案為：40.
11.（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是_____.
【答案】
【分析】分別求出基本事件總數(shù)，點(diǎn)數(shù)和為5的種數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．
【詳解】根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為個.
點(diǎn)數(shù)和為5的基本事件有，，，共4個.
∴出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)和為5的概率為.
故答案為：.
12．（2022·江蘇·高一開學(xué)考試）某水果公司新購進(jìn)千克柑橘，每千克柑橘的成本為元．柑橘在運(yùn)輸、存儲過程中會有損壞，銷售人員從所有的柑橘中隨機(jī)抽取若干柑橘，進(jìn)行“柑橘損壞率”統(tǒng)計，并把獲得的數(shù)據(jù)記錄如表所示：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計柑橘損壞的概率為_________（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；由此可知，去掉損壞的柑橘后，水果公司為了不虧本，完好柑橘每千克的售價至少為_________元．
【答案】 ； .
【分析】（1）通過觀察表格即可得解；
（2）設(shè)每千克柑橘的銷售價為元，解不等式即得解.
【詳解】解：（1）從表格可以看出，柑橘損壞的頻率在常數(shù)左右擺動，并且隨統(tǒng)計量的增加這種規(guī)律逐漸明顯，可以把柑橘損壞的概率估計為這個常數(shù)為；
（2）根據(jù)估計的概率可以知道，在千克柑橘中完好柑橘的質(zhì)量為千克．
設(shè)每千克柑橘的銷售價為元，則應(yīng)有，
解得．
所以去掉損壞的柑橘后，水果公司為了不虧本，完好柑橘每千克的售價至少為元，
故答案為：，．
四、解答題
14．（2022春·江蘇無錫·高一輔仁高中?？计谀?）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，“兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)”，判斷事件A與事件B是否相互獨(dú)立，并說明理由.
（2）甲乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊考核測試，每人每次有兩次射擊機(jī)會，若兩次機(jī)會中至少有一次中靶，則考核通過.已知甲的中靶概率是0.7，乙的中靶概率是0.6，甲乙兩人射擊互不影響.求兩人中恰有一人通過考核的概率.
【答案】（1）事件A與B獨(dú)立，理由見解析；（2）0.2212.
【分析】（1）驗(yàn)證是否有即可得；
（2）設(shè)C=“甲通過考核”，D=“乙通過考核”，由對立事件和互斥事件的概率公式計算．
【詳解】（1），
，
，
則，所以事件A與B獨(dú)立；
（2）設(shè)C=“甲通過考核”，D=“乙通過考核”.
，
，
.
即恰有一人通過考核的概率為0.2212.
15.（2022·全國·高一專題練習(xí)）在某地區(qū)，某項(xiàng)職業(yè)的從業(yè)者共約8.5萬人，其中約3.4萬人患有某種職業(yè)?。簽榱私膺@種職業(yè)病與某項(xiàng)身體指標(biāo)（檢測值為不超過6的正整數(shù)）間的關(guān)系，依據(jù)是否患有職業(yè)病，使用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了100名從業(yè)者，記錄他們該項(xiàng)身體指標(biāo)的檢測值，整理得到如下統(tǒng)計圖：
（1）求樣本中患病者的人數(shù)和圖中a，b的值；
（2）試估計此地區(qū)該項(xiàng)身體指標(biāo)檢測值不低于5的從業(yè)者的人數(shù)；
（3）某研究機(jī)構(gòu)提出，可以選取常數(shù)，若一名從業(yè)者該項(xiàng)身體指標(biāo)檢測值大于，則判定其患有這種職業(yè)??；若檢測值小于，則判定其未患有這種職業(yè)病.從樣本中隨機(jī)選擇一名從業(yè)者，按照這種方式判斷其是否患病，求判斷錯誤的概率.
【答案】（1）患病者的人數(shù)為40，，；（2）31450；（3）.
【分析】（1）根據(jù)分層抽樣原則，容量為100的樣本中，患病者的人數(shù)為40人，由此能求出，．
（2）指標(biāo)檢測值不低于5的樣本中，有患病者28人，未患病者9人，共37人，此地區(qū)該項(xiàng)身體指標(biāo)檢測值不低于5的從業(yè)者的人數(shù)．
（3）當(dāng)時，在100個樣本數(shù)據(jù)中，有12名患病者被誤判為未患病，有9名未患病者被誤判為患病者，由此能判斷錯誤的概率．
【詳解】（1）根據(jù)分層抽樣原則，容量為100的樣本中，患病者的人數(shù)為.
，.
（2）由（1）可知，患病者的人數(shù)為，未患病的人數(shù)為，該項(xiàng)身體指標(biāo)檢測值不低于5的樣本中，有患病者（人），未患病者（人），共37人.
故估計此地區(qū)該項(xiàng)身體指標(biāo)檢測值不低于5的從業(yè)者的人數(shù)為.
（3）當(dāng)時，在100個樣本數(shù)據(jù)中，有（名）患病者被誤判為未患病，有（名）未患病者被誤判為患病，
因此判斷錯誤的概率為.
16．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，
（1）求甲連勝四場的概率；
（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；
（3）求丙最終獲勝的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率；
（2）計算出四局以內(nèi)結(jié)束比賽的概率，然后利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（3）列舉出甲贏的基本事件，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式計算出甲贏的概率，由對稱性可知乙贏的概率和甲贏的概率相等，再利用對立事件的概率可求得丙贏的概率.
【詳解】（1）記事件甲連勝四場，則；
（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，
則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為
，
所以，需要進(jìn)行第五場比賽的概率為；
（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，
記事件甲贏，記事件丙贏，
則甲贏的基本事件包括：、、、
、、、、，
所以，甲贏的概率為.
由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，
所以丙贏的概率為.
名稱
條件
結(jié)論
符號表示
互斥事件
AB為不可能事件
事件A與事件B互斥
AB＝?
對立事件
AB為不可能事件，A+B為必然事件
事件A與事件B互為對立事件
AB＝?，P(A+B)＝1
分組
頻數(shù)
頻率
合計
等級
A
B
C
D
頻數(shù)
40
20
20
20
等級
A
B
C
D
頻數(shù)
28
17
34
21
血型
A
B
AB
O
該血型的人所占比例
0.28
0.29
0.08
0.35
柑橘總重量千克
損壞柑橘重量千克
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