第10講 利用基本不等式求范圍與最值【必備知識(shí)】1.公式總結(jié)1.余弦定理三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍,即中       推論$2.正弦定理在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,即在中,3.正弦定理變形及推廣(1);(2)為的外接圓半徑);(3)(R為的外接圓半徑).4.三角形中內(nèi)角的三角函數(shù)關(guān)系在 中,,則(1).(2)(3) (4)5.三角形中的邊角關(guān)系(大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊).6.三角形面積公式  2.三角形中求范圍與最值的方法求有關(guān)面積或周長(zhǎng)的最值(范圍)問(wèn)題,一般轉(zhuǎn)化為某個(gè)角的正弦(余弦)函數(shù),利用正弦(余弦)函數(shù)的有界性求解,或利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,再應(yīng)用基本不等式求解.1.求三角形周長(zhǎng)的取值范圍或最值一般轉(zhuǎn)化為求邊的取值范圍或最值,有時(shí)也可以整體求值.把,或看成一個(gè)整體,利用均值不等式求解.或者利用正弦定理講邊轉(zhuǎn)化為三角函數(shù),利用角的范圍,求解三角函數(shù)的范圍.2.對(duì)于三角形中的面積最值問(wèn)題,通常利用均值不等式求解,,的范圍,或者轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值,需熟練掌握求三角函數(shù)最值的一些常見(jiàn)方法, 解題時(shí)注意角的取值范圍.      【典例剖析】類(lèi)型一:利用均值不等式求周長(zhǎng)的范圍與最值1．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，且的面積，則周長(zhǎng)的最大值是（       ）A． B． C． D． 2．在中，已知，，則周長(zhǎng)的最大值為（       ）A．8 B．10 C．12 D．14 3．已知中，、分別是線段、的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且，若，則周長(zhǎng)的最大值為__________ 4．已知向量，，函數(shù)．(1)求函數(shù)在上的最大值；(2)若的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，求的周長(zhǎng)的取值范圍．     類(lèi)型二:利用均值不等式求面積的范圍與最值1．的外接圓半徑，角，則面積的最大值為（       ）A． B． C．4 D． 2．在中，，D是BC上一點(diǎn)，且，，則面積的最大值是（       ）A． B． C． D． 3．已知，，分別是內(nèi)角，，的對(duì)邊，，當(dāng)時(shí)，面積的最大值為______． 4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)．(1)求角A；(2)若，且AD＝2，求△ABC面積的最大值．    類(lèi)型三:利用均值不等式求角度的范圍與最值1．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2csin C＝(a＋b)(sin B－sin A)，則當(dāng)角C取得最大值時(shí)，B＝（       ）A． B． C． D． 2．已知中，角的對(duì)邊分別為.若，則的最大值為（       ）A． B． C． D． 3．在中，，若，則的最大值是____________． 4．在中，三邊a，b，c所對(duì)應(yīng)的角分別是A，B，C．已知a，b，c成等比數(shù)列．（1）求角的取值范圍；（2）若，求角的值.       類(lèi)型四:利用均值不等式求線段的范圍與最值1．在中，，是線段上的點(diǎn)，，若的面積為，則的最大值是（       ）A． B． C．1 D． 2．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則邊上的中線長(zhǎng)的取值范圍是（       ）A． B． C． D． 3．在中，，，D為BC中點(diǎn)，則AD最長(zhǎng)為_________. 4．在中，角，，對(duì)邊分別為，，，已知，且．(1)求角；(2)若為中點(diǎn)，求的最大值．     【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．已知銳角△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若△ABC的面積，且，則S的最大值為（       ）A．6 B．4C．2 D．1 2．在中，角所對(duì)的邊分別為，若，，則周長(zhǎng)的取值范圍是（       ）A． B． C． D． 3．已知的三個(gè)內(nèi)角分別為、、.若，則的最大值為（       ）A． B． C． D． 4．在中，的平分線交于點(diǎn)，，則周長(zhǎng)的最小值為（       ）A． B． C． D． 5．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，且，則的最大值為（       ）A． B． C． D． 3．已知三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，且，邊上的高為，則的最大值為（       ）A． B．3 C． D．12 二、多選題7．設(shè)的內(nèi)角、、所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為、、，下列命題正確的是（       ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則 8．在中，、、所對(duì)的邊為、、，設(shè)邊上的中點(diǎn)為，的面積為，其中，，下列選項(xiàng)正確的是（       ）A．若，則 B．的最大值為C． D．角的最小值為 三、填空題9．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，其中，，則S的最大值為______． 10．若的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，三角形ABC的面積為S，若，則______. 11．已知銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．若，則外接圓面積的最小值為______． 12．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．若的面積為，則的最小值為______． 四、解答題13．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，．(1)若，求的值；(2)若的面積為，求邊長(zhǎng)c的最小值．   14．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，．(1)求A；(2)若，求△ABC面積的最大值．       15．已知在中，角的對(duì)邊分別為，，且，(1)若，，求；(2)若，求的最大值．      16．在 ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.(1)求角B；(2)若D為AC的中點(diǎn)，且，求 ABC面積的最大值.
 

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