【單元測試】高中數(shù)學人教A版(2019)必修第二冊--單元素養(yǎng)測評卷三第八章立體幾何初步（含解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

單元素養(yǎng)測評卷(三) 時間：120分鐘　滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．下列命題錯誤的是(　　) A．若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線 B．如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，則另一條直線也與這個平面平行 C．如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行 D．一個平面垂直于二面角的棱，它和二面角的兩個面的交線形成的角就是二面角的一個平面角 2．以下結論正確的是(　　) A．已知一個圓錐的母線長為2，其側(cè)面積為2π，則該圓錐的高為1 B．在水平平面上用斜二測畫法作出邊長為2的正方形的直觀圖的面積為2 C．若平面α∥平面β ，直線a?α，直線b?β，則a∥b D．若平面α⊥平面β，α∩β＝l, 直線a?α，a⊥l，則a⊥β 3．如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π，那么圓柱的體積等于(　　) A． eq \f(π,2) B． eq \f(π,3) C．πD．2π 4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線A1B與AD1所成角的大小為(　　) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3) C． eq \f(2π,3) D． eq \f(5π,6) 5．正四棱臺的上、下底面邊長分別為2 cm，3 cm，側(cè)棱長為 eq \r(2) cm，則棱臺的側(cè)面積為(　　) A．4 cm2B．5 eq \r(7) cm2C．4 eq \r(3) cm2D．8 eq \r(3) cm2 6. 據(jù)《九章算術》記載，“鱉臑”為四個面都是直角三角形的三棱錐．如圖所示，現(xiàn)有一個“鱉臑”，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC＝2，三棱錐外接球表面積為(　　) A．10πB．12π C．14πD．16π 7. 如圖，正方體ABCD -A1B1C1D1中，若E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CC1，B1C1的中點，O1，O2分別是四邊形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，則下列判斷錯誤的是(　　) A．A，C，O1，D1四點共面 B．D，E，G，F(xiàn)四點共面 C．A，E，F(xiàn)，D1四點共面 D．G，E，O1，O2四點共面 8．在正方體ABCD -A1B1C1D1中，點E在線段B1D上，則(　　) A．DE與AC所成角等于60° B．AE∥平面BDC1 C．平面A1EC⊥平面C1BD D．三棱錐E-C1BD體積為定值二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分． 9．下列說法正確的是(　　) A．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱 B．棱錐的側(cè)面一定都是三角形 C．棱臺各側(cè)棱所在直線必交于一點 D．有兩個面為矩形且相互平行，其余四個面均為等腰梯形的幾何體一定是四棱臺 10．設有三條不重合直線a，b，c和三個不重合平面α，β，γ，則下列命題中正確的有(　　) A．若a∥c，b∥c則a∥b B．若a⊥c，b⊥c，則a⊥b C．若α∥γ，β∥γ則α∥β D．若α⊥γ，β⊥γ則α⊥β 11．下面敘述正確的是(　　) A．垂直于同一直線的兩條直線相互平行 B．正三角形的平面直觀圖一定不是等腰三角形 C．圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的體積之比為2∶3 D．若兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直 12．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1D1，BC的中點，則(　　) A．BE與CD異面 B．平面A1BE∥平面AFG C．平面AFG⊥平面ABCD D．BE與DD1所成角的正切值為 eq \f(1,2) 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13．若直線a∥平面α，b?α，則a與b的位置關系是________． 14. 如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的組合體，現(xiàn)用一個垂直于圓柱底面的平面去截這個組合體﹐則截面圖形可能是________(填序號). 15．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是側(cè)面BB1C1C內(nèi)的一個動點，則三棱錐D-AED1的體積為________． 16．已知一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，且這個球的體積為 eq \f(32,3) π，那么這個三棱柱的側(cè)面積為________，體積為________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17. (本小題10分)如圖，已知圓錐的頂點為P，O是底面圓心，AB是底面圓的直徑，PB＝5，OB＝3. (1)求圓錐的表面積； (2)經(jīng)過圓錐的高PO的中點O′作平行于圓錐底面的截面，求截得的圓臺的體積． 18．(本小題12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB, E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點． (1)求證：PC⊥AD； (2)求證：平面PAB∥平面EFG. 19．(本小題12分)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中． (1)求證：BC1∥平面AB1D1； (2)作出二面角B1-AD1-B的平面角，并說明理由． 20．(本小題12分)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝CB＝CC1＝2，∠ACB＝120°，E為AB的中點． (1)求證：AC1∥平面B1CE； (2)求三棱錐C1-B1CE的體積． 21.(本小題12分)如圖所示，已知菱形ABCD和矩形BDEF所在平面互相垂直，AB＝2，∠BAD＝120°，DE＝3. (1)證明：平面ACF⊥平面BDEF； (2)設AD中點為G，求直線FG與底面ABCD所成角的余弦值． 22．(本小題12分)如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，DC＝3，點E在CD上，且DE＝2，將△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE，G為AE中點． (1)求證：DG⊥平面ABCE； (2)求四棱錐D-ABCE的體積； (3)在線段BD上是否存在點P，使得CP∥平面ADE？若存在，求 eq \f(BP,BD) 的值；若不存在，請說明理由．單元素養(yǎng)測評卷(三) 1．答案：B 解析：一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線，故A正確；如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，則另一條直線與這個平面平行或在這個平面內(nèi)，故B錯誤；如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行，故C正確；一個平面垂直于二面角的棱，它和二面角的兩個面的交線都垂直，故它們形成的角就是二面角的一個平面角，故D正確. 故選B. 2．答案：D 解析：S側(cè)＝πrl＝2π可得r＝1，所以h＝ eq \r(l2－r2)＝ eq \r(3)，故A錯誤；因為原圖形的面積S＝22＝4，所以斜二測畫法的直觀圖面積S′＝ eq \f(\r(2),4)S＝ eq \r(2)，故B錯誤；平面α∥平面β ，直線a?α，直線b?β，則a，b可能異面也可能平行，故C錯誤；由面面垂直的性質(zhì)定理可知，平面α⊥平面β，α∩β＝l, 直線a?α，a⊥l，則a⊥β，故D正確．故選D. 3．答案：D 解析：因為圓柱的軸截面為正方形，設圓柱的底面半徑為r，則高為2r， S側(cè)＝2πr×2r＝4πr2＝4π，則r＝1，故圓柱的體積為πr2×2r＝2π. 故選D. 4．答案：B 解析：畫出圖象如圖所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知A1B∥D1C，所以∠AD1C是直線A1B與AD1所成角或其補角，由于三角形ACD1是等邊三角形，所以∠AD1C＝ eq \f(π,3)，即直線A1B與AD1所成角的大小為 eq \f(π,3). 故選B. 5．答案：B 解析：由題意，正四棱臺的側(cè)面是等腰梯形，且其上、下底面邊長分別為2 cm，3 cm，腰長為 eq \r(2) cm，所以斜高為h′＝ eq \r(（\r(2)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(7),2). 所以側(cè)面積為S＝ eq \f(1,2)(2＋3)× eq \f(\r(7),2)×4＝5 eq \r(7)(cm2). 故選B. 6．答案：B 解析：如圖，將三棱錐補形為正方體，則外接球半徑R＝ eq \f(PC,2) ＝ eq \f(\r(AP2＋AB2＋BC2),2) ＝ eq \f(\r(4＋4＋4),2)＝ eq \r(3). 所以三棱錐外接球表面積S＝4πR2＝4π×3＝12π. 故選B. 7．答案：B 解析：因為正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CC1，B1C1的中點，O1，O2分別為四邊形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，所以O1是AD1的中點，所以O1在平面ACD1上，故A正確；因為E，G，F(xiàn)在平面BCC1B1上，D不在平面BCC1B1上，所以D，E，G，F(xiàn)四點不共面，故B錯誤；由已知可知EF∥AD1，所以A，E，F(xiàn)，D1四點共面，故C正確；連接GO2并延長，交A1D1于點H，則H為A1D1的中點，連接HO1，則HO1∥AA1∥GE，所以G，E，O1，O2四點共面，故D正確．故選B. 8．答案：C 解析：對于A，連接BD， ∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD； ∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥BB1；又BB1∩BD＝B，BB1，BD?平面BB1D，∴AC⊥平面BB1D，又DE?平面BB1D，∴AC⊥DE，A錯誤；對于B，連接AD1，D1E，假設AE∥平面BDC1， ∵AD1∥BC1，BC1?平面BDC1，AD1?平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1，又AE∩AD1＝A，AE，AD1?平面AED1，∴平面AED1∥平面BDC1， ∵D1E?平面AED1，∴D1E∥平面BDC1，又D1E?平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面BDC1＝BD，∴D1E∥BD，當E與B1不重合時，顯然D1E∥BD不成立，B錯誤；對于C，∵AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴AA1⊥BD；又AC⊥BD，AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC， ∵A1C?平面A1AC，∴A1C⊥BD；同理可得A1C⊥BC1， ∵BC1∩BD＝B，BC1，BD?平面BDC1，∴A1C⊥平面BDC1， ∵A1C?平面A1EC，∴平面A1EC⊥平面C1BD，C正確；對于D，∵B1D∩平面BDC1＝D，∴當E為線段B1D上的動點時，其到平面BDC1的距離不是定值，∴三棱錐E-C1BD體積不是定值，D錯誤．故選C. 9．答案：BC 解析：如圖所示：將兩個平行六面體合在一起，但不是棱柱，故A錯誤；根據(jù)棱錐的定義可知：棱錐的側(cè)面一定都是三角形，故B正確；根據(jù)棱臺的定義可知：棱臺各側(cè)棱所在直線必交于一點，故C正確；如圖所示：該幾何體的上下底面是兩個全等的矩形，兩矩形平行，且上面矩形的長與下面矩形的寬對應平行，則四個側(cè)面均為等腰梯形，但四條側(cè)棱并不交于同一點，故不是四棱臺，故D錯誤．故選BC. 10．答案：AC 解析：由平行線的傳遞性可知，若a∥c，b∥c，則a∥b，所以A正確；若a⊥c，b⊥c，則a與b可能平行，可能相交，也可能異面，所以B錯誤；根據(jù)平行面的傳遞性可知，若α∥γ，β∥γ，則α∥β，所以C正確；若α⊥γ，β⊥γ，則α，β可能平行，也可能相交，所以D錯誤；故選AC. 11．答案：BCD 解析：正方體同一頂點的三條棱兩兩垂直，則垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯誤；正三角形的直觀圖中高為原來的一半且與底邊成45°，不為等腰三角形，選項B正確；圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑2R，則球的體積為 eq \f(4πR3,3)，圓柱的體積為 2πR3 ，球與圓柱的體積之比為2∶3，選項C正確；若兩個平面α，β垂直，假設平面α內(nèi)與它們的交線l不垂直的直線l1與平面β垂直，因為l1⊥β，且平面α，β的交線l?β，所以可得l1⊥l，這與條件l與l1不垂直相互矛盾，所以假設不成立，原命題成立，故D正確．故選BCD. 12．答案：ABD 解析：如圖，BE與CD異面，A正確．依題意可證A1E∥AG，BE∥AF，因為AG?平面AFG，A1E?平面AFG，所以A1E∥平面AFG，同理可證BE∥平面AFG，因為AF∩AG＝A，所以平面A1BE∥平面AFG，B正確．由圖可知，平面AFG與平面ABCD不垂直，C錯誤．BE與DD1所成的角即BE與BB1所成的角，所以BE與DD1所成角的正切值為tan ∠B1BE＝ eq \f(B1E,B1B)＝ eq \f(1,2)，D正確． 13．答案：平行或異面解析：由題意知，直線a與b沒有公共點，則a與b平行或異面． 14．答案：①⑤ 解析：由題意，當截面過旋轉(zhuǎn)軸時，圓錐的軸截面為等腰三角形，此時①符合條件；當截面不過旋轉(zhuǎn)軸時，圓錐的軸截面為雙曲線的一支，此時⑤符合條件，綜上可知截面的圖形可能是①⑤. 15．答案： eq \f(4,3) 解析：點E到平面ADD1的距離為2，所以＝ eq \f(4,3). 16．答案：48 eq \r(3)　48 eq \r(3) 解析：設球的半徑為r，則 eq \f(4,3)πr3＝ eq \f(32π,3)，得r＝2，所以正三棱柱的高為2r＝4.又正三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓半徑與球的半徑相等，設底面邊長為a，則2＝ eq \f(1,3)× eq \f(\r(3),2)a，解得a＝4 eq \r(3)，所以底面正三角形的邊長為4 eq \r(3)，所以正三棱柱的側(cè)面積S側(cè)＝3×4×4 eq \r(3)＝48 eq \r(3)，體積V＝ eq \f(\r(3),4)×(4 eq \r(3))2×4＝48 eq \r(3). 17．解析：(1)由題意可知，該圓錐的底面半徑r＝3，母線l＝5. ∴該圓錐的表面積S＝πr2＋πrl＝π×32＋π×3×5＝24π. (2)在Rt△POB中，PO＝ eq \r(PB2－OB2)＝ eq \r(52－32)＝4， ∵O′是PO的中點，∴PO′＝2. ∴小圓錐的高h′＝2，小圓錐的底面半徑r′＝ eq \f(1,2)r＝ eq \f(3,2)， ∴截得的圓臺的體積V臺＝V大－V小＝ eq \f(1,3)×π×32×4－ eq \f(1,3)×π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(2)×2＝ eq \f(21π,2). 18．證明：(1)由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，又AD⊥CD(ABCD是正方形)，PD∩CD＝D，所以AD⊥平面PDC，所以AD⊥PC. (2)由E，F(xiàn)分別是線段PC，PD的中點，所以EF∥CD，又ABCD為正方形，AB∥CD，所以EF∥AB，又EF?平面PAB，AB?平面PAB，所以EF∥平面PAB.因為E，G分別是線段PC，BC的中點，所以EG∥PB，又EG?平面PAB，PB?平面PAB，所以EG∥平面PAB.因為EF∩EG＝E，EF，EG?平面EFG，所以平面EFG∥平面PAB. 19．解析：(1)證明：∵ABCD-A1B1C1D1是正方體， ∴AB∥C1D1，且AB＝C1D1， ∴四邊形ABC1D1為平行四邊形， ∴BC1∥AD1， ∵BC1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1， ∴BC1∥平面AB1D1. (2)取BC1、AD1中點分別為P、Q，連接B1Q、PQ，則∠B1QP為二面角B1-AD1-B的平面角，理由如下：設正方體的棱長為a，則AB1＝B1D1＝ eq \r(2)a，所以B1Q⊥AD1. ∵P、Q分別為BC1、AD1中點， ∴PQ∥AB. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D， ∴AB⊥AD1， ∴PQ⊥AD1, ∴∠B1QP為二面角B1-AD1-B的平面角. 20．解析： (1)證明：連接BC1，設C1B∩CB1＝O，連接OE，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形BB1C1C為平行四邊形，則O為BC1的中點，又因為E為AB的中點，則OE∥AC1，因為AC1?平面B1CE，OE?平面B1CE，因此，AC1∥平面B1CE. 21．解析：(1)證明：∵平面ABCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF＝BD. 因為四邊形ABCD為菱形， ∴AC⊥BD，AC?平面ABCD， ∴AC⊥平面BDEF. ∵AC?平面ACF， ∴平面ACF⊥平面BDEF. (2)因為平面ABCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF＝BD；四邊形BDEF是矩形，所以BF⊥BD?BF⊥底面ABCD. 在△BAG中，BG2＝22＋12－2×2×1×cos 120°＝5＋2＝7， ∴BG＝ eq \r(7)，F(xiàn)G＝ eq \r(BF2＋BG2)＝4. ∠FGB即為直線FG與平面ABCD所成角，在△BFG中，cos ∠FGB＝ eq \f(BG,FG)＝ eq \f(\r(7),4). 22．解析：(1)證明：因為G為AE中點，AD＝DE＝2，所以DG⊥AE. 因為平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE， DG?平面ADE，所以DG⊥平面ABCE. (2)在直角三角形ADE中， ∵AD＝DE＝2， ∴AE＝2 eq \r(2)， ∴DG＝ eq \f(1,2)AE＝ eq \r(2). 又梯形ABCE的面積S＝ eq \f(1,2)×(1＋4)×2＝5，所以四棱錐D-ABCE的體積為 VD-ABCE＝ eq \f(1,3)×S×DG＝ eq \f(1,3)×5× eq \r(2)＝ eq \f(5\r(2),3). (3)過點C作CF∥AE交AB于點F，則AF∶FB＝1∶3. 過點F作FP∥AD交DB于點P，連接PC，則DP∶PB＝1∶3. 又因為CF∥AE，AE?平面ADE，CF?平面ADE，所以CF∥平面ADE. 同理FP∥平面ADE. 又因為CF∩PF＝F，CF?平面PFC，PF?平面PFC, 所以平面PFC∥平面ADE. 因為CP?平面PFC，所以CP∥平面ADE. 所以在BD上存在點P，使得CP∥平面ADE，且 eq \f(BP,BD)＝ eq \f(3,4).