?高中數(shù)學高一下 人教2019A版必修第二冊
7-3復數(shù)的三角表示 課時練習
一、單選題
1．已知，且，則實數(shù)的值為
A．0 B．1
C． D．
2．歐拉公式（為虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關系，它被譽為“數(shù)學中的天橋”，根據(jù)此公式可知，在復平面內(nèi)對應的點位于（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．大數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了一個公式：，是虛數(shù)單位，為自然對數(shù)的底數(shù).此公式被譽為“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)此公式，（????）（注：底數(shù)是正實數(shù)的實數(shù)指數(shù)冪的運算律適用于復數(shù)指數(shù)冪的運算）
A．1 B． C．i D．
4．復數(shù)在復平面對應的點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)所得點對應的復數(shù)為（????）
A． B． C． D．
5．設z=-3+2i，則在復平面內(nèi)對應的點位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．若（為虛數(shù)單位），則是的（????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
7．已知復數(shù)滿足且，則的值為（????）
A． B． C． D．
8．棣莫弗公式（其中為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣茣弗公式可知，復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于（????）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．若復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，則（????）
A．不可能為純虛數(shù)
B．在復平面內(nèi)對應的點可能位于第二象限
C．在復平面內(nèi)對應的點一定位于第三象限
D．在復平面內(nèi)對應的點可能位于第四象限
10．在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．已知復數(shù)，則（????）．
A． B． C． D．
12．設，則
A． B． C． D．

二、填空題
13．復數(shù)的三角形式是______．
14．若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則___________.
15．設，，復平面上對應的點分別為，，，．若，，，則四邊形的面積為______．
16．已知復數(shù)，滿足，且，則________．
17．復平面內(nèi)向量對應的復數(shù)為，A點對應的復數(shù)為，現(xiàn)將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的向量為，則點對應的復數(shù)為_________.



三、解答題
18．把下列復數(shù)的三角形式化成代數(shù)形式.
（1）；
（2）.

19．已知復數(shù)z滿足，且是純虛數(shù)．
(1)求z；
(2)求z的輻角主值．

20．設復數(shù)，求函數(shù)的最大值以及對應的值．

21．計算：
(1)；
(2)．

22．一般地，任何一個復數(shù)（，）都可以表示成形式，其中，是復數(shù)的模，是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數(shù)的輻角，叫做復數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式.為了與“三角形式”區(qū)分開來，（，）叫做復數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱“代數(shù)形式”.

(1)畫出復數(shù)對應的向量，并把表示成三角形式；
(2)已知，，，其中，.試求（結(jié)果表示代數(shù)形式）.

23．把下列復數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式.
（1）；
（2）.

答案：
1．C
【分析】先計算，再求得，利用模的計算公式求得a.
【詳解】∵，∴
∴＝3,得，
則，
∴a=，
故選C．
2．B
【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義，以及弧度制即可求解.
【詳解】解：，又，為第二象限角，故
，故在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限.
故選：B.
3．D
【分析】先根據(jù)公式將原式變?yōu)?，再根?jù)注釋將原式變?yōu)?，結(jié)合三角函數(shù)的誘導公式即可計算出結(jié)果.
【詳解】因為，
所以，
故選：D.
4．B
【分析】根據(jù)復數(shù)三角形式，化簡計算，結(jié)合題意，可得旋轉(zhuǎn)后的復數(shù)，即可得答案.
【詳解】，將復數(shù)在復平面對應的點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，
可得.
故選：B
5．C
【分析】先求出共軛復數(shù)再判斷結(jié)果.
【詳解】由得則對應點（-3，-2）位于第三象限．故選C．
6．A
【分析】根據(jù)充分、必要條件的知識確定正確選項.
【詳解】當時，，
當時，可以取，此時，
所以是的充分不必要條件.
故選：A
7．D
【分析】首先根據(jù)條件求得復數(shù)，再利用三角函數(shù)表示復數(shù)，以及結(jié)合歐拉公式，計算復數(shù)的值.
【詳解】設，
，即，
，解得：
，
當時，
，
則

，
當時，

則

，
故選：D
8．C
【分析】根據(jù)棣莫弗公式及誘導公式代入計算即可．
【詳解】解：由己知得，
復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點的坐標為，位于第三象限．
故選：C．
9．D
【分析】利用第二象限的輻角范圍確定的輻角范圍，即可判斷各選項的正誤.
【詳解】由為第二象限，其對應輻角范圍為，
所以對應輻角為，
故在復平面內(nèi)對應的點可能位于第三、四象限及y軸的負半軸.
所以A、B、C錯誤，D正確.
故選：D
10．B
【分析】利用復數(shù)的運算以及幾何意義進行求解判斷.
【詳解】因為，
所以復數(shù)在復平面對應的點為，故A，C，D錯誤.
故選：B.
11．A
【分析】由已知，可根據(jù)題意直接表示出，化簡即可得到結(jié)果.
【詳解】由已知，復數(shù)，


故選：A．
12．C
【詳解】分析：利用復數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)，化簡復數(shù)，然后求解復數(shù)的模.
詳解：
，
則，故選c.
復數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復數(shù)這些重要概念，復數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.
13．
【分析】直接利用輔助角公式計算得到答案.
【詳解】.
故答案為：.
14．##
【分析】根據(jù)復數(shù)，可知其實部和虛部，即可求得答案.
【詳解】因為復數(shù)，其實部和虛部分別為，且在第二象限
故幅角的正切值，由于，則，
故答案為：
15．
【分析】根據(jù)題意，將復數(shù)改寫成三角形式，結(jié)合已知條件分別算出、、、和，即可求解.
【詳解】由，得，由，得，
因，所以，即，且，
又因，所以，即，且,
因此.
故答案為：.
16．
【分析】設，，根據(jù)和可構(gòu)造方程組求得，由此可計算得到結(jié)果.
【詳解】設，，；
，，又，
，解得：或，
或，.
故答案為：.
17．
【分析】利用復數(shù)乘法的幾何意義求得對應的復數(shù).
【詳解】由于向量對應的復數(shù)為，而，現(xiàn)將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的向量為，所以對應的復數(shù)為.
故答案為：
18．（1）（2）
【解析】（1）分別求出 再整理為 的形式.
（2）分別求出 再整理為 的形式.
【詳解】（1）.
（2）.
19．(1)
(2)當時，的輻角主值為；當時，的輻角主值為．

【分析】(1)設，，由條件列方程求即可，(2)根據(jù)輻角主值的定義求解.
【詳解】（1）設，，因為，所以，所以，故，
所以，
又是純虛數(shù)， 所以，所以，
所以
（2）設復數(shù)的輻角主值為，則，
當時，，所以，，，所以，故復數(shù)的輻角主值為；
當時，，所以，，，所以，故復數(shù)的輻角主值為.
20．當時，y取得最大值
【分析】根據(jù)輻角的主值定義，結(jié)合兩角差的正切公式、基本不等式進行求解即可.
【詳解】由，可得，
因為，所以，于是，
當且僅當時取等號，則當時取等號，即當時取等號，因此有，因此函數(shù)的最大值為，此時.
21．(1)；
(2).

【分析】(1)利用復數(shù)三角形式的乘法法則直接進行計算作答.
(2)利用復數(shù)三角形式的除法法則直接進行計算作答.
【詳解】（1）.
（2）
.
22．(1)圖象見解析，
(2)

【分析】（1）根據(jù)對應的點在第四象限畫出圖象，求得復數(shù)的模和輔角即可；
（2）根據(jù)，進而求得，，再利用復數(shù)的乘法求解.
(1)
因為對應的點在第四象限，
所以對應的向量如圖所示.

易得，，，
所以.
所以.
(2)
因為，
所以.
又，，
所以.
所以.
所以，
，
.
23．（1）（2）
【解析】（1）先根據(jù)模公式 求出模來，再根據(jù)其對應的點是在第四象限，求出，最后寫成三角形式.
（2）先根據(jù)模公式 求出模來，再根據(jù)其對應的點是在第四象限，求出，最后寫成三角形式.
【詳解】（1）.
因為與對應的點在第四象限，
所以，
所以.
（2）.
因為與對應的點在第四象限，
所以，
所以.

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7.3* 復數(shù)的三角表示

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