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方法一：分割為四個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形。 
方法二：補(bǔ)成大正方形，用大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積。 
方法三：將幾個(gè)小塊拼成一個(gè)正方形，如圖中兩塊紅色（或綠色）可拼成一個(gè)小正方形。 方法四：利用皮克公式正方形周邊上的格點(diǎn)數(shù)a=12，正方形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)b=13，所以，正方形C的面積為：S=1/2a+b-1。三、史話(huà)勾股定理的證明1．三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，也稱(chēng)為“弦圖”，這是我國(guó)對(duì)勾股定理最早的證明。它用幾何圖形來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何的緊密結(jié)合 。2．傳說(shuō)古希臘的畢達(dá)哥拉斯用下面的兩個(gè)圖形證明了勾股定理，你能直接觀察驗(yàn)證勾股定理嗎？活動(dòng)：通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，你還知道勾股定理的哪些證明方法？請(qǐng)同學(xué)們介紹。1．美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德的證明。 他的方法直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了。2．劉徽的“青朱出入圖”，證明不需用任何數(shù)學(xué)符號(hào)和文字，更不需進(jìn)行運(yùn)算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現(xiàn)，整個(gè)證明單靠移動(dòng)幾塊圖形而得出，被稱(chēng)為“無(wú)字證明”。 3．著名畫(huà)家達(dá)芬奇的證明同學(xué)們，通過(guò)了解勾股定理的歷史，我們感受到古代數(shù)學(xué)家的偉大成就和勾股定理豐富的文化價(jià)值，希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中善于探索，善于創(chuàng)新，并且把這些成就發(fā)揚(yáng)光大。四、欣賞美麗的勾股樹(shù)，感受數(shù)學(xué)圖形之美，創(chuàng)造之美。五、拓展與應(yīng)用 勾股定理中的思想方法數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈魂。正解的運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法也是成功解題的關(guān)鍵。尤其是在運(yùn)用勾股定理解題時(shí)，更應(yīng)注重思想方法的運(yùn)用，那么你知道運(yùn)用勾股定理解題應(yīng)注重哪些思想方法呢？為了幫助同學(xué)們能清楚地知道這一問(wèn)題，現(xiàn)就常用的思想方法舉例說(shuō)明，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考。類(lèi)型之一、分類(lèi)討論思想已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)是
和
，求第三邊的長(zhǎng)。分析 已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)，并沒(méi)有指明是直角邊還是斜邊，因此要分類(lèi)討論。解：當(dāng)和是兩條直角邊時(shí)，則利用勾股定理求得第三條邊即斜邊是
＝5；當(dāng)是直角邊，是斜邊時(shí)，仍由勾股定理求得另一條直角邊是
㎝。說(shuō)明 求解本題許多同學(xué)往往受勾3股4弦5的思維定勢(shì)，而誤認(rèn)為和就是直角三角形的兩條直角邊，斜邊當(dāng)然是
了，從而漏掉一解導(dǎo)致錯(cuò)誤。構(gòu)造直角三角形解題類(lèi)型之二 轉(zhuǎn)化思想 臺(tái)階中的最值問(wèn)題空間圖形的距離最短問(wèn)題是勾股定理在實(shí)際生活中的具體應(yīng)用，一般地求距離最短問(wèn)題要把“立體圖形”轉(zhuǎn)化為“平面圖形”，再利用“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，以及“勾股定理”等知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題涉及的幾何體主要有長(zhǎng)方體、正方體、圓柱等。1．臺(tái)階中的最值問(wèn)題如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于５cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物。請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線(xiàn)路是多少？解：臺(tái)階展開(kāi)成平面如圖所示，連接AB。因?yàn)锽C＝3×3＋1×3＝12，AC=5，所以AB2=AC2+BC2=169，AB＝13cm，所以螞蟻爬行的最短路線(xiàn)為13cm。
B 類(lèi)型之三 方程思想 3．如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵美麗的紅蓮，它高出水面3尺。突然，一陣大風(fēng)吹過(guò)，紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動(dòng)的水平距離為6尺，請(qǐng)問(wèn)水深多少？
分析：由題意，我們知在圖1-1中為AB湖水的深度，AC為荷花的長(zhǎng)，△ABC為直角三角形。解：設(shè)水深為x尺，則荷花的長(zhǎng)為（x+3）尺，由勾股定理得：62+ x2= （x+3）2 解得：x=4．5，所以這個(gè)湖的水深為4．5尺。類(lèi)型之四 數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用勾股定理及其逆用解決有關(guān)航海問(wèn)題的應(yīng)用題，首先要能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出圖形，結(jié)合其他知識(shí)求出直角三角形的未知邊或相關(guān)的量。
例如：甲、乙兩船從港口A同時(shí)出發(fā)，甲船以30海里/小時(shí)的速度向北偏東35°的方向航行，乙船以40海里/小時(shí)的速度另一個(gè)方向航行，2小時(shí)后，甲船達(dá)到C島，乙船到達(dá)B島。若兩島相距100海里，問(wèn)：乙船航行的方向是南偏東多少度？解：如圖所示，在△ABC中，因?yàn)?/span>AC=2 × 30=60，AB=2×40=80，BC=100，所以AC2+BC2=602+802=3600+6400=10000=1002=BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°。由于180°－35°－ 90°= 55°，所以乙船航行的方向是南偏東55 °。六、跟蹤練習(xí)1．已知一個(gè)Rt△ABC的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)的平方是 2．有一個(gè)圓柱，它的高等于13厘米，底面半徑等于3厘米。一只螞蟻從距底面1米的A點(diǎn)爬行到對(duì)角B點(diǎn)處去食物，需要爬行的最短路程是多少？(π的值取3)。解：將圓柱的側(cè)面展開(kāi)成平面圖形，連接AB。因?yàn)锳C＝13－1＝12 cm，BC=3×3＝9cm ，所以AB2=AC2+BC2=225，AB＝15cm，所以螞蟻爬行的最短路線(xiàn)為15cm 。
七、感悟與收獲1．通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)活動(dòng)你有哪些收獲？2．通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你獲得了那些數(shù)學(xué)思想和方法？3．學(xué)習(xí)過(guò)程中你還有什么困惑？【作業(yè)布置】必做題 ： 1．課后練習(xí)；2．獨(dú)立完成一份小結(jié)，用自己的語(yǔ)言梳理本章的內(nèi)容。 選做題： 1.勾股定理不僅在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著重要作用，而且在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛應(yīng)用，請(qǐng)同學(xué)們?cè)嚺e幾例，感受數(shù)學(xué)與生活緊密相連。
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