?北師大版數(shù)學(xué)八上 第一章勾股定理 單元測(cè)試提升卷B卷
一．選擇題（共30分）
1.已知中，，，的對(duì)邊分別是，，．下列條件不能判斷是直角三角形的是（???）
A． B．
C． D．
解：、，
，故是直角三角形；
、，，
，故是直角三角形；
、，
，故不是直角三角形；
、，
，故是直角三角形．
故選：．
2．如圖1，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得△ABC，則AC邊上的高是（????）

A． B． C． D．
解：四邊形DEFA是正方形，面積是4；
△ABF，△ACD的面積相等，且都是1×2＝1．
△BCE的面積是：1×1．
則△ABC的面積是：4﹣1﹣1．
在直角△ADC中根據(jù)勾股定理得到：AC．
設(shè)AC邊上的高線長(zhǎng)是x．則AC?xx，
解得：x．
故選：C．

3．如圖，是一個(gè)棱長(zhǎng)為4cm的正方體盒子，一只螞蟻在D1C1的中點(diǎn)M處，它到BB1的中點(diǎn)N的最短路線是（????）

A．8 B．2 C．2 D．4
解：①沿CC1展開(kāi)，如圖所示，

MN＝＝＝2（cm）．
②沿B1C1展開(kāi)，MN＝＝＝4（cm），

4＜2，
∴最短路線長(zhǎng)是4cm，
故選：D．
4．如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長(zhǎng)為在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處的最短距離為（????）（杯壁厚度不計(jì)）

A． B． C． D．
解：如圖，將杯子側(cè)面展開(kāi)，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)，
連接，則即為最短距離，

在直角中，由勾股定理得
．
故選：C．

5.如圖，點(diǎn)A是射線外一點(diǎn)，連接，若，點(diǎn)A到的距離為．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線以的逃速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為（???）秒時(shí)，為直角三角形．

A． B． C．2或 D．2或
【答案】D
【分析】根據(jù)勾股定理，先求出的長(zhǎng)，再分情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)分別求解即可．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，
點(diǎn)到的距離為，
，
，
根據(jù)勾股定理，得，
當(dāng)時(shí)，如圖所示：

此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，
根據(jù)題意，得，
解得；
當(dāng)時(shí)，如圖所示：

，，，，
，
根據(jù)勾股定理，得，，
，
解得，
或，
故選：D．

6.如圖，BH是△ABC的角平分線，BA＝BC＝10，AC＝12，P，D分別是BH和AB上的任意一點(diǎn)，連接PA，PC，PD，CD．給出下列結(jié)論：①PA＝PC；②PA+PD≥CD；③PA+PD的最小值是；④若PA平分∠BAC，則△APH的面積為12．其中正確的是（　?。?br />
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)即可判定①，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷②，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，PA+PD的值最小，求出CD的值即可③，如圖：過(guò)點(diǎn)P作PT⊥AB于T，再說(shuō)明△PAT≌△PAH可得AT＝AH＝6、PT＝PH，設(shè)PT＝PH＝x，然后運(yùn)用勾股定理求得x，最后求得△APH的面積即可判定④．
【詳解】解：∵BA＝BC，BH是角平分線，
∴BH⊥AC，AH＝CH，
∴PA＝PC，故①正確，
∴PA+PD＝PD+PC≥CD，故②正確，
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，即C，P，D共線時(shí)，PA+PD的值最小，最小值為CD，
在Rt△ABH中，AB＝10，AH＝6，BH＝＝＝8，
∵?AB?CD＝?AC?BH，
∴CD＝＝，
∴PA+PD的最小值為，故③正確，
如圖，過(guò)點(diǎn)P作PT⊥AB于T．
在△PAT和△PAH中，
，
∴△PAT≌△PAH（AAS），
∴AT＝AH＝6，PT＝PH，
設(shè)PT＝PH＝x，
在Rt△PTB中，則有（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴S△APH＝×AH×PH＝×3×6＝9，故④錯(cuò)誤，
故選A．


7.如圖，在中，點(diǎn)D是邊上的中點(diǎn)，連接，將沿著翻折，得到，與交于點(diǎn)F，連接．若，則點(diǎn)C到的距離為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接BE，延長(zhǎng)CD交BE于G點(diǎn)，過(guò)C作CH⊥AB于H，由折疊的性質(zhì)及中點(diǎn)性質(zhì)，可得△AEB是直角三角形，且G點(diǎn)是BE的中點(diǎn)，從而CG⊥BE，由勾股定理可求得BE的長(zhǎng)，則根據(jù)△ABC的面積相等一方面可表示為，另一方面其面積為△BCD與△ACD面積的和，從而可求得CH的長(zhǎng)．
【詳解】連接BE，延長(zhǎng)CD交BE于G點(diǎn)，過(guò)C作CH⊥AB于H，如圖所示
由折疊的性質(zhì)，得：BD=ED，CB=CE
∴CG是線段BE的垂直平分線
∴BG=BE
∵D點(diǎn)是AB的中點(diǎn)
∴BD=AD，
∴AD=ED
∴∠DAE=∠DEA
∵BD=ED
∴ ∠DEB=∠DBE
∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180°
即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°
∴2∠DEA+2∠DEB=180°
∴∠DEA+∠DEB=90°
即∠AEB=90°
在Rt△AEB中，由勾股定理得：
∴
∵
∴
∴

故選：C．
8.如圖，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)A與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線段BN的長(zhǎng)為（　　）

A．8 B．6 C．4 D．10
答案．A

9．如圖，在中，，，點(diǎn)D在AC上，且，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)F，G分別是BC，DE的中點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，當(dāng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)為（　?。?br />
A． B．2 C． D．4
答案．B

10．如圖，在，，，沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)D處，再次折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，折痕交于點(diǎn)E，則的長(zhǎng)度為（????）
??
A． B． C． D．
答案．B
二． 填空題（共24分）
11.已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)的平方是__
【答案】7或25
【分析】已知的這兩條邊可以為直角邊，也可以是一條直角邊一條斜邊，從而分兩種情況進(jìn)行討論解答．
【詳解】解：直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，分兩種情況：
當(dāng)3、4都為直角邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方；
當(dāng)3為直角邊，4為斜邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方．
故答案為：7或25．
12.平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)和點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)__________．
【答案】
【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式列式計(jì)算即可得解．
【詳解】解：∵點(diǎn)，，
∴．
故答案為：．
13.如圖，折疊長(zhǎng)方形的一邊使點(diǎn)D落在邊的點(diǎn)F處，已知，，則EC的長(zhǎng)為_(kāi)____________．
??
【答案】3
【分析】由折疊的性質(zhì)可得，，，由勾股定理可求的長(zhǎng)，的長(zhǎng)．
【詳解】解：設(shè)EC的長(zhǎng)為，則，
折疊后的圖形是，
，，，
，
，
又，
在中，根據(jù)勾股定理，得，
，
，
，
在中，根據(jù)勾股定理，得：，
，
即，
化簡(jiǎn)，得，
．
即EC的長(zhǎng)為，
故答案為：3．

14.如圖，七個(gè)正方形如此排列，相鄰兩個(gè)正方形都有公共頂點(diǎn)，數(shù)字字母代表各自正方形面積．則_______．

解：如圖，

∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵，
∴，
即，
同理．
則．
故答案為：4．
15．已知任意直角三角形的兩直角邊a，b和斜邊c之間存在關(guān)系式：a2+b2=c2．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，BD=3，CD=4，以AD為一邊作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若點(diǎn)M是DE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段CM長(zhǎng)的最小值為_(kāi)________．

解：連接CE，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，如下圖，

∵，即，
∴，
∵AB=AC，AD=AE，
∴，
∴，，
∵∠BAC=90°，
∴，
∴，即，
∴在中，，
∵，
∴，即，
解得，
∵點(diǎn)M是DE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)，即M、H重合時(shí)，線段CM的長(zhǎng)取最小值，
此時(shí)．
故答案為：．

16.把兩個(gè)同樣大小含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A，且另外三個(gè)銳角頂點(diǎn)B，C，D在同一直線上．若AB=2，則CD=______．
【答案】6?2
解：如圖， 過(guò)點(diǎn) A 作 AF⊥BC 于 F ，
在 Rt△ABC 中， ∠B=45° ，
∴BC=2AB=22 ， BF=AF=22AB=2 ，
∵ 兩個(gè)同樣大小的含 45° 角的三角尺，
∴AD=BC=22 ，
在 Rt△ADF 中，根據(jù)勾股定理得， DF=AD2?AF2=6 ，
∴CD=BF+DF?BC=2+6?22=6?2 ，
故答案為： 6?2 ． ??
三。解答題（共46分）
17.（8分）請(qǐng)選擇一個(gè)圖形來(lái)證明勾股定理．（可以自己選用其他圖形進(jìn)行證明）
??
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】主要運(yùn)用組合圖形面積法，結(jié)合完全平方公式求證．
【詳解】選用第一個(gè)圖形求證
證明：∵外部是四個(gè)全等的直角三角形，
∴中間的四邊形為正方形，正方形的面積，
另，正方形的面積
∴；
第二個(gè)圖形求證
證明：圖中由兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形組成一個(gè)直角梯形，
等腰直角三角形面積，
另，等腰直角三角形面積
∴
∴
第三個(gè)圖形求證
證明：圖中由四個(gè)全等的直角三角形、一個(gè)小正方形組成一個(gè)大正方形，
中間的小正方形面積
另，小正方形面積
∴
化簡(jiǎn)，得
18.（8分）如圖，在中，，以B為圓心，為半徑畫(huà)弧，交線段于點(diǎn)，以A為圓心，為半徑畫(huà)弧，交線段于點(diǎn)．
??
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)9cm

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，計(jì)算即可；
（2）根據(jù)線段的和差關(guān)系分別用表示出，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【詳解】（1）解：，
．
，
．
；
（2）解：，
，
，
由勾股定理得：，即，
解得：cm．
19.（10分）如圖，中，EF垂直平分對(duì)角線AC，分別與邊AD，BC交于點(diǎn)F，E．

(1)求證：四邊形AECF為菱形；
(2)若，且 ，求菱形AECF的周長(zhǎng)．
（1）證明：∵垂直平分對(duì)角線，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形為菱形；
（2）在中，，且，
∴．
∵四邊形為菱形，
∴．
在中，，
∴設(shè)，則，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的周長(zhǎng)為8．

20.（10分）【問(wèn)題提出】如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．

【問(wèn)題解決】解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，再連接（或?qū)⒗@著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到），把、、集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．由此得出中線的取值范圍是________．
【應(yīng)用】如圖②，在中，為邊的中點(diǎn)，已知，，，求的長(zhǎng)．
【拓展】如圖③，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，連接．已知，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
【答案】問(wèn)題解決：；應(yīng)用：；拓展：
【分析】問(wèn)題解決：證明得，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系求得的取值范圍，進(jìn)而得結(jié)論；
應(yīng)用：延長(zhǎng)到，使得，連接，證明得，再證明，由勾股定理求得，進(jìn)而得；
拓展：延長(zhǎng)到，使得，連接，，證明，得，，再證明，由勾股定理求得，由線段垂直平分線性質(zhì)得．
【詳解】解：?jiǎn)栴}解決：如圖所示，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，再連接，
∵是邊上的中線，
∴，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
故答案為：；

應(yīng)用：如圖所示，延長(zhǎng)到，使得，連接，

∵是的中點(diǎn)，
∴，
在和中，
，
，
，
，，
∴，
，
，
；
拓展：如圖所示，延長(zhǎng)到，使得，連接，，

，
，，，
，
，
，
，
，即，
，
，
故答案為：．
21.（10分）認(rèn)識(shí)新知：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

(1)概念理解：如圖1，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，已知OB＝OD，AB＝AD，判斷：四邊形ABCD____垂美四邊形（填“是”或“否”）；
(2)性質(zhì)探究：如圖2，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD．
①若OA＝1，OB＝5，OC＝7，OD＝2，則AB2+CD2＝____；AD2+BC2＝____．
②猜想AB、BC、CD、AD這四條邊的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．
(3)解決問(wèn)題：如圖3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG＝4，AB⊥AE且AE＝AB＝5，連結(jié)CE、BG、GE，則GE＝____．
（1）解：結(jié)論：四邊形ABCD是垂美四邊形．
理由：如圖，連接AC和BD，

∵AD＝AB，
∴A在BD的垂直平分線上，
∵CD＝CB，
∴C在BD的垂直平分線上，
∴AC垂直平分BD，
∴四邊形ABCD為垂美四邊形；
故答案為：是；
（2）①解：∵AC⊥BD，
∴＝1+25+49+4＝79，
＝1+25+49+4＝79，
故答案為：79，79；
②結(jié)論：．
理由：∵，
∴，
，
∴；
（3）如圖，設(shè)AC與BG的交點(diǎn)為N，AB與CE的交點(diǎn)為M，

∵，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形CGEB是垂美四邊形，
∵，
∴，
由（2）得，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．

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