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第09課 二次函數(shù)的定義 
課程標(biāo)準(zhǔn)1、掌握二次函數(shù)的定義；2、根據(jù)二次函數(shù)的定義確定參數(shù)的值；3、會(huì)根據(jù)實(shí)際問題列出相應(yīng)的二次函數(shù)；
知識(shí)點(diǎn)01 二次函數(shù)的概念1、有關(guān)概念形如
(a ,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù)為二次函數(shù).其中，x是自變量,a ,b,c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng). 
2、二次函數(shù)的解析式必須滿足的三個(gè)條件（1）等號(hào)右邊是整式;（2）自變量的最高次數(shù)必須是2;（3）二次項(xiàng)系數(shù)不為0.3、二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征等號(hào)左邊是y ,等號(hào)右邊是關(guān)于x的二次多項(xiàng)式或二次單項(xiàng)式.(1)當(dāng)b=0時(shí),二次函數(shù)為
;(2)當(dāng)c=0時(shí),二次函數(shù)為
;(3)當(dāng)b=0,c=0時(shí),二次函數(shù)為
.【注意】(1)注意二次函數(shù)與一元二次方程
的異同.(2)在二次函數(shù)的概念中，
是二次函數(shù)概念的一部分,若a 為0，則函數(shù)就是
,這不符合二次函數(shù)的概念.(3)二次函數(shù)的出客教項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)包括它們前面的符號(hào),不要漏掉.知識(shí)點(diǎn)02 列二次函數(shù)解析式的一般步驟 例題解釋審題某商場(chǎng)銷售一批襯衫,平均每天售出20件,每件盈利40元.為減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定降價(jià)處理,每件襯衫每降價(jià)1元,每天多售出2件.請(qǐng)寫出商場(chǎng)每天盈利y(單位:元)與每件襯衫降價(jià)x(單位:元)之間的函數(shù)解析式.找出已知量和未知量,分析它們之間的關(guān)系找等量關(guān)系解:降價(jià)后,每件襯衫的盈利為(40－x)元,每天售出(20＋2x)件.因?yàn)槊刻斓挠幻考r衫的盈利×每天售出的件數(shù),找到兩個(gè)未知量之間的關(guān)系,用等式表示列方程∴
結(jié)合已給或設(shè)出的未知量的字母根據(jù)等量關(guān)系列出函數(shù)的解析式注意自變量的取值范圍【注意】實(shí)際問題中自變量的取值范圍的確定(1)二次函數(shù)自變量的取值范圍一般是全體實(shí)數(shù),但是在實(shí)際問題中,自變量的取值范圍應(yīng)使實(shí)際問題有意義.(2)確定自變量的取值范圍時(shí),需正確列出不等式或不等式組. 
考法01 二次函數(shù)的判斷【例題1】下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)?(1)y=3x—l;(2)
;(3)
;(4)
;(5)
;(6)
【解析】解:(l)不是二次函數(shù),因?yàn)樽宰兞康淖罡叽螖?shù)是1.(2)是二次函數(shù),因?yàn)榉隙魏瘮?shù)的概念.(3)不是二次函數(shù),因?yàn)樽宰兞康淖罡叽螖?shù)是3.(4)是二次函數(shù),因?yàn)榉隙魏瘮?shù)的概念.(5)不是二次函數(shù),因?yàn)樵秸砗鬄?/span>y=－x.(6)不是二次函數(shù),因?yàn)?/span>x－2為分式,不是整式.故(2)(4)是二次函數(shù).考法02 根據(jù)二次函數(shù)的概念求字母的值【例題2】已知函數(shù)
是關(guān)于x的二次函數(shù),求滿足條件的m的值.【分析】根據(jù)二次函數(shù)的概念求字母的值時(shí)，一般根據(jù)自變量的最高次數(shù)等于2列出方程,并要保證二次項(xiàng)系數(shù)不能等于0.由二次函數(shù)的概念﹐得
，且
,即可解可得m的值.【詳解】解:根據(jù)題意可得, ,且,解得m=5,即滿足條件的m的值為5.【方法總結(jié)】要確定二次函數(shù)中待定字母的值， 需根據(jù)二次函數(shù)自變量的最高次數(shù)是2,二次項(xiàng)系數(shù)不為0,列出關(guān)于所求字母的方程或不等式(組),解方程或不等式(組),即可確定字母的值.考法03 列二次函數(shù)的解析式【例題3】某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一種單價(jià)為40元的商品,如果以單價(jià)60元出售,那么每天可賣出300個(gè),根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn),每降價(jià)1元,每天可多賣出20個(gè),假設(shè)每個(gè)降價(jià)x元,每天銷售y個(gè),每天獲得利潤(rùn)W元.(1)寫出y 與x之間的函數(shù)解析式;(2)求出W與x之間的函數(shù)解析式(不必寫出x的取值范圍).【分析】商品銷售問題的解題關(guān)鍵是掌握銷售利潤(rùn)﹑銷售量與單位商品的利潤(rùn)之間的關(guān)系. (1)利用每天可賣出300個(gè),每降價(jià)1元,每天可多賣出20個(gè),得出y與x之間的函數(shù)解析式;(2)利用銷量×每個(gè)商品的利潤(rùn)=總利潤(rùn),得出答案.【解析】解:(1)已知每個(gè)降價(jià)x元,每天銷售y個(gè)，所以y與x之間的函數(shù)解析式為y=300+20x .(2)由題意可得,W與x之間的函數(shù)解析式為W=(300+20x ) (60－40－x)=－20x2＋100x+6000. 考法04 實(shí)際問題中根據(jù)幾何知識(shí)列二次函數(shù)的解析式【例題4】某校為綠化校園,在一塊長(zhǎng)為15 m、寬為10 m的矩形空地上建造一個(gè)矩形花圃，如圖,設(shè)計(jì)這個(gè)花圃的一邊靠墻(墻長(zhǎng)大于15 m),并在不靠墻的三邊留出一條寬相等的小路,設(shè)小路的寬為xm,花圃面積為y m2,求y關(guān)于x 的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)自變量的取值范圍.
【分析】解與實(shí)際問題有關(guān)的幾何問題時(shí)，一般要通過分析幾何圖形,借助幾何圖形的面積或周長(zhǎng)公式建立等量關(guān)系.【詳解】由小路的寬為xm,知矩形花圃的長(zhǎng)為(15－2x )m,寬為(10－x)m,根據(jù)矩形面積公式即可得到解析式,由實(shí)際問題求出函數(shù)自變量的取值范圍.【解析】解:由小路的寬為x m,知矩形花圃的長(zhǎng)為(15－2x )m,寬為(10－x)m,根據(jù)題意,得
.由
,解得
.故所求的函數(shù)解析式為，其中【方法總結(jié)】解決此類問題時(shí),一般利用“數(shù)形結(jié)合”的思想,在具體解題時(shí)，常用的建立等量關(guān)系的方法有“面積法”“周長(zhǎng)法”“勾股法”。 【例題5】如圖,某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻(墻長(zhǎng)15 m)的空地上修建一個(gè)矩形花園ABCD,花園的一邊靠墻,另三邊用總長(zhǎng)為40 m的柵欄圍成,設(shè)花園的邊BC長(zhǎng)為x m,花園的面積為y m2.
(1)求y與x的函數(shù)解析式;(2)滿足條件的花園的面積能達(dá)到200 m2嗎?若能,求出此時(shí)x的值;若不能,說明理由.【解析】解:(1)因?yàn)檫?/span>BC為x m,柵欄總長(zhǎng)為40 m,所以花園的邊
，所以
.(2)不能.理由如下:當(dāng)y=200時(shí), 
,解得x=20.因?yàn)楦鶕?jù)實(shí)際意義,邊 BC不能大于墻長(zhǎng)15 m,所以0<x≤15,且花園的邊AB需大于0，即
得0<x≤15.因?yàn)?/span>x=20不在此范圍內(nèi),所以花園的面積不能達(dá)到200 m2.
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（ ）A． y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+ 
【答案】C【解析】解：A、y=3x-1是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，不符合題意；B、y=ax2+bx+c，當(dāng)
時(shí)，不是二次函數(shù)，不符合題意；C、s=2t2-2t+1是二次函數(shù)，符合題意；D、y=x2+ 中不是整式，故y=x2+ 不是二次函數(shù)，不符合題意．故選：C．2．二次函數(shù)y=3x2﹣2x﹣4的二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和是（ ）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣6【答案】B【解析】二次函數(shù)y=3x2﹣2x﹣4的二次項(xiàng)系數(shù)為3，常數(shù)項(xiàng)為﹣4，兩個(gè)數(shù)的和為3﹣4=﹣1，故選B．3．若y=（a﹣1）x2﹣ax+6是關(guān)于x的二次函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）A．a≠1 B．a≠0 C．無法確定 D．a≠1且a≠0【答案】A【解析】∵y=（a﹣1）x2﹣ax+6是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴a-1≠0，∴a≠1，故選A.4．下列具有二次函數(shù)關(guān)系的是( )A．正方形的周長(zhǎng)y與邊長(zhǎng)x B．速度一定時(shí)，路程s與時(shí)間tC．三角形的高一定時(shí)，面積y與底邊長(zhǎng)x D．正方形的面積y與邊長(zhǎng)x【答案】D【解析】A、y=4x，是一次函數(shù)，錯(cuò)誤；B、s=vt，v一定，是一次函數(shù)，錯(cuò)誤；C、y=
hx，h一定，是一次函數(shù)，錯(cuò)誤D、y=x2，是二次函數(shù)，正確．故選D．5．已知函數(shù)
．（1）若這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，求
的值（2）若這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)，求的取值范圍．【答案】（1）
；（2）
【解析】解：（1）由題意得，
解得；（2）由題意得，
，解得
且
．題組B 能力提升練6．如果函數(shù)
是二次函數(shù)，那么k的值一定是________．【答案】-3【解析】∵函數(shù)是二次函數(shù)，∴k2-7＝2，k-3≠0解得k=-3．故答案為：-3．7．某商場(chǎng)出售一批進(jìn)價(jià)為2元的賀卡，在市場(chǎng)營(yíng)銷中發(fā)現(xiàn)此賀卡的日銷售單價(jià)x（元）與日銷售量y（個(gè)）之間有如下關(guān)系：日銷售單價(jià)x（元）…3456…日銷售量y（個(gè)）…20151210…則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 ________ ?。?/span>【答案】y=
【解析】因?yàn)?/span>x與y的乘積是相同的，所以可知y與x成反比例，設(shè)y
，將（3，20）代入可得：20
，解得：k=60．則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y
．故答案為y．8．如圖所示，
是等腰直角三角形，
，直角邊與正方形
的邊長(zhǎng)均為2，且
與
在同一直線上，開始時(shí)點(diǎn)
與點(diǎn)
重合，讓沿這條直線向右平移，直到點(diǎn)A與點(diǎn)
重合為止．設(shè)
的長(zhǎng)為
，與正方形重合部分（圖中陰影部分）的面積為
，則與之間的函數(shù)關(guān)系是______．
【答案】
【解析】解：由題意可知：當(dāng)點(diǎn)C到點(diǎn)E時(shí)，x=2；當(dāng)點(diǎn)A到點(diǎn)E時(shí)，x=4；當(dāng)0＜x≤2時(shí)，如下圖所示，此時(shí)陰影部分為梯形，設(shè)AB與DG交于點(diǎn)H
∵AC=DE=BC=2，=x，是等腰直角三角形，∴∠A=45°，AD=AC－CD=2－x∴△ADH為等腰直角三角形∴DH=AD=2－x∴y=
；當(dāng)2＜x≤4，如下圖所示，此時(shí)陰影部分為三角形，設(shè)AB與EF交于點(diǎn)H
∵AC=DE= 2，=x，是等腰直角三角形，∴∠HAE=45°，AE=DE＋AC－CD=4－x∴△AEH為等腰直角三角形∴HE= AE=4－x∴y=
．綜上所述：故答案為：．題組C 培優(yōu)拔尖練9．手工課上，小明準(zhǔn)備做一個(gè)形狀是菱形的風(fēng)箏，這個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度之和恰好為60 cm，菱形的面積S(單位：cm2)隨其中一條對(duì)角線的長(zhǎng)x(單位：cm)的變化而變化．(1)請(qǐng)直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)；(2)當(dāng)x是多少時(shí)，菱形風(fēng)箏面積S最大？最大面積是多少？【答案】(1)
；(2) 450cm2【解析】（1）解：∵其中一條對(duì)角線的長(zhǎng)x，則另一對(duì)角線=60-x．∴S=x(60-x)，整理得．（2）所以
時(shí)，菱形風(fēng)箏面積S最大，最大面積是
．10．某服裝店在銷售中發(fā)現(xiàn)：進(jìn)貨價(jià)為每件50元，銷售價(jià)為每件90元的某品牌服裝平均每天可售出20件．現(xiàn)服裝店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件服裝降價(jià)1元，那么平均每天就可多售出2件，設(shè)每件衣服降價(jià)x元．（1）現(xiàn)在每天賣出 件，每件盈利 元（用含x的代數(shù)式表示）；（2）求當(dāng)x為何值時(shí)，平均每天銷售這種服裝能盈利1200元，同時(shí)又要使顧客得到較多的實(shí)惠；（3）要想平均每天盈利2000元，可能嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（20+2x），（40﹣x）；（2）20；（3）不可能，見解析【解析】解：（1）由題意得：每天賣出衣服的數(shù)量為：（20+2x）件，每件的盈利為：（90﹣x）﹣50＝（40﹣x）元，故答案為：（20+2x），（40﹣x）；（2）由題意得：（90﹣x﹣50）（20+2x）＝1200，解得：x1＝20，x2＝10，為使顧客得到較多的實(shí)惠，應(yīng)取x＝20；（3）不可能，理由如下：依題意得：（90﹣x﹣50）（20+2x）＝2000，整理得：x2﹣30x+600＝0，Δ＝（﹣30）2﹣4×600＝900﹣2400＝﹣1500＜0，則原方程無實(shí)數(shù)解．則不可能每天盈利2000元．11．某中學(xué)課外興趣活動(dòng)小組準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形的苗圃圓．其中一邊靠墻，另外三邊用長(zhǎng)為
的籬笆圍成．已知墻長(zhǎng)為
（如圖所示），設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊
為
，若苗圃園的面積為
，求的長(zhǎng)度．
【答案】的長(zhǎng)度為12米．【解析】解：根據(jù)題意知，
．∵
．∴的取值范圍為：
．設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊為
，根據(jù)題意得：
，整理，得
．解得：
，
．∵．當(dāng)
時(shí)，
∴不合題意，舍去．∴
，即的長(zhǎng)度為12米．答：若苗圃園的面積為192平方米，則的長(zhǎng)度為12米．12．如圖所示，用同樣規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請(qǐng)觀察下列圖形并解答有關(guān)問題：
（1）在第n個(gè)圖形中，每一橫行有 塊瓷磚，每一豎列有 塊瓷磚（均用含n的代數(shù)式表示）；（2）設(shè)鋪設(shè)地面所用瓷磚的總塊數(shù)為y，請(qǐng)寫出與（1）中的的函數(shù)表達(dá)式（不要求寫出自變量n的取值范圍）；（3）按上述鋪設(shè)方案，鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚，求此時(shí)n的值；（4）若黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，在問題（3）中，共需花多少元購(gòu)買瓷磚？（5）是否存在黑瓷磚與白瓷磚的塊數(shù)相等的情形？請(qǐng)通過計(jì)算說明為什么．【答案】（1）n+3，n+2；（2）y＝n2+5n+6；（3）20；（4）1604元；（5）不存在黑白瓷磚塊數(shù)相等的情況，見解析【解析】解：（1）觀察圖形可知，每一橫行有 （n+3）塊瓷磚，每一豎列有（n+2）塊瓷磚．故答案為：n+3，n+2．（2）第1個(gè)圖形有4×3塊瓷磚，第2個(gè)圖形有5×4塊瓷磚，第3個(gè)圖形有6×5塊瓷磚，所以可以推出瓷磚的總塊數(shù)為y=（n+3）（n+2）；∴y＝（n+2）（n+3）＝n2+5n+6．（3）當(dāng)y＝506時(shí)，n2+5n+6＝506，即n2+5n﹣500＝0．解得：n1＝20，n2＝﹣25（舍去）．∴此時(shí)的n值為20．（4）白瓷磚的塊數(shù)：n（n+1）＝20×21＝420．黑瓷磚的塊數(shù)：506﹣420＝86．∴共需：86×4+420×3＝1604（元）．（5）不存在黑白瓷磚塊數(shù)相等的情況，理由如下：當(dāng)黑白瓷磚塊數(shù)相等時(shí)，有：n（n+1）＝n2+5n+6﹣n（n+1）．∴n2﹣3n﹣6＝0．解得：
或
∵n是整數(shù)．∴不合題意，故不存在黑白瓷磚塊數(shù)相等的情形．
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