初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)22.1.4 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)優(yōu)秀同步達(dá)標(biāo)檢測(cè)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第11課二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)
目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)
（1）會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)的圖象；會(huì)用配方法將二次函數(shù)的解析式寫(xiě)成的形式；
（2）通過(guò)圖象能熟練地掌握二次函數(shù)的性質(zhì)；
（3）經(jīng)歷探索與的圖象及性質(zhì)緊密聯(lián)系的過(guò)程，能運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，深刻理解數(shù)學(xué)建模思想以及數(shù)形結(jié)合的思想．
知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01 二次函數(shù)與之間的相互關(guān)系
1．頂點(diǎn)式化成一般式
從函數(shù)解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(diǎn)(h，k)，所以我們稱為頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)式去括號(hào)，合并同類(lèi)項(xiàng)就可化成一般式．
2．一般式化成頂點(diǎn)式

．
對(duì)照，可知，．
∴ 拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．
【注意】
1．拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，可以當(dāng)作公式加以記憶和運(yùn)用．
2．求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用．
知識(shí)點(diǎn)02 二次函數(shù)的圖象的畫(huà)法
1．一般方法
列表、描點(diǎn)、連線
2．簡(jiǎn)易畫(huà)法：五點(diǎn)定形法
步驟：
(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，在直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫(huà)出對(duì)稱軸．
(2)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，
當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A、B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)D，將A、B、C、D及M這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來(lái)．
【注意】
當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對(duì)稱點(diǎn)D，由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫(huà)出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫(huà)出比較精確的圖象，可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A、B，然后順次用平滑曲線連結(jié)五點(diǎn)，畫(huà)出二次函數(shù)的圖象，
知識(shí)點(diǎn)03 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1．二次函數(shù)圖象與性質(zhì)
函數(shù)
二次函數(shù)(a、b、c為常數(shù)，a≠0)
圖象

開(kāi)口方向
向上
向下
對(duì)稱軸
直線
直線
頂點(diǎn)坐標(biāo)

增減性
在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡(jiǎn)記：左減右增
在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小．簡(jiǎn)記：左增右減
最大(小)值
拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，
拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，
2．二次函數(shù)圖象的特征與a、b、c及b2-4ac的符號(hào)之間的關(guān)系
項(xiàng)目
字母
字母的符號(hào)
圖象的特征
a
a＞0
開(kāi)口向上
a＜0
開(kāi)口向下
b
ab＞0(a，b同號(hào))
對(duì)稱軸在y軸左側(cè)
ab＜0(a，b異號(hào))
對(duì)稱軸在y軸右側(cè)
c
c=0
圖象過(guò)原點(diǎn)
c＞0
與y軸正半軸相交
c＜0
與y軸負(fù)半軸相交
b2-4ac
b2-4ac=0
與x軸有唯一交點(diǎn)
b2-4ac＞0
與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
b2-4ac＜0
與x軸沒(méi)有交點(diǎn)
知識(shí)點(diǎn)04 求二次函數(shù)的最大（小）值的方法
如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大(或最小)值，即當(dāng)時(shí)，．
【注意】
如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，，若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x＝x2時(shí)，；當(dāng)x＝x1時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x＝x1時(shí)，；當(dāng)x＝x2時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時(shí)y值的情況．
能力拓展

考法01 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【典例1】如圖所示是二次函數(shù)的圖象，以下結(jié)論：①；②；③的兩個(gè)根是，；④，其中正確的是（???????）

A．③④ B．①② C．②③ D．②③④
【答案】C
【詳解】解：①由圖象可知：，，
由對(duì)稱軸可知：，
∴，
∴，故①錯(cuò)誤；
②由對(duì)稱軸可知：，
∴，
∵拋物線過(guò)點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，故②正確；
③由對(duì)稱軸為直線，拋物線過(guò)點(diǎn)，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，
∴的兩個(gè)根是，，故③正確；
④由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，
∴，故④錯(cuò)誤；
故選：C．
【即學(xué)即練】如圖，拋物線的對(duì)稱軸為，下列結(jié)論正確的是（?????）

A． B．
C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小 D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小
【答案】C
【詳解】拋物線開(kāi)口向上，因此a＞0，故A選項(xiàng)不符合題意．
拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，因此c＜0，故B選項(xiàng)不符合題意．
拋物線開(kāi)口向上，因此在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，故C選項(xiàng)符合題意．
拋物線開(kāi)口向上，因此在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，故D選項(xiàng)不符合題意．
故選C
【典例2】已知4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象頂點(diǎn)可能在（???????）
A．第一或第四象限 B．第三或第四象限
C．第一或第二象限 D．第二或第三象限
【答案】A
【詳解】解：∵4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，
∴此二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)（-2，0），（3，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=，
∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的頂點(diǎn)可能在第一或第四象限．
故選：A．
【即學(xué)即練】關(guān)于拋物線，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（???????）
A．當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸是軸 B．當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)
C．不論為何值，都過(guò)定點(diǎn) D．時(shí)，對(duì)稱軸在軸的左側(cè)
【答案】D
【詳解】解：A、拋物線，
當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸是直線，即軸，故選項(xiàng)A正確，不符合題意，
B、當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確，不符合題意，
C、當(dāng)時(shí)，，此時(shí)解析式中的正好可以消掉，故選項(xiàng)C正確，不符合題意，
D、拋物線的對(duì)稱軸是直線，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意，
故選：D．
考法02 二次函數(shù)的最值
【典例3】已知二次函數(shù)y=2x2?4x?1在0≤x≤a時(shí)，y取得的最大值為15，則a的值為（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【詳解】解：∵二次函數(shù)y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)（1，-3），
∵1>0，開(kāi)口向上，
∴在對(duì)稱軸x=1的右側(cè)，y隨x的增大而增大，
∵當(dāng)0≤x≤a時(shí)，即在對(duì)稱軸右側(cè)，y取得最大值為15，
∴當(dāng)x=a時(shí)，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值為4．
故選：D．
【即學(xué)即練】已知二次函數(shù)＝﹣+2x+4，關(guān)于該函數(shù)在﹣2≤x≤2的取值范圍內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4
C．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4
【答案】D
【詳解】∵二次函數(shù)＝﹣+2x+4＝﹣+5，
∴該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線＝1，函數(shù)圖象開(kāi)口向下，
∴當(dāng)﹣2≤x≤2時(shí)，x＝1時(shí)取得最大值5，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，取得最小值﹣4，
故選：D．
【典例4】已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的最小值為﹣3，當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)的最小值為﹣2，則b的值為（???????）
A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【答案】C
【詳解】解：二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的開(kāi)口向上，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的最小值為－3，當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)的最小值為－2，
該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸所在直線在y軸的右側(cè)，
，，且時(shí)，y=c=－2，
，，解得，
．
故選C．
【即學(xué)即練】已知拋物線過(guò)（1，m），（-1，3m）兩點(diǎn)，若，且當(dāng)時(shí)，y的最小值為-6，則m的值是（???????）
A．4 B．2 C．–2 D．-4
【答案】C
【詳解】解：將點(diǎn)（1，m），（-1，3m）代入拋物線，得
1+b+c=m，1-b+c=3m，
∴b=-m，c=2m-1
則，
對(duì)稱軸為，
∵a=1＞0
∴最小值在x=-處，最小值為-6，
∴=-6，
=4c+24，
將b=-m，c=2m-1代入，得
-8m-20=0
解得m=-2或m=10
又
∴m=-2
故選：C.
考法03 二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
【典例5】已知A(?3，?2) ，B(1，?2)，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，形狀保持不變，與x軸交于C，D兩點(diǎn)（C在D的右側(cè)），下列結(jié)論：
①c≥?2?；
②當(dāng)x>0時(shí)，一定有y隨x的增大而增大；
③若點(diǎn)D橫坐標(biāo)的最小值為?5，點(diǎn)C橫坐標(biāo)的最大值為3；
④當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，a=．
其中正確的是（???????）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【答案】D
【詳解】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-3，-2)和(1，-2)，
∴線段AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-2)，
又∵拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c) ，
∴C≥-2，(頂點(diǎn)在y軸上時(shí)取“=”)，故①正確；
∵拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，開(kāi)口向上，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，一定有y隨x的增大而增大，故②錯(cuò)誤；
若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最小值為-5，則此時(shí)對(duì)稱軸為直線x=-3，
根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最大值為1+2=3，故③正確；
令y=0，則ax2+bx+c=0，
設(shè)該方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=-，x1x2=，
∴CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x2，
根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，，
∴，即，
∵四邊形ACDB為平行四邊形，
∴CD=AB=1-（-3)=4，
∴=42=16，解得a=，故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．
故選：D．

【即學(xué)即練】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)，P為AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則有以下結(jié)論：①拋物線的對(duì)稱軸為直線；②拋物線的最大值為；③；④OP的最小值為．則正確的結(jié)論為（???????）

A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④
【答案】D
【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
故①正確；
設(shè)拋物線關(guān)系式為：，
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴-4a=2，解得：，
∴拋物線關(guān)系式為：，
∴當(dāng)時(shí)，y有最大值，
故②錯(cuò)誤；
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，0），
∴AB=5．
當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），
∴，
∵，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
故③正確；
當(dāng)OP⊥AC時(shí)，OP取最小值，
此時(shí)根據(jù)三角形的面積可得，
∴，
解得OP=，
∴OP的最小值為．
故④正確；
故正確的有：①③④，
故選：D．
【典例6】已知拋物線的解析式為（m為常數(shù)），則下列說(shuō)法正確的是____________．
①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在拋物線上；
②對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，都是方程的一個(gè)根；
③若，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；
④已知點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，拋物線與線段有兩個(gè)交點(diǎn)．
【答案】②
【詳解】解：拋物線（為常數(shù)）中，
當(dāng)時(shí)，拋物線，若，則，
點(diǎn)不在拋物線上，
即①說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意，
方程即，
或，
解得，，
對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都是方程的一個(gè)根，
即②說(shuō)法正確，符合題意，
拋物線（為常熟）中，，開(kāi)口向上，
對(duì)稱軸是直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
即若，，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，不一定正確，
即③說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意，
拋物線（為常數(shù)）中，
當(dāng)時(shí)，，
解得，，
拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為、，
當(dāng)時(shí)，，
“④已知點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，拋物線與線段有兩個(gè)交點(diǎn)”的說(shuō)法錯(cuò)誤，（因?yàn)楫?dāng)時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)），不符合題意，
綜上所述，說(shuō)法正確的是②，
故答案為：②．
【即學(xué)即練】如圖，已知拋物線與x軸相交于于點(diǎn)，，與軸的交于點(diǎn)．點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)的面積為．下列結(jié)論：①；②；③，其中，正確結(jié)論的序號(hào)是________．（所有正確的序號(hào)都填上）

【答案】①②③
【詳解】∵拋物線與x軸相交于于點(diǎn)，，
∴令y=0得：，
解得：，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4
故①正確；
∵拋物線與y軸相交于于點(diǎn)C，
∴令x=0得：y=6，
∴C（0，6），
∴OC=6，
故②正確；
過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，如圖1所示．

設(shè)直線的解析式為，
將、代入，
得，解得，
直線的解析式為．
點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，
當(dāng)時(shí)，面積取最大值，最大值為．
故③正確，
故答案為：①②③．
分層提分

題組A 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1．拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（m，3），則代數(shù)式的值為（????????）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【詳解】解：將點(diǎn)（m，3）代入中得，
，
故代數(shù)式的值為3，
故選：D．
2．二次函數(shù)（a≠0）中x，y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣4
﹣6
﹣6
﹣4
…
則該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為（　　）
A．y軸 B．直線x＝ C．直線x＝1 D．直線x＝
【答案】B
【詳解】解：由圖表可知：
x=0時(shí)，y=-6，
x=1時(shí)，y=-6，
∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：，
故選：B．
3．若二次函數(shù)y＝x2+2x+k的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，y1），（﹣2，y2），則y1，y2與的大小關(guān)系為（　　?。?br /> A．y1＞y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＜y2 D．不能確定
【答案】A
【詳解】解：當(dāng)x＝1時(shí)，y1＝x2+2x+k＝1+2+k＝k+3；
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y2＝x2+2x+k＝4﹣4+k＝k，
所以y1＞y2．
故選：A．
4．已知(﹣4，y1)，(2.5，y2)，(5，y3)是拋物線y＝﹣3x2﹣6x+m上的點(diǎn)，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3
【答案】A
【詳解】解：∵y＝﹣3x2﹣6x+m，
∴拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，
∴與直線x＝﹣1距離越近的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大，
∵﹣1﹣（﹣4）＜2.5﹣（﹣1）＜5﹣（﹣1），
∴y1＞y2＞y3，
故選：A．
5．已知函數(shù)y＝a﹣2ax﹣1（a是常數(shù)，a≠0），下列結(jié)論正確的是（???????）
A．若a＞0，則當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而減小 B．若a＜0，則當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而增大
C．當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)（﹣1，1） D．當(dāng)a＝﹣2時(shí)，函數(shù)圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)
【答案】B
【詳解】解：A、拋物線的對(duì)稱軸為直線：，則若a＞0，則當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而增大，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
B、拋物線的對(duì)稱軸為直線：，若a＜0，則當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而增大，選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；
C、當(dāng)，時(shí)，，則當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)圖像不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，1），選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
D、當(dāng)a＝﹣2時(shí)，，，則函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
故選B．
6．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有以下4個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（???????）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】B
【詳解】解：①拋物線開(kāi)口向下，
，
∵，
∴，
，
拋物線與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸，
，
，故錯(cuò)誤；
②觀察函數(shù)圖象，可知：
當(dāng)時(shí)，，
，故錯(cuò)誤．
③拋物線的對(duì)稱軸為，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸，
當(dāng)時(shí)，，
，故正確；
④拋物線與軸有2個(gè)交點(diǎn)，
△，故正確．
故選：B．
7．已知二次函數(shù)y=x2－4x－m的最小值是1，則m=_______．
【答案】-5
【詳解】解：由知，
當(dāng)x=2時(shí)，y有最小值為-4-m，
∵該函數(shù)的最小值為1，
∴-4-m=1，
解得：m=-5，
故答案為：-5．
8．二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，若當(dāng)時(shí)．隨著的增大而減小，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】且
【詳解】解：將代入得①，
將代入得②，
由②①得，
，，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)．隨著的增大而減小，
時(shí)，，
解得，
時(shí)，，
解得，
故答案為：且．
9．已知拋物線y=ax2－2ax－3+2a2 （a

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