?浙教版數(shù)學(xué) 八上 第一章 1.3證明測試卷B卷
一． 選擇題（共30分）
1.有四位同學(xué)一起研究一道數(shù)學(xué)題．如圖，已知EF⊥AB，CD⊥AB．則下列說法正確的是（　?。?br /> 甲說：“如果還知道∠CDG＝∠BFE，則能得到∠AGD＝∠ACB．”
乙說：“把甲的已知和結(jié)論倒過來，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”
丙說：“∠AGD一定大于∠BFE．” 丁說：“如果連接GF，則GF一定平行于AB．”

A．甲對乙錯 B．乙錯丁對 C．甲、乙對 D．乙、丙對
【思路點撥】根據(jù)平行線的判定得出CD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BFE＝∠BCD，求出∠CDG＝∠BCD，根據(jù)平行線的判定得出DG∥BC，即可判斷甲；根據(jù)∠AGD＝∠ACB推出DG∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CDG＝∠BCD，即可判斷乙，根據(jù)已知條件判斷丙和丁即可．
【答案】解：∵CD⊥AB，F(xiàn)E⊥AB，∴CD∥EF，∴∠BFE＝∠BCD，
∵∠CDG＝∠BFE，∴∠CDG＝∠BCD，∴DG∥BC，∴∠AGD＝∠ACB，∴甲正確；
∵CD⊥AB，F(xiàn)E⊥AB，∴CD∥EF，∴∠BFE＝∠BCD，
∵∠AGD＝∠ACB，∴DG∥BC，∴∠CDG＝∠BCD，∴∠CDG＝∠BFE，∴乙正確；
丙和丁的說法根據(jù)已知不能推出，∴丙錯誤，丁錯誤；故選：C．
2.最近網(wǎng)上一個燒腦問題的關(guān)注度很高（如圖所示），通過仔細觀察、分析圖形，你認為打開水龍頭，哪個標號的杯子會先裝滿水（　　）

A．3號杯子 B．5號杯子 C．6號杯子 D．7號杯子
解：∵1號杯左側(cè)出口比右側(cè)低，
∴水先從左邊流出，進入3號杯，
∵3號杯左側(cè)封閉，只有右側(cè)流出，而右側(cè)流入5號杯的出口端封閉，
∴水最終會先灌滿3號杯，
故選：A．
3.小英、小亮、小明和小華四名同學(xué)參加了“學(xué)用杯”競賽選拔賽，小亮和小華兩個同學(xué)的得分和等于小明和小英的得分和；小英與小亮的得分和大于小明和小華的得分和，小華的得分超過小明與小亮的得分和．則這四位同學(xué)的得分由大到小的順序是（　?。?br /> A．小明，小亮，小華，小英 B．小華，小明，小亮，小英
C．小英，小華，小亮，小明 D．小亮，小英，小華，小明
解：由題干中小亮和小華兩個同學(xué)的得分和等于小明和小英的得分和；
小英與小亮的得分和大于小明和小華的得分和，
可得小英的得分大于小華的，小亮的大于小明的；
又有小華的得分超過小明與小亮的得分和，
所以可得四位同學(xué)的得分由大到小的順序是小英、小華、小亮、小明．
故選：C．

4.如圖，在△ABC中，CD是角平分線，∠A＝30°，∠CDB＝65°，則∠B的度數(shù)為（　　）

A．65° B．70° C．80° D．85°
【思路點撥】已知∠A，欲求∠B，需求∠ACB．由CD平分∠ACB，得∠ACB＝2∠ACD．由∠CDB＝∠A+∠ACD，得∠ACD＝∠CDB﹣∠A＝35°，故∠ACB＝2∠ACD＝70°，進而求得∠B＝180°﹣（∠A+∠ACB）＝80°．
【答案】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD．
∵∠CDB＝∠A+∠ACD，∴∠ACD＝∠CDB﹣∠A＝65°﹣30°＝35°．
∴∠ACB＝2∠ACD＝70°．∴∠B＝180°﹣（∠A+∠ACB）＝80°．故選：C．

5.一個三角形其中一個外角的補角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的差，則這個三角形一定是（　　）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形
【思路點撥】由題意得這個三角形的一個內(nèi)角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的差，設(shè)這個內(nèi)角為∠1，另外兩個內(nèi)角為∠2、∠3且∠1＝∠2﹣∠3．由180°﹣∠1＝∠2+∠3，得∠2＝90°．
【答案】解：由題意得：這個三角形的一個內(nèi)角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的差．
設(shè)這個內(nèi)角為∠1，另外兩個內(nèi)角為∠2、∠3且∠1＝∠2﹣∠3．
∵180°﹣∠1＝∠2+∠3，∴2∠2＝180°．∴∠2＝90°．
∴這個三角形的是直角三角形．故選：B．

6.一個大矩形按如圖方式分割成九個小矩形，且只有標號為①和②的兩個小矩形為正方形，在滿足條件的所有分割中．若知道九個小矩形中n個小矩形的周長，就一定能算出這個大矩形的面積，則n的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
解：如圖所示：設(shè)①的周長為：4x，③的周長為2y，④的周長為2b，即可得出①的邊長以及③和④的鄰邊和，
設(shè)②的周長為：4a，則②的邊長為a，可得③和④中都有一條邊為a，
則③和④的另一條邊長分別為：y﹣a，b﹣a，
故大矩形的邊長分別為：b﹣a+x+a＝b+x，y﹣a+x+a＝y(tǒng)+x，
故大矩形的面積為：（b+x）（y+x），其中b，x，y都為已知數(shù)，
故n的最小值是3．
故選：A．


7.一周7天可以制作出每年的“星期幾密碼”．現(xiàn)已知2035年的“星期幾密碼”是“033614625035”，這組密碼中從左到右的12個數(shù)字依次與2035年的1到12月對應(yīng)，我們可以用這組密碼算出2035年某天是星期幾．如2035年2月8日，其中2月對應(yīng)密碼中的第二個數(shù)字“3”，將數(shù)字3加上日期8，其和為11，再把11除以7，得余數(shù)4，則該天為星期四（余數(shù)幾則對應(yīng)星期幾，特別地，余數(shù)0則對應(yīng)星期天）．
利用此密碼算出2035年的世界環(huán)境日月5日）是　　
A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期六
解：依題意得：6月5日對應(yīng)第六個數(shù)字4，
將數(shù)字4加上日期5，和為9，
，
故2035年的世界環(huán)境日月5日）是星期二．
故選：．

8.如果將一副三角板按如圖的方式疊放，則∠1的度數(shù)為（　?。?br />
A．105° B．120° C．75° D．45°
【答案】A
【解析】如圖，

∵∠ABD=90°，∠ABC=45°，∠D=60°，
∴∠CDB=∠ABD-∠ABC=90°-45°=45°，
∵∠1=∠D+∠CBD，
∴∠1=60°+45°=105°.
故答案為：A
9.如圖，∠BCD是△ABC的一個外角，E是邊AB上一點，下列結(jié)論錯誤的是（　?。?br />
A．∠BCD>∠A B．∠BCD>∠1
C．∠2>∠3 D．∠BCD=∠A+∠B
【答案】B
【知識點】三角形的外角性質(zhì)
【解析】【解答】解：A、∠BCD是△ABC的一個外角，則∠BCD＞∠A，不符合題意．
B、∠BCD是△ABC的一個外角，則∠1是△BEC的一個外角，∠BCD與∠1無法比較大小，符合題意．
C、∠2是△AEC的一個外角，則∠2＞∠3，不符合題意．
D、∠BCD是△ABC的一個外角，則∠BCD＝∠A＋∠B，不符合題意．
故答案為：B．
10.當三角形中一個內(nèi)角β是另外一個內(nèi)角α的時，我們稱此三角形為“友好三角形”．如果一個“友好三角形”中有一個內(nèi)角為54°，那么這個“友好三角形”的“友好角α”的度數(shù)為（　　）
A．108°或27° B．108°或54° C．27°或54°或108° D．54°或84°或108°
【思路點撥】分54°角是α、β和既不是α也不是β三種情況，根據(jù)友好三角形的定義以及三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解．
【答案】解：①54°角是α，則友好角度數(shù)為54°；
②54°角是β，則 α＝β＝54°，所以，友好角α＝108°；
③54°角既不是α也不是β，則α+β+54°＝180°，
所以，α+α+54°＝180°，解得α＝84°，
綜上所述，“友好角α”的度數(shù)為54°或84°或108°．故選：D．
二． 填空題（共24分）
11.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC．CD是△ABC外角的角平分線，若∠A＝50°，則∠D＝　 ?。?br />
【思路點撥】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∠D＝∠DCE﹣∠DBC，根據(jù)角平分線的定義計算即可．
【答案】解：∵∠ACE是△ABC的一個外角，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，同理：∠D＝∠DCE﹣∠DBC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠DBE＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∴∠D＝（∠ACE﹣∠ABC）＝∠A＝×50°＝25°，故答案為：25°．


12.“體育節(jié)”中，初一年級四個班進行了足球單循環(huán)比賽，每兩班賽一場，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分．比賽結(jié)束后，一班、二班、三班、四班分別獲得第一、二、三、四名，各班的總得分恰好是四個連續(xù)奇數(shù)，那么與二班踢平的班是 　 ?。?br /> 解：∵一班、二班、三班、四班四個班分別獲得第一、二、三、四名，各班的總得分恰好是四個連續(xù)奇數(shù)，
∴一班得分為7分，2勝1平，二班得分5分，1勝2平，三班得分3分，1勝0平，四班得分1分，0勝1平，
∵一班、二班都沒有輸球，
∴一班一定與二班平，
∵三班得分3分，1勝0平，二班得分5分，1勝2平，
∴與二班踢平的班是一班與四班．
故答案為：一班與四班．
13.如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC，內(nèi)角∠ABC，外角∠ACF，以下結(jié)論：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正確的結(jié)論有　 ?。?br />
【分析】根據(jù)角平分線定義得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根據(jù)已知結(jié)論逐步推理，即可判斷各項．
【解析】①∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正確；
②∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，故②錯誤；
③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，
∴∠ADC+∠ABD＝90°，故③正確；
④∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，∴∠DCF＝∠ADC，∵∠ADC+∠ABD＝90°，
∵∠DCF＝90°∠ABC＝∠DBC+∠BDC，
∴∠BDC＝90°﹣2∠DBC，∴∠DBC＝45°﹣∠BDC，故④正確；故答案是：①③④．

14.如果一個三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足2α+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形“．若△ABC是“準互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，則∠B＝　　．
【分析】根據(jù)“準互余三角形”的定義構(gòu)建方程即可解決問題．
【解析】∵△ABC是“準互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，
∴2∠B+∠A＝90°或2∠A+∠B＝90°，
解得，∠B＝35°或50，故答案為：35°或50°．
15.如圖，AD是△ABC的外角∠CAE的平分線，∠B＝40°，∠DAE＝55°，則∠ACB的度數(shù)是 　 ?。?br />
【思路點撥】由角平分線的定義可求解∠EAC，利用三角形外角的性質(zhì)可求解∠ACB．
【答案】解：∵AD是△ABC的外角∠CAE的平分線，∠DAE＝55°，∴∠EAC＝2∠DAE＝110°，
∵∠EAC＝∠B+∠ACB，∠B＝40°，∴∠ACB＝110°﹣40°＝70°，故答案為70°．
16.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點E在射線BC上，EF⊥AD于F，∠B=40°，∠ACE=72°，則∠E的度數(shù)為　 　.

【答案】34°
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；角平分線的定義
【解析】【解答】解：∵∠B=40°，∠ACE=72°，
∴∠BAC=∠ACE?∠B=32°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=16°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+16°=56°，
在Rt△DFE中，∠E=90°?∠ADC=34°，
故答案為：34°.

三，解答題（共66分）
17.（8分）．有紅、黃、藍三個箱子，一個蘋果放入其中某個箱子內(nèi)，并且（1）紅箱子蓋上寫著：“蘋果在這個箱子里”（2）黃箱子蓋上寫著：“蘋果不在這個箱子里”（3）藍箱子蓋上寫著：“蘋果不在紅箱子里”已知（1）、（2）、（3）中只有一句是真的，問蘋果在哪個箱子里？
解：若蘋果在紅箱子里?（1）（2）正確（3）錯誤
若蘋果在黃箱子里?（1）（2）錯誤（3）正確
若蘋果在藍箱子里?（1）錯（2）（3）正確
故蘋果在黃箱子里．

18.（8分）桌子上有7張反面向上的紙牌，每次翻轉(zhuǎn)張為正整數(shù)）紙牌，多次操作后能使所有紙牌正面向上嗎？用“”、“ ”分別表示一張紙牌“正面向上”、“反面向上”，將所有牌的對應(yīng)值相加得到總和，我們的目標是將總和從變化為．
（1）當時，每翻轉(zhuǎn)1張紙牌，總和的變化量是2或，則最少　7　次操作后所有紙牌全部正面向上；
（2）當時，每翻轉(zhuǎn)2張紙牌，總和的變化量是　　，多次操作后能使所有紙牌全部正面向上嗎？若能，最少需要幾次操作？若不能，簡要說明理由；
（3）若要使多次操作后所有紙牌全部正面向上，寫出的所有可能的值．
解：（1）總變化量：，
次數(shù)（至少），
故答案為：7；
（2）①兩張由反到正，變化：，
②兩張由正到反，變化：，
③一正一反變一反一正，變化，
不能全正，
總變化量仍為14，無法由4，，0組成，
故不能所有紙牌全正；
故答案為：14；
（3）由題可知：．
①當時，由（1）可知能夠做到，
②當時，由（2）可知無法做到，
③當時，總和變化量為6，，2，，
，
故可以，
④當時，總和變化量為8，，4，，0，
14無法由8，，4，，0組成，
故不可以，
⑤當時，總和變化量為10，，6，，2，，
，
故可以，
⑥當時，總和變化量為12，，8，，4，，0，
無法組合，
故不可以，
⑦當時，一次全翻完，可以，
故，3，5，7時，可以．

19.(10分 )已知：如圖，直線BD分別交射線AE、CF于點B、D，連接A、D和B、C，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，AD平分∠BDF，求證：

（1）AD∥BC；
（2）BC平分∠DBE．
【答案】（1）證明：∵∠2+∠BDC＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠BDC，
∴AB∥CF，
∴∠C＝∠EBC，
∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠EBC，
∴AD∥BC；
（2）證明：∵AD平分∠BDF，
∴∠FDA＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠FDA＝∠C，∠ADB＝∠DBC，
∵∠C＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠DBC，
∴BC平分∠DBE．

20.（10分）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長線于點E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度數(shù)；（2）求證：∠BAC＝∠B+2∠E．

【分析】（1）根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠ACD，即可求出∠ACE，求出∠CAE，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠E即可；（2）利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題．
【解析】（1）∵∠ACB＝40°，∴∠ACD＝180°﹣40＝140°，
∵∠B＝30°，∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，
∴∠ACE＝70°，∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
（2）∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．




21.（10分）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖方式疊放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）；
（1）①若∠DCE＝42°，求∠ACB的度數(shù)；②若∠ACB＝150°，求∠DCE的度數(shù)；
（2）由（1）猜想∠ACB與∠DCE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）當∠ACE＜180°且點E在直線AC的上方時，這兩塊三角尺是否存在一組邊互相平行？若存在，請直接寫出∠ACE角度所有可能的值（不必說明理由）；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）①先根據(jù)直角三角板的性質(zhì)求出∠ACE及∠DCB的度數(shù)，進而可得出∠ACB的度數(shù)；
②由∠ACB＝150°，∠ACD＝90°，可得出∠DCB的度數(shù)，進而得出∠DCE的度數(shù)；
（2）根據(jù)①中的結(jié)論可提出猜想，再由∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+∠DCE可得出結(jié)論；（3）分∠ACE＝30°，45°，120°，135°及165°進行解答．
【解析】（1）①∵∠ECB＝90°，∠DCE＝42°，
∴∠DCB＝90°﹣42°＝48°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+48°＝138°；
②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝90°，
∴∠DCB＝150°﹣90°＝60°，∴∠DCE＝90°﹣60°＝30°；
（2）∠ACB+∠DCE＝180°；理由如下：
∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+∠DCE＝90°+90°＝180°；
（3）存在，當∠ACE＝30°時，AD∥BC，理由如下，如圖1所示：

∵∠ACE＝∠DCB＝30°，∠D＝30°，∴∠DCB＝∠D，∴AD∥BC；
當∠ACE＝∠E＝45°時，AC∥BE，理由如下，如圖2所示：
∵∠ACE＝∠DCB＝45°，∠B＝45°，∴BE⊥CD，又∵AC⊥CD，∴AC∥BE；
當∠ACE＝120°時，AD∥CE，理由如下，如圖3所示：
∵∠ACE＝120°，∴∠DCE＝120°﹣90°＝30°，
又∵∠D＝30°，∴∠DCE＝∠D，∴AD∥CE；
當∠ACE＝135°時，BE∥CD，理由如下，如圖4所示：

∵∠ACE＝135°，∴∠DCE＝135°﹣90°＝45°，
∵∠E＝45°，∴∠DCE＝∠E，∴BE∥CD；
當∠ACE＝165°時，BE∥AD．理由如下：
延長AC交BE于F，如圖5所示：
∵∠ACE＝165°，∴∠ECF＝15°，
∵∠E＝45°，∴∠CFB＝∠ECF+∠E＝60°，
∵∠A＝60°，∴∠A＝∠CFB，∴BE∥AD

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