?空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
一．選擇題（共18小題）
1．在平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）中，，，則的長(zhǎng)為　　
A．3 B． C．6 D．
2．已知，2，，，，，且，則的值是　　
A．6 B．5 C．4 D．3
3．已知，2，，，1，，，1，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為　　
A． B． C． D．
4．已知向量，1，，，0，且與互相垂直，則　　
A． B． C． D．
5．已知空間向量，，若，則實(shí)數(shù)　　
A． B． C．1 D．2
6．已知是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2，則的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
7．已知正四面體的各棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的值為　　
A． B． C． D．
8．已知，1，，，，，，1，，則　　
A．18 B． C． D．
9．已知空間向量，0，，，2，，則向量在向量上的投影向量是　　
A．，2， B．，2， C．，0， D．，0，
10．若向量，，，，，，且與的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)的值為　　
A． B．11 C．3 D．或11
11．在正四面體中，棱長(zhǎng)為2，且是棱中點(diǎn)，則的值為　　
A． B．1 C． D．
12．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則　　
A． B．10 C． D．12
13．向量，2，，，4，夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)為　　
A．3 B． C．或11 D．3或
14．已知空間向量，0，，，1，，，2，且，則與的夾角的余弦值為　　
A． B． C． D．
15．如圖所示，直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面邊長(zhǎng)，且，點(diǎn)在棱上且，點(diǎn)在棱上，則的最小值為　　

A． B． C． D．


16．設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，，分別是，的中點(diǎn)，則的值為　　
A． B． C． D．
17．若向量，0，與向量，1，的夾角的余弦值為，則等于　　
A．0 B．1 C． D．2
18．已知，，且，則的值是　　
A．6 B．5 C．4 D．3
二．多選題（共3小題）
19．定義空間兩個(gè)向量的一種運(yùn)算，，則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中恒成立的有　　
A．
B．
C．
D．若，，，，則
20．已知空間三點(diǎn)，0，，，2，，，0，，則下列說(shuō)法正確的是　　
A． B．
C． D．，
21．在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，則以下結(jié)論正確的有　　
A． B．
C． D．
三．填空題（共11小題）
22．如圖，在三棱錐中，已知，，設(shè)，，，則的最小值為　?。?br />
23．已知空間向量，1，，，3，，則　?。?br /> 24．已知空間向量，，，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是　?。?br /> 25．若，且，則實(shí)數(shù)　　．
26．已知向量，2，，，5，，則　　
27．點(diǎn)是棱長(zhǎng)為4的正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，是該四面體內(nèi)切球的一條直徑，則的最大值是 　?。?br /> 28．在三棱錐中，已知，，，則　?。?br /> 29．正四面體的各棱長(zhǎng)為，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則的值為　　．
30．已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是　　．
31．已知空間向量，，，，，，若空間單位向量滿足：，則　　
32．若向量，2，，，，，且，夾角的余弦值為　?。?br /> 四．解答題（共1小題）
33．已知空間三點(diǎn)，2，，，1，，，，．
（1）若點(diǎn)在直線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求以，為鄰邊的平行四邊形的面積．

參考答案與試題解析
一．選擇題（共18小題）
1．在平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）中，，，則的長(zhǎng)為　　

A．3 B． C．6 D．
【分析】由，可得，即可得出．
【解答】解：，
則

．
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形法則、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
2．已知，2，，，，，且，則的值是　　
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】由題意可得，解方程可得．
【解答】解：，2，，，，，
，
解得
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．
3．已知，2，，，1，，，1，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為　　
A． B． C． D．
【分析】可先設(shè)，，，由點(diǎn)在直線上可得，，，則由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求取得最小值時(shí)的，進(jìn)而可求．
【解答】解：設(shè)，，，
由點(diǎn)在直線上可得存在實(shí)數(shù)使得，則有，，，
，，
當(dāng)，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量共線定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由點(diǎn)在直線上可得存在實(shí)數(shù)使得，進(jìn)而有，，，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)求解最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．
4．已知向量，1，，，0，且與互相垂直，則　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)與互相垂直，，列出方程求出的值．
【解答】解：向量，，
，，；
又與互相垂直，
，
即，
解得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．
5．已知空間向量，，若，則實(shí)數(shù)　　
A． B． C．1 D．2
【分析】由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量公式，求得的值．
【解答】解：空間向量，，若，
，求得實(shí)數(shù)，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量公式，屬于基礎(chǔ)題．
6．已知是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2，則的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．
【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線為軸，軸，軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；
設(shè)正方體內(nèi)切球球心為，是該內(nèi)切球的任意一條直徑，
則內(nèi)切球的半徑為1，
所以，．
所以的取值范圍是，．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題以正方體為載體，考查了線面、面面位置關(guān)系，以及空間向量的數(shù)量積應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．
7．已知正四面體的各棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的值為　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算法則，計(jì)算即可．
【解答】解：如圖所示，
正四面體的棱長(zhǎng)是，是的中點(diǎn)；
；
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的線性表示與數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．
8．已知，1，，，，，，1，，則　　
A．18 B． C． D．
【分析】可以求出，然后進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可．
【解答】解：，，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量坐標(biāo)的加法和數(shù)量積的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
9．已知空間向量，0，，，2，，則向量在向量上的投影向量是　　
A．，2， B．，2， C．，0， D．，0，
【分析】由向量在向量上的投影向量為，，計(jì)算即可求出答案．
【解答】解：向量，0，，，2，，
則，，，
所以向量在向量上的投影向量為
，，0，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．
10．若向量，，，，，，且與的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)的值為　　
A． B．11 C．3 D．或11
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示與數(shù)量積的運(yùn)算，列出方程求出的值．
【解答】解：向量，，，，，，
，
；，
且與的夾角余弦值為，
；
整理得，
解得或（不合題意，舍去）；
的值為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算與解根式方程的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．
11．在正四面體中，棱長(zhǎng)為2，且是棱中點(diǎn)，則的值為　　
A． B．1 C． D．
【分析】運(yùn)用空間向量基本定理，轉(zhuǎn)化為向量，，為基底．
【解答】解：如圖，為正四面體，則，是棱中點(diǎn)，
所以，，
所以，
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了分析解決問(wèn)題的能力，將空間向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為一組空間向量基底的運(yùn)算是關(guān)鍵．本題屬于基礎(chǔ)題．
12．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則　　
A． B．10 C． D．12
【分析】先求出，1，，由此能求出．
【解答】解：在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，
，1，，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的求法，考查對(duì)稱、向量的數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
13．向量，2，，，4，夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)為　　
A．3 B． C．或11 D．3或
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，代入公式得到關(guān)于的方程，解出即可．
【解答】解：由題意得：，，
故，，解得：，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題．
14．已知空間向量，0，，，1，，，2，且，則與的夾角的余弦值為　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)，求出的值，從而求出，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算求出與的夾角的余弦值即可．
【解答】解：由題意得：，，，
則，解得：，
即，1，，而，，，
則，，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量問(wèn)題，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題．
15．如圖所示，直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面邊長(zhǎng)，且，點(diǎn)在棱上且，點(diǎn)在棱上，則的最小值為　　

A． B． C． D．
【分析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，0，，求出和的坐標(biāo)，求出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最小值．
【解答】解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則，0，，，1，，
設(shè)，0，，
則，0，，，1，，
，
故當(dāng)時(shí)， 取得最小值為，
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
16．設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，，分別是，的中點(diǎn)，則的值為　　
A． B． C． D．
【分析】如圖所示，，．代入，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．
【解答】解：如圖所示，
，．


．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、平行四邊形法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
17．若向量，0，與向量，1，的夾角的余弦值為，則等于　　
A．0 B．1 C． D．2
【分析】利用空間向量夾角余弦公式直接求解．
【解答】解：向量，0，與向量，1，的夾角的余弦值為，
，
解得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查空間向量夾角余弦公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
18．已知，，且，則的值是　　
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根據(jù)題意，由向量、的坐標(biāo)，結(jié)合空間向量的數(shù)量積坐標(biāo)計(jì)算公式可得，計(jì)算可得的值，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，，，
若，則有，
解可得，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量數(shù)量積的運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握空間向量數(shù)量積的計(jì)算公式．
二．多選題（共3小題）
19．定義空間兩個(gè)向量的一種運(yùn)算，，則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中恒成立的有　　
A．
B．
C．
D．若，，，，則
【分析】和需要根據(jù)定義列出左邊和右邊的式子，再驗(yàn)證兩邊是否恒成立；由定義驗(yàn)證若，且，結(jié)論成立，從而得到原結(jié)論不成立；根據(jù)數(shù)量積求出，，再由平方關(guān)系求出，的值，代入定義進(jìn)行化簡(jiǎn)驗(yàn)證即可．
【解答】解：對(duì)于，，，，，
故恒成立；
對(duì)于，，，，
故不會(huì)恒成立；
對(duì)于，若，，，
，，，，
顯然不會(huì)恒成立；
對(duì)于，，，，，
即有

．
則恒成立．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的數(shù)量積和向量的模的公式，利用給出的定義進(jìn)行證明結(jié)論，計(jì)算量很大．
20．已知空間三點(diǎn)，0，，，2，，，0，，則下列說(shuō)法正確的是　　
A． B．
C． D．，
【分析】分別求出，，，依次判斷即可．
【解答】解：，0，，，2，，，0，，
，2，，，0，，，，，
故，，，，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的運(yùn)算，考查對(duì)應(yīng)思想，是基礎(chǔ)題．
21．在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，則以下結(jié)論正確的有　　
A． B．
C． D．
【分析】由已知得；，，又，從而．
【解答】解：在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，．
，故正確，排除選項(xiàng)，；
，，
又，故，
，故正確，
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間向量運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．
三．填空題（共11小題）
22．如圖，在三棱錐中，已知，，設(shè)，，，則的最小值為　2?。?br />
【分析】由已知得，，從而由，得，從而，由此入手能求出的最小值．
【解答】解：在三棱錐中，，，設(shè)，，
，，

，
，
又，
，①
，②
將①兩邊平方得，
，
，
代入②中，得，


，
，
又，，，
．
的最小值為2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中關(guān)于邊長(zhǎng)的代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量知識(shí)的合理運(yùn)用．
23．已知空間向量，1，，，3，，則　　．
【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，計(jì)算即可．
【解答】解：空間向量，1，，，3，，
所以．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．
24．已知空間向量，，，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是　，，?。?br /> 【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)確定方法，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)表示，寫出結(jié)論即可．
【解答】解：根據(jù)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)確定方法知，
空間中點(diǎn)，，在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)，豎坐標(biāo)為0，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不變．
所以空間向量，，在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)是：，，．
故答案為：，，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．
25．若，且，則實(shí)數(shù)　　．
【分析】求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)，得到關(guān)于的方程，解出即可．
【解答】解：，
，，，
由，得：，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的運(yùn)算，考查向量的垂直關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題．
26．已知向量，2，，，5，，則　2　
【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，計(jì)算即可．
【解答】解：向量，2，，，5，，
則．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．
27．點(diǎn)是棱長(zhǎng)為4的正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，是該四面體內(nèi)切球的一條直徑，則的最大值是 　?。?br /> 【分析】點(diǎn)位于正四面體的頂點(diǎn)時(shí)取得最大值，求出即可．
【解答】解：如圖示：

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為4，
設(shè)其內(nèi)切球球心為點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交底面于點(diǎn)，
則為正三角形的中心，且平面，
連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為的中心，且，
，，
平面，平面，
，，
，
正四面體的體積，
設(shè)球的半徑為，
則，
，，
，，
，
當(dāng)最大，即點(diǎn)位于正四面體的頂點(diǎn)時(shí)，取最大值，
此時(shí)，，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正四面體的內(nèi)切球的知識(shí)的應(yīng)用，以及充分理解數(shù)量積的性質(zhì)“位于正四面體的頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值”是解題的關(guān)鍵．
28．在三棱錐中，已知，，，則　?。?br /> 【分析】用表示，根據(jù)已知條件列方程得出，，的關(guān)系，使用等量代換計(jì)算．
【解答】解：設(shè)，，
，
，即．
，
，
，
，


，
．
故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，涉及到平面向量數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔題．
29．正四面體的各棱長(zhǎng)為，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則的值為　?。?br /> 【分析】把要求數(shù)量積的兩個(gè)向量表示成以四面體的棱長(zhǎng)為基地的向量的表示形式，寫出向量的數(shù)量積，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成四面體的棱之間的關(guān)系，因?yàn)槔忾L(zhǎng)和夾角已知，得到結(jié)果．
【解答】解：



故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的數(shù)量積，解題的關(guān)鍵是把要用的向量寫成以已知幾何體的一個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)的向量為基地的形式，再進(jìn)行運(yùn)算．
30．已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是　，0，?。?br /> 【分析】由向量在向量上的投影向量為，，計(jì)算即可求出答案．
【解答】解：向量，0，，，2，，
則，，，
所以向量在向量上的投影向量為：
，，0，，0，，0，，
故答案為：，0，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．
31．已知空間向量，，，，，，若空間單位向量滿足：，則　　
【分析】設(shè)，，，由，可得，即，，令，解得，即可得出．
【解答】解：設(shè)，，，，
則，
，，
令，則，．
，，．
．
故答案為：．．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、單位向量，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
32．若向量，2，，，，，且，夾角的余弦值為　?。?br /> 【分析】推導(dǎo)出，由此能求出，夾角的余弦值．
【解答】解：向量，2，，，，，
，
，夾角的余弦值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩向量夾角的余弦值的判斷，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．
四．解答題（共1小題）
33．已知空間三點(diǎn)，2，，，1，，，，．
（1）若點(diǎn)在直線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求以，為鄰邊的平行四邊形的面積．
【分析】（1）根據(jù)，分別求出，在坐標(biāo)，根據(jù)，得到關(guān)于的方程，解出即可求出的坐標(biāo)；
（2）分別求出，，求出其夾角，求出四邊形的面積即可．
【解答】解：（1），，
，
，
，
解得：，故．
（2），
，，
，，
所以以，為鄰邊的平行四邊形的面積為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量共線，向量的垂直關(guān)系，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，是一道常規(guī)題

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.1 空間向量及其運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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