?《正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象》教學設(shè)計
教學環(huán)節(jié)
教學內(nèi)容
師生互動
設(shè)計意圖
問題引入
問題1：前面學習了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，請回憶我們是如何根據(jù)它們各自的三角函數(shù)線得出它們的函數(shù)圖象的？
問題2：角的正切是如何定義的？在單位圓中該如何來表示？
角的正切：
.
教師在學生回答后，利用課件演示借助單位圓得到正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的形成過程，著重強調(diào)軸線角的正弦值和余弦值，為后面研究軸線角的正切做鋪墊.
學生動腦思考，通過體會角的正弦線和正弦函數(shù)之間以及余弦線和余弦函數(shù)之間的關(guān)系，從而過渡到研究角的正切線和正切函數(shù)之間的關(guān)系，體會知識的遷移轉(zhuǎn)化.
新課講解
問題1：能否用已學過的知識研究正切函數(shù)性質(zhì)？
定義域、值域、奇偶性、周期性.
問題2：能否模仿利用正弦線和余弦線得到正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的方法，畫出銳角對應(yīng)的正切函數(shù)的圖象呢？
取，利用單位圓半圓八等分得到的完整圖象，然后利用周期性，將圖象向左、右進行平移，就可以得到的圖象，并把它叫做正切曲線.


學生動腦，回憶前面三角函數(shù)線以及誘導公式內(nèi)容.


教師引導學生小組合作交流討論圖象的生成過程.


學生跟上教師的教學思路，理解正切函數(shù)圖象生成的步驟.

注意啟發(fā)性教學，讓學生在教師引下自主獲得新知，從“數(shù)”的角度先得到簡單結(jié)論.


通過課件演示突破利用單位圓畫正切函數(shù)圖象這一難點，培養(yǎng)學生的觀察能力、分析能力.

概念深化
問題：下面請同學們結(jié)合學習正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的方法，研究正切函數(shù)的圖象，我們能從中得到正切函數(shù)的哪些性質(zhì)？
1.定義域：.
2.值域：.
3.奇偶性：圖象關(guān)于原點對稱，是奇函數(shù).
4.周期性：最小正周期是.
（補充的最小正周期為）.
5.單調(diào)性：在開區(qū)間
上是單調(diào)遞增函數(shù)（但是不能說在整個定義域上是增函數(shù)）.
6.對稱性：對稱中心，無對稱軸.
7.漸近線：.
正切函數(shù)的圖象是被與軸平行的一系列直線所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的.
教師引導，學生討論并回答.
由學生小結(jié)，教師鼓勵學生充分展示，然后教師重新演示課件，進行總結(jié)和補充，加深對知識的印象.

教師要舉例為學生解釋，掃清學生心中的疑惑.
強調(diào)對正切函數(shù)的單調(diào)性的理解.
正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象都有對稱軸，而正切函數(shù)的圖象沒有.

教師結(jié)合圖象讓學生了解漸近線的概念，體會它與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的不同.
漸近線的概念是正切函數(shù)所特有的，需要教師著重進行介紹.

使學生學會識圖，掌握由圖象分析性質(zhì)方法.
通過一系列活動，使學生理解正切函數(shù)的性質(zhì)，突破難點.

應(yīng)用舉例
例 求函數(shù)的定義域、周期與單調(diào)區(qū)間.
分析：利用正切函數(shù)的性質(zhì)，通過代數(shù)變形可以得出相應(yīng)的結(jié)論.
解：自變量的取值應(yīng)滿足
，.
即，.
所以，函數(shù)的定義域是
.
設(shè)，又， 所以
，
即
.
因為都有 ，
所以，函數(shù)的周期為2.
由，解得
，.
因此，函數(shù)在區(qū)間，
上單調(diào)遞增.
練習1：教材第213頁練習第3題.
解：自變量的取值范圍應(yīng)滿足
，，
即，.
所以，函數(shù)定義域為
.
練習2：教材第213頁練習第5題.
解：（1）因為在上單調(diào)遞增，且，所以.
（2）因為在上單調(diào)遞增，且，所以
.
教師先引導學生自己嘗試解決問題，然后板書規(guī)范做題步驟.




學生板演練習題，教師巡視，收集信息，及時評價.
師生歸納運用正切函數(shù)的單調(diào)性比較大小的步驟：
（1）運用函數(shù)的周期性或誘導公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)；
（2）運用單調(diào)性比較大小關(guān)系.
教師強調(diào)必須將自變量轉(zhuǎn)化在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后才能利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小.

鍛煉應(yīng)用能力、操作能力.




鞏固學生對所學知識的應(yīng)用，鍛煉學生的應(yīng)用能力.

歸納小結(jié)
正切函數(shù)的性質(zhì)有哪些？
師生共同梳理知識點.
關(guān)注學生的自主體驗，反思和發(fā)表本堂課的體驗與收獲.
布置作業(yè)
1.復習本節(jié)的內(nèi)容.
2.作業(yè)：教材第214頁習題5.4第9題.
3.選做題
教材第214頁綜合運用第14題.
學生獨立完成.
教師批閱.

通過分層作業(yè)使學生鞏固所學內(nèi)容，并為有余力的學生提供進一步學習的機會.
板書設(shè)計
5.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象
一、問題引入
二、新課講解
1.定義域：
2.值域：
3.奇偶性：奇函數(shù)
4.周期性：最小正周期是
（補充的最小正周期為）
5.單調(diào)性：在開區(qū)間
上是單調(diào)遞增函數(shù)
6.對稱性：對稱中心：，無對稱軸
7.漸近線：
三、概念深化
四、應(yīng)用舉例
例 求函數(shù)的定義域、周期與單調(diào)區(qū)間
練習1
練習2
五、歸納小結(jié)
六、布置作業(yè)
教學研討
一般來說，對函數(shù)性質(zhì)的研究總是先畫圖象，通過觀察圖象獲得對函數(shù)性質(zhì)的直觀認識，然后再從代數(shù)的角度對性質(zhì)做出嚴格表述.但對正切函數(shù)，教材采取了先根據(jù)已有的知識研究性質(zhì)，然后再利用圖象發(fā)現(xiàn)性質(zhì)來驗證結(jié)論，這樣的處理方法，旨在給學生提供更多研究數(shù)學問題的視角，培養(yǎng)學生從數(shù)與形兩個角度思考問題，提高數(shù)學思維及直觀想象素養(yǎng).

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5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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