5.4.3　正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.能畫出正切函數(shù)的圖象．(重點(diǎn))2.掌握正切函數(shù)的性質(zhì)．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.掌握正切函數(shù)的定義域及正切曲線的漸近線．(易錯(cuò)點(diǎn))1.借助正切函數(shù)的圖象研究問題，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).2.通過正切函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，提升邏輯推理素養(yǎng).正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式y＝tan x圖象定義域值域R周期π奇偶性奇函數(shù)對(duì)稱中心，k∈Z單調(diào)性在開區(qū)間，k∈Z內(nèi)都是增函數(shù)1．在下列函數(shù)中同時(shí)滿足：①在上遞增；②以2π為周期；③是奇函數(shù)的是(　　)A．y＝tan x　　 B．y＝cos xC．y＝tan   D．y＝－tan xC　[A，D的周期為π，B中函數(shù)在上遞減，故選C.]2．函數(shù)y＝tan的定義域?yàn)?/span>________．　[因?yàn)?/span>2x－≠kπ＋，k∈Z，所以x≠＋，k∈Z所以函數(shù)y＝tan的定義域?yàn)?/span>.]3．函數(shù)y＝tan 3x的最小正周期是________．　[函數(shù)y＝tan 3x的最小正周期是.]4．函數(shù)y＝tan的單調(diào)增區(qū)間是________．，k∈Z　[令kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z即函數(shù)y＝tan的單調(diào)增區(qū)間是，k∈Z.]有關(guān)正切函數(shù)的定義域、值域問題【例1】　(1)函數(shù)y＝的值域是(　　)A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，1)   D．(－1，＋∞)(2)函數(shù)y＝3tan的定義域?yàn)?/span>________．(3)函數(shù)y＝＋lg(1－tan x)的定義域?yàn)?/span>________．[思路點(diǎn)撥]　求定義域時(shí)，要注意正切函數(shù)自身的限制條件，另外解不等式時(shí)要充分利用三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線．(1)B　(2)(3)　[(1)當(dāng)－＜x＜0時(shí)，－1＜tan x＜0，∴≤－1；當(dāng)0＜x＜時(shí)，0＜tan x＜1，∴≥1.即當(dāng)x∈∪時(shí)，函數(shù)y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)要使函數(shù)有意義應(yīng)滿足－≠kπ＋，k∈Z，得x≠－4kπ－，k∈Z，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.(3)要使函數(shù)y＝＋lg(1－tan x)有意義，則即－1≤tan x<1.在上滿足上述不等式的x的取值范圍是.又因?yàn)?/span>y＝tan x的周期為π，所以所求x的定義域?yàn)?/span>.]1．求正切函數(shù)定義域的方法(1)求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)，除了求函數(shù)定義域的一般要求外，還要保證正切函數(shù)y＝tan x有意義即x≠＋kπ，k∈Z.(2)求正切型函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定義域時(shí)，要將“ωx＋φ”視為一個(gè)“整體”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.2．解形如tan x＞a的不等式的步驟提醒：求定義域時(shí)，要注意正切函數(shù)自身的限制條件．1．函數(shù)y＝logtan的定義域是(　　)A.B.C.D.B　[由題意tan＞0，即tan＜0，∴kπ－＜x－＜kπ，∴kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，故選B.]2．求函數(shù)y＝tan2＋tan＋1的定義域和值域．[解]　由3x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋(k∈Z)，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.設(shè)t＝tan，則t∈R，y＝t2＋t＋1＝2＋≥，所以原函數(shù)的值域是.正切函數(shù)奇偶性、周期性和圖象的對(duì)稱性【例2】　(1)函數(shù)f(x)＝tan的周期為________．(2)已知函數(shù)y＝tan，則該函數(shù)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為________．(3)判斷下列函數(shù)的奇偶性：①y＝3xtan 2x－2x4；②y＝cos＋tan x.[思路點(diǎn)撥]　(1)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期T＝，也可以用定義法求周期．(2)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)可由ωx＋φ＝，k∈Z求出．(3)先求定義域看是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)稱再判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系．(1)　(2)，k∈Z　[(1)法一：(定義法)∵tan＝tan，即tan＝tan，∴f(x)＝tan的周期是.法二：(公式法)f(x)＝tan的周期T＝.(2)由x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，所以圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為，k∈Z.](3)①定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(－x)＝3(－x)tan 2(－x)－2(－x)4＝3xtan 2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函數(shù)．②定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，y＝cos＋tan x＝sin x＋tan x，又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，所以它是奇函數(shù)．1．函數(shù)f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：(1)定義法．(2)公式法：對(duì)于函數(shù)f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.(3)觀察法(或圖象法)：觀察函數(shù)的圖象，看自變量間隔多少，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)．2．判定與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)奇偶性的方法：先求函數(shù)的定義域，看其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若其不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看f(－x)與f(x)的關(guān)系．提醒：y＝tan x，x≠kπ＋，k∈Z的對(duì)稱中心坐標(biāo)為，k∈Z.3．判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝tan＋tan.[解]　(1)由得f(x)的定義域?yàn)?/span>，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)．(2)函數(shù)定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(－x)＝tan＋tan＝－tan－tan＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．正切函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用[探究問題]1．正切函數(shù)y＝tan x在其定義域內(nèi)是否為增函數(shù)？提示：不是．正切函數(shù)的圖象被直線x＝kπ＋(k∈Z)隔開，所以它的單調(diào)區(qū)間只在(k∈Z)內(nèi)，而不能說它在定義域內(nèi)是增函數(shù)．假設(shè)x1＝，x2＝π，x1<x2，但tan x1＝tan x2.2．如果讓你比較tan與tan的大小，你應(yīng)該怎樣做？提示：先根據(jù)正切函數(shù)的周期性把兩角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再由正切函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．【例3】　(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4從小到大的排列順序?yàn)?/span>________．(2)求函數(shù)y＝3tan的單調(diào)區(qū)間．[思路點(diǎn)撥]　(1)利用y＝tan x在上為增函數(shù)比較大小，注意tan 1＝tan(π＋1)．(2)先將原函數(shù)化為y＝－3tan，再由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z，求出單調(diào)減區(qū)間．(1)tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1　[(1)y＝tan x在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，且tan 1＝tan(π＋1)，又＜2＜3＜4＜π＋1＜，所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1.](2)y＝3tan＝－3tan，由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z得，－＋π＜x＜＋π，k∈Z，所以y＝3tan的減區(qū)間為－＋π，＋π，k∈Z.1．將本例(2)中的函數(shù)改為“y＝3tan”，結(jié)果又如何？[解]　由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)，得2kπ－<x<2kπ＋π(k∈Z)，∴函數(shù)y＝3tan的單調(diào)遞增區(qū)間是2kπ－，2kπ＋π(k∈Z)．2．將本例(2)中的函數(shù)改為“y＝lgtan x”結(jié)果又如何？[解]　因?yàn)楹瘮?shù)y＝lg x在(0，＋∞)上為增函數(shù)．所以函數(shù)y＝lgtan x的單調(diào)遞增區(qū)間就是函數(shù)y＝tan x(tan x＞0)的遞增區(qū)間，即，k∈Z.1．求函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的方法(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù)，故可用“整體代換”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范圍即可．(2)若ω＜0，可利用誘導(dǎo)公式先把y＝Atan(ωx＋φ)轉(zhuǎn)化為y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得x的范圍即可．2．運(yùn)用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小的步驟(1)運(yùn)用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．(2)運(yùn)用單調(diào)性比較大小關(guān)系．提醒：y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增區(qū)間；y＝Atan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有減區(qū)間．1．利用單位圓中的正切線作正切函數(shù)的圖象，作圖較為準(zhǔn)確，但畫圖時(shí)較繁，我們常用“三點(diǎn)兩線”法作正切曲線的簡圖．2．正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)比較．性質(zhì)正切函數(shù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義域R值域R[－1,1]最值無最大值為1最小值為－1單調(diào)性僅有單調(diào)遞增區(qū)間，不存在單調(diào)遞減區(qū)間單調(diào)遞增區(qū)間、單調(diào)遞減區(qū)間均存在奇偶性奇函數(shù)正弦函數(shù)是奇函數(shù)余弦函數(shù)是偶函數(shù)周期性T＝πT＝2π對(duì)稱性有無數(shù)個(gè)對(duì)稱中心，不存在對(duì)稱軸對(duì)稱中心和對(duì)稱軸均有無數(shù)個(gè)1．思考辨析(1)正切函數(shù)的定義域和值域都是R.(　　)(2)正切函數(shù)圖象是中心對(duì)稱圖形，有無數(shù)個(gè)對(duì)稱中心．(　　)(3)正切函數(shù)圖象有無數(shù)條對(duì)稱軸，其對(duì)稱軸是x＝kπ±，k∈Z.(　　)(4)正切函數(shù)是增函數(shù)．(　　)[提示]　由正切函數(shù)圖象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×.[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．若tan x≥1，則(　　)A．2kπ－＜x＜2kπ(k∈Z)B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)C．kπ－＜x≤kπ(k∈Z)D．kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)D　[因?yàn)?/span>tan x≥1＝tan.所以＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z.]3．求函數(shù)y＝tan(π－x)，x∈的值域?yàn)?/span>________．(－，1)　[y＝tan(π－x)＝－tan x，在上為減函數(shù)，所以值域?yàn)?/span>(－，1)．]4．求函數(shù)y＝tan的定義域、最小正周期、單調(diào)區(qū)間及其圖象的對(duì)稱中心．[解]　①由－≠kπ＋，k∈Z，得x≠2kπ＋，k∈Z，∴函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.②T＝＝2π，∴函數(shù)的最小正周期為2π.③由kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為， k∈Z.④由－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，∴函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是，k∈Z. 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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