因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.
提公因式法分解因式一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來(lái)，將多項(xiàng)式寫(xiě)成公因式與另外一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.
平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2.
(a+b)2=a2+2ab+b2 ； (a-b)2=a2-2ab+b2.
1.了解并掌握公式法分解因式的運(yùn)算法則.2.熟練運(yùn)用公式法分解因式的運(yùn)算法則進(jìn)行實(shí)際的計(jì)算.
a2-b2=(a+b)(a-b).
知識(shí)點(diǎn)1 用平方差公式分解因式
能用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式的特點(diǎn)：
多項(xiàng)式是一個(gè)二項(xiàng)式,兩項(xiàng)都能寫(xiě)成平方的形式，且符號(hào)相反..
兩個(gè)數(shù)的平方差,等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積.
例1 分解因式：(1) 4x2-9 ； (2) (x+p)2-(x+q)2 .
解：(1) 4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3) ；
(2) (x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q).
解：(1) x4-y4=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)；
(2) a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1) .
例2 分解因式(1) x4-y4； (2) a3b-ab.
注意：分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止.
回想完全平方公式的特點(diǎn)，你能將它們分解因式嗎？
知識(shí)點(diǎn)2 用完全平方公式分解因式
完全平方式:我們把a(bǔ)2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式.
把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等號(hào)兩邊互換位置，就可以得到a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2.
用完全平方公式分解因式:
兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方.
注意:公式中的a，b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式.
能用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式的特點(diǎn) 多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，其中首、末兩項(xiàng)分別是兩個(gè)數(shù)（或兩個(gè)式子）的平方，且這兩項(xiàng)符號(hào)相同，中間一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)（或者兩個(gè)式子）的積的2倍，符號(hào)正負(fù)都可以；
公式法：如果把乘法公式的等號(hào)兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來(lái)把某些具有特殊形式的多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.
a2-b2=(a+b)(a-b);
a2+2ab+b2=(a+b)2;
a2-2ab+b2=(a-b)2.
例3 分解因式：(1) 16x2+24x+9； (2) -x2+4xy-4y2.
解：(1)16x2+ 24x +9=(4x)2 + 2·4x·3 + (3)2=(4x + 3)2；
(2)-x2+ 4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.
例4 把下列各式分解因式：(1) 3ax2+6axy+3ay2 ； (2) (a+b)2-12(a+b)+36.
解: (1) 3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；
(2) (a+b)2-12(a+b)+36 =(a+b)2-2·(a+b) ·6+62=(a+b-6)2.
分析：(1)中有公因式3a，應(yīng)先提出公因式，再進(jìn)一步分解；(2)中，將a+b看成一個(gè)整體，設(shè)原式化為m,則原式化為完全平方式m2-12m+36.
檢查是否分解徹底，若沒(méi)有則繼續(xù)分解
考慮是否可用公式法分解，兩項(xiàng)考慮平方差公式，三項(xiàng)考慮完全平方公式
看多有無(wú)公因式，若有應(yīng)先提取公因式
不能直接套公式時(shí)可適當(dāng)變形整理
1.（2020·桂林）因式分解a2-4的結(jié)果是（ ）A. (a+2)(a-2)B. (a-2)2C. (a+2)2D. a(a-2)
2.將下列各式分解因式：(1) 4x2-25y2 ； (2) (a+2)2-1 ； (3) 16(a-b)2-25(a+b)2 ； (4) x5-16x .
解：(1) 4x2-25y2=(2x)2-(5y)2=(2x+5y)(2x-5y) ;
(2) (a+2)2-1=(a+2+1)(a+2-1)=(a+3)(a+1) ;
(3) 16(a-b)2-25(a+b)2=[4(a-b)]2-[5(a+b)]2=[4(a-b)+5(a+b)][4(a-b)-5(a+b)]=(9a+b)(-a-9b)=-(9a+b)(a+9b) ;
(4) x5-16x=x(x4-16)=x[(x2)2-42]=x(x2+4)(x2-4)=x(x2+4)(x+2)(x-2) .
2.將下列各式分解因式：(1) 4x2-25y2 ； (2) (a+2)2-1 ； (3) 16(a-b)2-25(a+b)2 ； (4) x5-16x .
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2
1.已知k為正整數(shù)，試判斷(2k+1)2-1能否被8整除，并說(shuō)明理由.
解：(2k+1)2-1能被8整除，理由如下：(2k+1)2-1=(2k+1+1)(2k+1-1)=(2k+2)·2k=4k(k+1).因?yàn)閗為正整數(shù)，所以k，k+1為兩個(gè)相鄰的正整數(shù)，則其中必有一個(gè)為偶數(shù)，即2的倍數(shù).所以4k(k+1)為8的倍數(shù)，所以(2k+1)2-1能被8整除.

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14.1.4 整式的乘法

版本： 人教版

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

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