第22課  圓的基本概念和性質(zhì)  課程標(biāo)準(zhǔn)1．知識(shí)目標(biāo)：理解圓的有關(guān)概念和圓的對(duì)稱(chēng)性； 2．能力目標(biāo)：能應(yīng)用圓半徑、直徑、弧、弦、弦心距的關(guān)系，圓的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行計(jì)算或證明；3．情感目標(biāo)：養(yǎng)成學(xué)生之間發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探討問(wèn)題、解決問(wèn)題的習(xí)慣.  知識(shí)點(diǎn)01  圓的定義及性質(zhì)1. 圓的定義
(1)動(dòng)態(tài)：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑. 以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>
　  ①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；
  　②圓是一條封閉曲線.(2)靜態(tài)：圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>
　  ①定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑；
　　②圓指的是圓周，而不是圓面；
　　③強(qiáng)調(diào)“在一個(gè)平面內(nèi)”是非常必要的，事實(shí)上，在空間中，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球面，一個(gè)閉合的曲面.2.圓的性質(zhì)
　　①旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合；圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是圓心；
  　②圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形：任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸.或者說(shuō)，經(jīng)過(guò)圓心的任何一條直線都是圓的對(duì)稱(chēng)軸.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>
　　①圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸；
　  ②因?yàn)橹睆绞窍?，弦又是線段，而對(duì)稱(chēng)軸是直線，所以不能說(shuō)“圓的對(duì)稱(chēng)軸是直徑”，而應(yīng)該說(shuō)“圓的對(duì)稱(chēng)軸是直徑所在的直線”.
3.兩圓的性質(zhì)
　   兩個(gè)圓組成的圖形是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是兩圓連心線（經(jīng)過(guò)兩圓圓心的直線叫做兩圓連心線）.知識(shí)點(diǎn)02  與圓有關(guān)的概念1. 弦弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.
　　直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑.弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>
　　直徑是圓中通過(guò)圓心的特殊弦，也是圓中最長(zhǎng)的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.
　　為什么直徑是圓中最長(zhǎng)的弦？如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O中任意一條弦，求證：AB≥CD.
 證明：連結(jié)OC、OD
 　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(當(dāng)且僅當(dāng)CD過(guò)圓心O時(shí)，取“=”號(hào))
　　　　　∴直徑AB是⊙O中最長(zhǎng)的弦.
2. 弧
?。?/span>圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.
　　半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；
　　優(yōu)?。?/span>大于半圓的弧叫做優(yōu)弧；
　　劣?。?/span>小于半圓的弧叫做劣弧.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>
　　①半圓是弧，而弧不一定是半圓；
　　②無(wú)特殊說(shuō)明時(shí)，弧指的是劣弧.
3.同心圓與等圓
　　圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓.
　　圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.
 4.等弧
　　在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>
　　①等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；
    ②圓中兩平行弦所夾的弧相等.   考法01   圓的定義【典例1】已知：如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，求證：點(diǎn)A、B、C、D在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上.【答案與解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OC=OB=OD，∴點(diǎn)A、B、C、D在以點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓上.【總結(jié)升華】要證幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，只能依據(jù)圓的定義，去說(shuō)明這些點(diǎn)到平面內(nèi)某一點(diǎn)的距離相等. 【即學(xué)即練1】平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，則該平行四邊形一定是（   ）A.正方形      B.菱形     C.矩形       D.等腰梯形【答案】C.【典例2】爆破時(shí)，導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.9cm，點(diǎn)導(dǎo)火索的人需要跑到離爆破點(diǎn)120m以外的安全區(qū)域。這個(gè)導(dǎo)火索的長(zhǎng)度為18cm，那么點(diǎn)導(dǎo)火索的人每秒鐘跑6.5m是否安全？【答案與解析】     ∴點(diǎn)導(dǎo)火索的人安全.【總結(jié)升華】爆破時(shí)的安全區(qū)域是以爆破點(diǎn)為圓心，以120m為半徑的圓的外部，如圖所示.考法02   圓及有關(guān)概念【典例3】下列說(shuō)法中，正確的是（　?。?/span>A．兩個(gè)半圓是等弧B．同圓中優(yōu)弧與半圓的差必是劣弧C．長(zhǎng)度相等的弧是等弧D．同圓中優(yōu)弧與劣弧的差必是優(yōu)弧【答案】 B.【解析】A、兩個(gè)半圓的半徑不一定相等，故錯(cuò)誤；B、同圓中優(yōu)弧與半圓的差必是劣弧，正確；C、長(zhǎng)度相等的弧是等弧，錯(cuò)誤；D、同圓中優(yōu)弧與劣弧的差比一定是優(yōu)弧，故錯(cuò)誤，故選B．【總結(jié)升華】本題考查了圓的有關(guān)概念，解題的關(guān)鍵是了解等弧及半圓的定義、優(yōu)弧與劣弧的定義等. 【即學(xué)即練2】 點(diǎn)A、O、D與點(diǎn)B、O、C分別在同一直線上，圖中弦的條數(shù)為（　?。?/span>A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B.提示：由圖可知，點(diǎn)A、B、E、C是⊙O上的點(diǎn)，圖中的弦有AB、BC、CE，一共3條．故選B．考法03   圓的對(duì)稱(chēng)性【典例4】圓O所在平面上的一點(diǎn)P到圓O上的點(diǎn)的最大距離是10，最小距離是2，求此圓的半徑是多少？【答案與解析】如圖所示,分兩種情況:（1）當(dāng)點(diǎn)P為圓O內(nèi)一點(diǎn)（如圖1），過(guò)點(diǎn)P作圓O的直徑，分別交圓O于A、B兩點(diǎn)，由題意可得P到圓O最大距離為10，最小距離為2，則AP=2，BP=10，所以圓O的半徑為.     圖1                                   圖2（2）當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)（如圖2），作直線OP，分別交圓O于A、B，由題可得P到圓O最大距離為10，最小距離為2，則BP=10，AP=2，所以圓O的半徑.綜上所述，所求圓的半徑為6或4.【總結(jié)升華】題目中說(shuō)到最大距離和最小距離，我們首先想到的就是直徑，然后過(guò)點(diǎn)P做圓的直徑，得到圓的半徑.通常情況下，我們進(jìn)行的都是在圓內(nèi)的有關(guān)計(jì)算，這逐漸成為一種習(xí)慣，使得我們一看到題首先想到的就是圓內(nèi)的情況，而忽略了圓外的情況，所以經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)漏解的情況.這也是本題想要提醒大家的地方.體現(xiàn)分類(lèi)討論的思想.  【即學(xué)即練3】平面上的一個(gè)點(diǎn)到圓的最小距離是4cm,最大距離是9cm，則圓的半徑是（   ）.A.2.5cm      B.6.5cm     C. 2.5cm或6.5cm     D. 5cm或13cm【答案】C. 【即學(xué)即練4】（1）過(guò)____________________上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．（2）交通工具上的輪子都是做圓的，這是運(yùn)用了圓的性質(zhì)中的_________． 【答案】（1）不在同一直線；（2） 圓的旋轉(zhuǎn)不變性； 【典例5】如圖，⊙O的直徑為10，弦AB=8，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OP的長(zhǎng)的取值范圍是           .【答案】3≤OP≤5.【解析】OP最長(zhǎng)邊應(yīng)是半徑長(zhǎng)，為5；根據(jù)垂線段最短，可得到當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP最短．∵直徑為10，弦AB=8∴∠OPA=90°，OA=5，由圓的對(duì)稱(chēng)性得AP=4，由勾股定理得OP=，∴OP最短為3.∴OP的長(zhǎng)的取值范圍是3≤OP≤5.【總結(jié)升華】關(guān)鍵是知道OP何時(shí)最長(zhǎng)與最短. 【即學(xué)即練5】已知⊙O的半徑為13，弦AB=24，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OP的取值范圍是___        ____．【答案】 OP最大為半徑，最小為O到AB的距離．所以5≤OP≤13.  題組A  基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．有下列四個(gè)說(shuō)法：①半徑確定了，圓就確定了；②直徑是弦；③弦是直徑；④半圓是弧，但弧不一定是半圓．其中錯(cuò)誤說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（　?。?/span>A．1    B．2    C．3    D．4【答案】B【解析】試題解析：①圓確定的條件是確定圓心與半徑，是假命題，故此說(shuō)法錯(cuò)誤；②直徑是弦，直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦，是真命題，故此說(shuō)法正確；③弦是直徑，只有過(guò)圓心的弦才是直徑，是假命題，故此說(shuō)法錯(cuò)誤；④半圓是弧，但弧不一定是半圓，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫半圓，所以半圓是?。劝雸A大的弧是優(yōu)弧，比半圓小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圓，是真命題，故此說(shuō)法正確．其中錯(cuò)誤說(shuō)法的是①③兩個(gè)．故選B．考點(diǎn)：圓的認(rèn)識(shí)．2．過(guò)圓上一點(diǎn)可以作圓的最長(zhǎng)弦有（ ）條．A．1 B．2 C．3 D．無(wú)數(shù)條【答案】A【詳解】圓的最長(zhǎng)的弦是直徑，直徑經(jīng)過(guò)圓心，過(guò)圓上一點(diǎn)和圓心可以確定一條直線，所以過(guò)圓上一點(diǎn)可以作出圓的最長(zhǎng)弦的條數(shù)為一條．3．等于圓周的弧為(　　)A．劣弧 B．半圓 C．優(yōu)弧 D．圓【答案】D【分析】根據(jù)弧的命名方式分析.【詳解】大于半圓的弧叫優(yōu)弧，小于半圓的弧叫劣弧，直徑所對(duì)的兩條弧是半圓，等于圓周的弧叫做圓.故選：D.【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：弧.4．如果圓外一點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)的最短距離為3，最長(zhǎng)距離為9，那么這個(gè)圓的半徑為（    ）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】C【分析】利用最長(zhǎng)距離減去最短距離即得圓的直徑,從而得出圓的半徑．【詳解】∵P為圓外一點(diǎn)，點(diǎn)P到圓的最短距離為3，最長(zhǎng)距離為9，∴圓的直徑為：9?3=6，∴圓的半徑為3，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.5．以已知點(diǎn)O為圓心，已知線段a為半徑作圓，可以作( )A．1    B．2    C．3    D．無(wú)數(shù)個(gè)【答案】A【解析】根據(jù)圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，則可以作一個(gè)圓．6．在同圓或等圓中________弧叫等?。?/span>【答案】能完全重合的【分析】根據(jù)等弧的定義解答即可.【詳解】在同圓或等圓中能完全重合的弧叫等弧，故答案為：能完全重合的【點(diǎn)睛】本題考查圓的有關(guān)定義，熟練掌握等弧的定義是解題關(guān)鍵.7．已知⊙O中最長(zhǎng)的弦為16cm，則⊙O的半徑為______________cm【答案】8cm．【解析】試題分析：⊙O最長(zhǎng)的弦就是直徑從而不難求得半徑的長(zhǎng)．試題解析：∵⊙O中最長(zhǎng)的弦為16cm，即直徑為16cm，∴⊙O的半徑為8cm．考點(diǎn)：圓的認(rèn)識(shí)．8．下列說(shuō)法①直徑是弦；②圓心相同，半徑相同的兩個(gè)圓是同心圓；③兩個(gè)半圓是等??；④經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直徑．正確的是______填序號(hào)．【答案】①【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).【詳解】解：直徑是弦，但弦不是直徑，故① 正確；圓心相同但半徑不同的兩個(gè)圓是同心圓，故② 錯(cuò)誤；若兩個(gè)半圓的半徑不等，則這兩個(gè)半圓的弧長(zhǎng)不相等，故③錯(cuò)誤；經(jīng)過(guò)圓的圓心可以作無(wú)數(shù)條的直徑，故④錯(cuò)誤.綜上，正確的只有①.故答案為：①【點(diǎn)睛】本題考查了圓的知識(shí)，了解有關(guān)圓的定義及性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，難度不大. 題組B  能力提升練1．下列說(shuō)法正確的是（　?。?/span>A．弦是直徑    B．弧是半圓C．半圓是弧    D．通過(guò)圓心的線段是直徑【答案】C【解析】試題解析：A、弦是連接圓上任意兩點(diǎn)的線段，只有經(jīng)過(guò)圓心的弦才是直徑，不是所有的弦都是直徑．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、弧是圓上任意兩點(diǎn)間的部分，只有直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成的兩條弧是半圓，不是所有的弧都是半圓．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．所以半圓是弧是正確的．D、過(guò)圓心的弦才是直徑，不是所有過(guò)圓心的線段都是直徑，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．2．下列語(yǔ)句中，不正確的個(gè)數(shù)是(　　)①弦是直徑　②半圓是弧　③長(zhǎng)度相等的弧是等弧　④經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直徑A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】直徑是弦，但弦不一定是直徑故①不正確，弧包括半圓，優(yōu)弧和劣弧故②正確，等弧是能夠重合的弧故③不正確，而經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)只能作一條直徑或無(wú)數(shù)條直徑(圓內(nèi)一點(diǎn)正好是圓心，故④不正確．)3．如圖，中，點(diǎn)，，以及點(diǎn)，，分別在一條直線上，圖中弦的條數(shù)有（ ）A．條 B．條 C．條 D．條【答案】B【分析】根據(jù)弦的定義進(jìn)行分析，從而得到答案．【詳解】解：圖中的弦有AB，BC，CE共三條．故選B．【點(diǎn)睛】理解弦的定義是解決本題的關(guān)鍵． 4．如圖，已知⊙O的半徑為5，點(diǎn)O到弦AB的距離為3，則⊙O上到弦AB所在直線的距離為2的點(diǎn)有______個(gè)． 【答案】3【分析】過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB，交⊙O于D，由OE＝3，OA＝5，得到DE＝2，即點(diǎn)P到到直線AB的距離為2；在直線的另一邊，圓上的點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為8，而圓為對(duì)稱(chēng)圖形，則還有兩個(gè)點(diǎn)到直線AB的距離為3．【詳解】如圖，OD＝OA＝OB＝5，OE⊥AB，OE＝3，∴DE＝OD?OE＝5?3＝2cm，∴點(diǎn)D是圓上到AB距離為2cm的點(diǎn)，∵OE＝3cm＞2cm，∴在OD上截取OH＝1cm，過(guò)點(diǎn)H作GF∥AB，交圓于點(diǎn)G，F兩點(diǎn)，則有HE⊥AB，HE＝OE?OH＝2cm，即GF到AB的距離為2cm，∴點(diǎn)G，F也是圓上到AB距離為2cm的點(diǎn)．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，當(dāng)圓心到直線的距離小于圓的半徑，這條直線與圓相交．注意圓上的點(diǎn)到AB距離為2cm的點(diǎn)不唯一，有三個(gè)．5．如圖，點(diǎn)A、D、G、M在半圓O上，四邊形ABOC、DEOF、HMNO均為矩形，設(shè)BC=a，EF=b，NH=c，則a、b、c的大小是_________．【答案】a=b=c【詳解】連接OA，OD，OM．因?yàn)樗倪呅?/span>ABOC、DEOF、HMON均為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的對(duì)角線相等，所以OA=BC，OD=EF，OM=HN．所以BC=EF=HN，即a=b=c． 6．如圖，MN為⊙O的弦，∠M=50°，則∠MON等于________．【答案】80°【詳解】試題分析：利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠N的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得所求角的度數(shù)．解：∵OM=ON，∴∠N=∠M=50°，∴∠MON=180°-∠M-∠N=80°，故答案為80°．考點(diǎn)：1．等腰三角形的性質(zhì)；2．三角形的內(nèi)角和定理；3．圓的定義． 7．P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，OP＝3cm，⊙O的半徑為5cm，則經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為_____cm，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為_____cm．【答案】8    10    【解析】試題分析：當(dāng)弦與OP垂直時(shí)，弦最短，最短弦為8cm，過(guò)P點(diǎn)經(jīng)過(guò)圓心的弦最長(zhǎng)為直徑，最長(zhǎng)弦為10cm．考點(diǎn)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系. 題組C  培優(yōu)拔尖練1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C為圓心、CB為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，求∠ACD的度數(shù)．【答案】10°．【分析】先求得∠B，再由等腰三角形的性質(zhì)求出∠BCD，則∠ACD與∠BCD互余，從而求得∠ACD的度數(shù)．【詳解】解：連接CD，∵∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠B=50°，
∵CD=CB，
∴∠BCD=180°-2×50°=80°，
∴∠ACD=90°-80°=10°．故答案為10°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，同圓的半徑相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡(jiǎn)單，求出∠BCD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．如圖所示，為的一條弦，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，若的半徑為7，求的最大值.【答案】的最大值為.【解析】【分析】由和組成的弦，在中，弦最長(zhǎng)為直徑14，而可求，所以的最大值可求.【詳解】連結(jié)，，∵    ∴∴為等邊三角形，∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)∴，∵ 為的一條弦∴最大值為直徑14    ∴的最大值為.【點(diǎn)睛】利用直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，可以解決圓中一些最值問(wèn)題.3．如圖，點(diǎn)E為⊙O的直徑AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D在下半圓AB上（不含A、B兩點(diǎn)），且∠CED=∠OED=60°，連OC、OD（1）求證：∠C=∠D；（2）若⊙O的半徑為r，請(qǐng)直接寫(xiě)出CE+ED的變化范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）r＜CE+ED＜2r【分析】（1）延長(zhǎng)CE交⊙O于D′，連接OD′，由已知求得∠AEC=60°，進(jìn)而求得∠DEO=∠D′EO=60°，根據(jù)圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形即可證得∠D=∠D′，ED=ED′，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠D′=∠C，從而證得結(jié)論；
（2）證得∠COD′＞60°，從而證得CD′＞OC=OD′，由CD′＜OC+OD′，CE+ED=CE+ED′=CD′，從而得出r＜CE+ED＜2r．【詳解】證明：（1）延長(zhǎng)CE交⊙O于D′，連接OD′∵∠CED=∠OED=60°，∴∠AEC=60°，∴∠OED′=60°，∴∠DEO=∠D′EO=60°，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得∠D=∠D′，ED=ED′，∵OC=OD′，∴∠D′=∠C，∴∠C=∠D；（2）∵∠D′EO=60°，∴∠C＜60°，∴∠C=∠D′＜60°，∴∠COD′＞60°，∴CD′＞OC=OD′，∵CD′＜OC+OD′，∵CE+ED=CE+ED′=CD′，∴r＜CE+ED＜2r．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)﹣最短路線問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)以及三角形三邊之間的關(guān)系，圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形是本題的關(guān)鍵．4．（問(wèn)題提出）用n個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？（問(wèn)題探究）為了解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們采取一般問(wèn)題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)單情形入手，再逐次遞進(jìn)，最后猜想得出結(jié)論．探究一：如圖1，一個(gè)圓能把平面分成2個(gè)區(qū)域．探究二：用2個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？如圖2，在探究一的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前1個(gè)圓有2個(gè)交點(diǎn)，將新增加的圓分成2部分，從而增加2個(gè)區(qū)域，所以，用2個(gè)圓最多能把平面分成4個(gè)區(qū)域．探究三：用3個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？如圖3，在探究二的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前2個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增加的圓分成部分，從而增加4個(gè)區(qū)域，所以，用3個(gè)圓最多能把平面分成8個(gè)區(qū)域．（1）用4個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？仿照前面的探究方法，寫(xiě)出解答過(guò)程，不需畫(huà)圖．（2）（一般結(jié)論）用n個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增加的圓分成______________部分，從而增加___________________個(gè)區(qū)域，所以，用n個(gè)圓最多能把平面分成__________________個(gè)區(qū)域．（將結(jié)果進(jìn)行化簡(jiǎn)）（3）（結(jié)論應(yīng)用）①用10個(gè)圓最多能把平面分成_________個(gè)區(qū)域；②用___________個(gè)圓最多能把平面分成422個(gè)區(qū)域．【答案】（1）在探究三的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前3個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增的圓分成部分，從而增加6個(gè)區(qū)域，所以，用4個(gè)圓最多能把平面分成14個(gè)區(qū)域；（2）；；；（3）①92；②21【分析】（1）在探究三的基礎(chǔ)上，新增加的圓與前3個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增的圓分成部分，所以，用4個(gè)圓最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3個(gè)區(qū)域；（2）為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增加的圓分成（2n-2）部分，從而增加（2n-2）個(gè)區(qū)域，所以，用n個(gè)圓最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3+2×4+…+2(n-1)區(qū)域求和即可; （3）①用n=10，代入規(guī)律，求代數(shù)式的值即可； ②設(shè)n個(gè)圓最多能把平面分成422個(gè)區(qū)域，利用規(guī)律構(gòu)造方程，可得方程解方程即可．【詳解】解：（1）在探究三的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前3個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增的圓分成部分，從而增加6個(gè)區(qū)域，所以，用4個(gè)圓最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3=14個(gè)區(qū)域；（2）為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增加的圓分成（2n-2）部分，從而增加（2n-2）個(gè)區(qū)域，所以，用n個(gè)圓最多能把平面分成區(qū)域數(shù)為2+2×1+2×2+2×3+2×4+…+2(n-1)，=2+2(1+2+3+…+n-1)，=2+2，，=; 故答案為：（2n-2）；（2n-2）；；（3）①用10個(gè)圓，即n=10，；②設(shè)n個(gè)圓最多能把平面分成422個(gè)區(qū)域，可得方程，整理得，因式分解得，解得或（舍去），∴用21個(gè)圓最多能把平面分成422個(gè)區(qū)域．故答案為：21．【點(diǎn)睛】本題考查圖形分割規(guī)律探究問(wèn)題，圓與圓的位置關(guān)系，利用新增圓被原來(lái)每個(gè)圓都分成兩個(gè)交點(diǎn)，其交點(diǎn)數(shù)就是新增區(qū)域數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后列式求和，利用規(guī)律解決問(wèn)題，涉及數(shù)列n項(xiàng)和公式，代數(shù)式求值，解一元二次方程，仔細(xì)觀察圖形，掌握所學(xué)知識(shí)是解題關(guān)鍵．                         

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