28.2  解直角三角形及其應(yīng)用
28.2.2 應(yīng)用舉例（第3課時）一、教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】1.正確理解方向角、坡度、坡角的概念；2.能運用解直角三角形知識解決方向角、坡度的問題；3.能夠解決與解直角三角形有關(guān)的實際問題,如航海航空、建橋修路、測量技術(shù)、圖案設(shè)計等.【過程與方法】通過實際問題的求解，總結(jié)出用解直角三角形的知識解決問題的一般過程，增強分析問題和解決問題的能力。【情感態(tài)度與價值觀】滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力.二、課型新授課三、課時第3課時 共3課時四、教學(xué)重難點【教學(xué)重點】 用三角函數(shù)有關(guān)知識解決方位角問題.【教學(xué)難點】 學(xué)會準(zhǔn)確分析問題并將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型.五、課前準(zhǔn)備 教師：課件、直尺、三角板等.學(xué)生：直尺、三角板.六、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課（出示課件2）宜賓是國家級歷史文化名城,大觀樓是其標(biāo)志性建筑之一(如圖①).喜愛數(shù)學(xué)的小偉決定用所學(xué)的知識測量大觀樓的高度,如圖②所示,他站在點B處利用測角儀測得大觀樓最高點P的仰角為45°,又前進了12 m到達點A處,測得點P的仰角為60°.請你幫助小偉算一算大觀樓的高度(測角儀的高度忽略不計,結(jié)果保留整數(shù)).（二）探索新知知識點1 方向角的有關(guān)問題（出示課件4）方向角的定義：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角.教師強調(diào)：（出示課件5）（1）因為方向角是指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的角，所以方向角通常都寫成“北偏……”,“南偏……”,的形式.（2）解決實際問題時，可利用正南、正北、正西、正東方向線構(gòu)造直角三角形來求解.（3）觀測點不同，所得的方向角也不同，但各個觀測點的南北方向線是互相平行的，通常借助于此性質(zhì)進行角度轉(zhuǎn)換.考點1 有關(guān)方向角的實際問題——距離.（出示課件6）例  如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80 n mile的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠（結(jié)果取整數(shù)）？學(xué)生獨立思考后師生共同解決：（出示課件7）解：如圖，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°－65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.505.在Rt△BPC中，∠B=34°，因此，當(dāng)海輪到達位于燈塔P的南偏東34°方向時，它距離燈塔P大約130n mile．教師強調(diào)：利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：（出示課件8）（1）將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）；（2）根據(jù)條件的特點，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問題的答案；（4）得到實際問題的答案．出示課件9，學(xué)生獨立解決，一生板演，教師訂正.考點2 有關(guān)方向角的實際問題——預(yù)測路線.（出示課件10）例 海中有一個小島A，它周圍8海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達C點，這時測得小島A在北偏東30°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險？學(xué)生獨立思考后，師生共同解決：（出示課件13～14）解：過A作AF⊥BC于點F，則AF的長是A到BC的最短距離.∵BD∥CE∥AF，∴∠DBA=∠BAF=60°，∠ACE=∠CAF=30°，∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.又∵∠ABC=∠DBF－∠DBA=90°－60°=30°=∠BAC，∴BC=AC=12海里，∴(海里)，，故漁船繼續(xù)向正東方向行駛，沒有觸礁的危險．出示課件13～14，學(xué)生獨立解決，一生板演，教師訂正.知識點2 坡度、坡角有關(guān)的問題解直角三角形有廣泛的應(yīng)用，解決問題時，要根據(jù)實際情況靈活運用相關(guān)知識，例如，當(dāng)我們要測量如圖所示大壩或山的高度h時，我們無法直接測量，我們又該如何呢？（出示課件15）教師問：如圖，從山腳到山頂有兩條路AB與BC，問哪條路比較陡？如何用數(shù)量來刻畫哪條路陡呢？（出示課件16）學(xué)生思考后，師生共同總結(jié)：（出示課件17）坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母α表示.坡度（坡比）：坡面的鉛直高度h和水平距離l的比叫做坡度，用字母i表示，如圖，坡度通常寫成的形式.教師強調(diào)：坡度越大，坡角越大，坡面越陡.出示課件18，學(xué)生獨立解決并口答，教師訂正.考點1 利用坡度、坡角解答大壩問題例  如圖，防洪大堤的橫截面是梯形 ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期來臨前對其進行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡長AB=20m，求改造后的坡長AE．(結(jié)果保留根號)（出示課件19）學(xué)生獨立思考后，師生共同解答：（出示課件20）解：過點A作AF⊥BC于點F，在Rt△ABF中，∠ABF=∠α=60°，則AF=AB·sin60°=(m)，在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，則(m).故改造后的坡長AE為m.出示課件21～22，學(xué)生獨立解決，一生板演，教師訂正.考點2 利用坡度、坡角解答山坡問題例 如圖，一山坡的坡度為i=1:2.小剛從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了240m到達點C.這座山坡的坡角是多少度？小剛上升了多少米（角度精確到0.01°，長度精確到0.1m）？（出示課件23）學(xué)生獨立思考后，師生共同解答：（出示課件24）解：用α表示坡角的大小，由題意可得因此α≈26.57°.在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，因此從而BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．答：這座山坡的坡角約為26.57°，小剛上升了約107.3m．出示課件25，學(xué)生獨立解決，教師訂正.（三）課堂練習(xí)（出示課件26-36）練習(xí)課件26-36頁題目，鞏固所學(xué)知識點，約用時20分鐘。 （四）課堂小結(jié)（出示課件21）本節(jié)課你有哪些收獲？你還有什么困惑嗎？（引導(dǎo)學(xué)生思考答復(fù)）師生一起提煉本節(jié)課的重要知識和必須掌握的技能：1.方向角的定義：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角.2.坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母α表示.3.坡度（坡比）：坡面的鉛直高度h和水平距離l的比叫做坡度，用字母i表示.4.坡度越大，坡角越大，坡面越陡.（五）課前預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)下節(jié)課（29.1（第1課時））的相關(guān)內(nèi)容.知道什么是投影、平行投影及中心投影.七、課后作業(yè)教材第77頁練習(xí)第2題.八、板書設(shè)計28.2.2 應(yīng)用舉例（第3課時）1.方向角的意義；2.坡度、坡角的意義；3.例題九、教學(xué)反思將解直角三角形應(yīng)用到實際生活中，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，即要求學(xué)生通過對實物的觀察或根據(jù)文字語言中的某些條件，畫出適合他們的圖形．這一方面在教學(xué)過程應(yīng)由學(xué)生展開，并留給學(xué)生思考的時間，給學(xué)生充分的自主思考空間和時間，讓學(xué)生積極主動地學(xué)習(xí).

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28.2 解直角三角形及其應(yīng)用

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