第二章　一元二次函數(shù)、方程和不等式2.2 基本不等式（共2課時）2.2.1基本不等式（第1課時） 1．了解基本不等式的代數(shù)和幾何背景．(數(shù)學(xué)抽象)2．理解并掌握基本不等式及其變形．(邏輯推理)3．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題．(數(shù)學(xué)運算)4．會用基本不等式進行代數(shù)式大小的比較及證明不等式．(邏輯推理)5．會用基本不等式求最值問題和解決簡單的實際問題．(數(shù)學(xué)運算)1.教學(xué)重點：從不同角度探索不等式的證明過程，會用此不等式求某些簡單函數(shù)的最值；2.教學(xué)難點：基本不等式等號成立條件；多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標（一）、情景導(dǎo)學(xué)如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，趙爽是為了證明勾股定理而繪制了弦圖。弦圖既標志著中國古代的數(shù)學(xué)成就，又象一只轉(zhuǎn)動的風(fēng)車，歡迎來自世界各地的數(shù)學(xué)家們。教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系．思考1：這圖案中含有怎樣的幾何圖形？思考2：你能發(fā)現(xiàn)圖案中的相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（二）、探索新知1．探究圖形中的不等關(guān)系將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形中有4個全等的直角三角形．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為,（）,那么正方形的邊長為．這樣，4個直角三角形的面積的和是，正方形的面積為．由于4個直角三角形的面積之和小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：．當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，?/span>時，正方形縮為一個點，這時有．（通過幾何畫板演示當時的圖像）2．得到結(jié)論（重要不等式）：一般的，對于任意實數(shù),，我們有，當且僅當時，等號成立。3．思考證明：你能給出它的證明嗎？（設(shè)計意圖：證明：因為，當且僅當時等號成立4．（1）基本不等式：如果,,我們用、分別代替、，可得，通常我們把上式寫作：基本不等式（,)（當且僅當時，取等號）5.基本不等式：（1）在數(shù)學(xué)中，我們稱為、的算術(shù)平均數(shù)，稱為、的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).此不等式又叫均值不等式。（2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式如果學(xué)生類比重要不等式的證明給出證明，再介紹書上的分析法。用分析法證明：證明不等式證明：要證只要證只要證只要證顯然，是成立的．當且僅當時，（3）中的等號成立．【歸納總結(jié)】1、由圖我們得到了重要不等式：(1)通過換元我們得到了基本不等式：（2）兩個不等式的區(qū)別和聯(lián)系：區(qū)別：,范圍不同;聯(lián)系:等號成立的條件相同（3）從形的角度來看，基本不等式具有特定的幾何意義；從數(shù)的角度來看，基本不等式揭示了“和”與“積”這兩種結(jié)構(gòu)間的不等關(guān)系（三）典例解析利用基本不等式求最值解析：解析：基本不等式的使用條件解析：解: ∵  , 當且僅當 2x=(1-2x), 即時, 取“=”號.∴當時, 函數(shù)y=x(1-2x)的最大值是.跟蹤訓(xùn)練 通過介紹第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標的背景，進行設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生觀察分析，發(fā)現(xiàn)圖形中蘊藏的基本不等式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)，同時滲透數(shù)學(xué)文化，和愛國主義教育。      通過圖形得到了重要不等式的幾何解釋，為了更準確地感知和理解，再從數(shù)學(xué)的邏輯方面給出證明，不僅培養(yǎng)了學(xué)生嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度，而且還可以從中學(xué)習(xí)到分析法證明的大體過程，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)，增強數(shù)形結(jié)合的思想意識。                                  從不同的側(cè)面理解不等式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想意識。 ；                                  通過典型例題的解析和跟蹤練習(xí)，讓學(xué)生明確運用基本不等式的三個關(guān)鍵步驟；一正、二定、三相等，發(fā)展嚴謹細致的思考習(xí)慣，訓(xùn)練思維的靈活性。 三、達標檢測1．下列不等式中，正確的是(　　)A．a＋≥4　　　　　　B．a2＋b2≥4abC.≥D．x2＋≥2解析：選D.a＜0，則a＋≥4不成立，故A錯；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B錯，a＝4，b＝16，則＜，故C錯；由基本不等式可知D項正確．2．若，則的最小值是(　　)A．     B．C.D．解析：選D.，所以，所以.　當且僅當即時取等號．3．若，都是正數(shù)，則的最小值為(　　)A．       B．       C．     D．解析：選C.因為a，b都是正數(shù)，所以，當且僅當b＝2a＞0時取等號．4．已知x>0，y>0，且＋＝1，則x＋y的最小值為________．解析：x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋≥10＋2＝10＋6＝16.即x＝4，y＝12時等號成立，所以x＋y的最小值為16.         通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，提高學(xué)生運用基本不等式解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。    四、小結(jié)本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2＋b2≥2ab；基本不等式；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（≥）.它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用).五、作業(yè)1.習(xí)題2.21,2,4,5題2. 預(yù)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容生學(xué)生根據(jù)課堂學(xué)習(xí)，自主總結(jié)知識要點，及運用的思想方法。注意總結(jié)自己在學(xué)習(xí)中的易錯點；                                       

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2.2 基本不等式

版本： 人教A版 (2019)

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